數學

n個人面向圓心圍成一圈，順時針編號1, 2,..., n。初始每人手中皆持有一顆糖果，由 1 號開始依序傳給左邊的人一顆、兩顆、一顆、兩顆……糖果，手上沒有糖果的人必須立即退 出，直到不再有人退出。本研究主要探討此種糖果傳遞遊戲之最終結果，研究後發現僅分為由一人獨得之成功狀態，以及數人間循環傳遞之循環狀態，因此針對達成成功和循環狀態的充要條件、勝利者的初始編號、最終剩餘人數、遊戲結束時的傳遞輪數等進行研究探討。 除了研究最基本的型態之外，亦將遊戲規則推廣至初始每人手中可持有任意m顆糖果，也可任意傳遞i顆、 j顆、i顆、 j顆……糖果，且均已歸納並嚴謹證明其傳遞結果會依n值分為三大類。另外在研究過程中還發現：當傳遞步驟數為質數時，將其結果所成數列進行特定的行列式運算後之值與 jmn相關。

本研究主要探討，有n位教授要在一個圓桌上舉行會議，其中每位教授都有自己的編號 (1~ n號)，同時圓桌的 n個位置上也有各自的名牌編號 (1 ~n 號) 以順時針擺放置圓桌上與教授們的編號對應。其中第一個進來的 1號教授坐到了圓桌上 k號位，此後的教授們亂序一個一個進入，若發現與自己編號相同的位置是空的，就直接入座；若與自己編號相同的位置被占走了，就以逆時針方向尋找空位，直到有空入座。在這樣的遊戲規則下，本研究探討了，有 n位教授，且 1號教授坐到 k號位，如何給定一組教授入場的順序，就能即刻的找出對應的坐法，以及計算坐錯人數的期望值和坐錯人數次數分佈表等等，後續再將遊戲規則改為，1號教授不限定為第一個入場的人，同樣的探討上述問題。

本研究的研究靈感來自於科學月刊，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下三個問題，得出結論後並證明。並得出了以下結果：簡單連通 圖，螞蟻從其中一頂點出發，且往任何方向之機率皆相同，無論螞蟻是否可以走回頭路，牠第一次回到出發點時經過邊數之期望值之通式。在 n 點連通路徑圖 Pn(n -path graph) 中，螞蟻從其中一點 vi出發，第一次走到另一點 vj時經過邊數之期望值通式。並找出了當 n 點循環圖 Cn (n-cycle graph)上有一隻螞蟻從其中一點 vi第一次走到另一點 vj時，經過邊數之期望值與兩點之距離的關係。

本研究探討了柏拉圖多面體滾漆問題，並且延伸至半正多面體進行研究。正多面體中分別為正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面 體。研究中證明柏拉圖多面體滾漆問題中的地圖限制以及有解充要條件。為了簡化問題難度，我們先簡化遊戲規則使「掉落」情況不被討論，再轉換回原規則的問題。在研究中我們於正四、六、八、二十面體使用原本的遊戲地圖，而其他延伸研究則自創地圖進行討論。

本研究探討 Skolem sequence之推廣generalized Skolem-type sequence，是否能類比Skolem sequence 探討奇偶性 (parity) 的問題，也就是依照各數字所處位置模重複度 𝑠 所得餘數分類，觀察必不能填滿數列的組合，以找到數列存在的必要條件。接著以奇偶性 (parity) 及密度 (density) ，也就是比較數列位置差最大值與放入數列各數字的位置差總和，找出generalized Skolem sequence 的推廣 generalized Skolem-type sequence 存在的必要條件。 至於充分性，我構造出 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 在 𝑛 ≡ 2, 3 (mod 4), 𝑚 ≡ 1 (mod 2) 的情形，並猜想推導出的 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 必要條件也具充分性。接著我透過串接 Lanford sequence 的方式，構造出 𝑛 ≥ 3𝑚𝑘 + 1, 𝑚𝑖 ≥ 3𝑚𝑖−1 + 1 ∀ 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 的 (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem sequence 及 hooked (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem se- quence 存在的充分必要條件。

本研究針對多人的跳躍數列在多顆球下的相關特例進行分析；多人跳躍數列規則為「同一個時間點任一人只會有一顆球回到手中」、「丟球期間需要連續、規律的接及丟出球並且無限持續下去」、「在多人丟球前可以有準備的時間」。 為了能呈現多人跳躍數列各個情況則用矩陣形式並採用有向圖進行討論，該圖的點元素代表當下每一顆球在幾秒中回到手中的狀態、邊元素則為每個狀態轉移時的丟球方式，接著將有向圖轉換為鄰接矩陣形式，並將點元素用類似 2進位的形式進行分類以便整理成規則一致的分塊矩陣，接著由 Cayley–Hamilton定理計算特徵方程式後，利用相關定理整理出各個特例分析的生成函數，如特定顆球同時回到手上的情況。

根據研究[1]指出：三角形磁磚邊之作用方式共有 5種，且共有 11種設計方法可在平面上密鋪。然而作者在解決問題的方法均是採用窮舉，方法不夠嚴謹。本研究運用不同的方法，透過代數計算證明了三角形磁磚共有 11種對稱密鋪圖結構；而 M.C.Escher在手作創作圖中只使用了其中 5種結構；在與前人的研究比較下，發現前人所歸納的 11種設計方法恰好對應到本研究中的 8種密鋪結構，而另外 3種結構是前人所未探討的磁磚內部變化方式。本研究也進一步推廣至相關立體圖形，如：正四面體、正八面體、正二十面體…等，並歸納出各種立體圖形可密鋪的種類數，透過適當軟體的支援下，可以快速且精確繪製出豐富有創意的圖樣。