數學

本研究的研究靈感來自於科學月刊，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下三個問題，得出結論後並證明。並得出了以下結果：簡單連通 圖，螞蟻從其中一頂點出發，且往任何方向之機率皆相同，無論螞蟻是否可以走回頭路，牠第一次回到出發點時經過邊數之期望值之通式。在 n 點連通路徑圖 Pn(n -path graph) 中，螞蟻從其中一點 vi出發，第一次走到另一點 vj時經過邊數之期望值通式。並找出了當 n 點循環圖 Cn (n-cycle graph)上有一隻螞蟻從其中一點 vi第一次走到另一點 vj時，經過邊數之期望值與兩點之距離的關係。

本作品靈感來自於算額（Sangaku），Sangaku中的其中一篇文獻是將一三角形的三頂點各分割出兩三角形，本研究將其延伸至於任意三角形各邊上取點 L、M、N兩兩連線段進行討論。在任意△ABC中，L、M、N分別為̅BC、̅AB、̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則△ABC內切圓半徑等於△LMN內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究透過代數計算，成功計算出任意△ABC各邊上三點L、M、N的位置，最後也成功計算在任意△ABC之前提下，三等圓半徑（r）的上界。

Retail inventory management is a crucial part of many businesses due to the high profit associated with it as well as the uncertainty around it, especially for industries with short production cycles and a complex supply chain.Proper management ofretail inventories can lead to decreased inventory costs, prevent spoilage and obsoles- cence, and improve customer satisfaction, all of which lead to increased profits for the company.Inthispaper,wefirstproposeextendingawell-knowninequalityandtry to generalize it to other conditions and similar inequalities.The inequality involves multiple variables and how the maximum/minimum values of a subset of the numbers compare to the maximum/minimum values of the whole set of numbers.Our main contribution is applying such inequality in inventory management to help estimate the total cost of inventory management, which would allow us to determine the shutdown pointforaspecificcompanyusingthegeneralizationsoftheinequality.Lastly,weshow thatourestimatesarereasonableandproposesomefutureareaswheremoreworkcan be done.

對於任意正整數m和大於1的正整數p，將集合{m,m+1,...,pm-1}中的每一個元素用p進位制表示。令h為介在1到p-1的正整數，將上述集合在p進位制下有i個h的元素個數記為fh,i(m,p)。本文引進一個創新的想法，讓函數 fh,i(m,p)公式解的推導變得可行且簡單。 再者，當 p=2 時，令 fi(m)= f1,i(m,2)，由公式解可以推得對怎樣的正整數n，原像集合the preimage fi-1({n})之元素個數為1。

根據研究[1]指出：三角形磁磚邊之作用方式共有 5種，且共有 11種設計方法可在平面上密鋪。然而作者在解決問題的方法均是採用窮舉，方法不夠嚴謹。本研究運用不同的方法，透過代數計算證明了三角形磁磚共有 11種對稱密鋪圖結構；而 M.C.Escher在手作創作圖中只使用了其中 5種結構；在與前人的研究比較下，發現前人所歸納的 11種設計方法恰好對應到本研究中的 8種密鋪結構，而另外 3種結構是前人所未探討的磁磚內部變化方式。本研究也進一步推廣至相關立體圖形，如：正四面體、正八面體、正二十面體…等，並歸納出各種立體圖形可密鋪的種類數，透過適當軟體的支援下，可以快速且精確繪製出豐富有創意的圖樣。

k距離集合是一個在離散幾何領域中被探討到的問題，也是我們在這篇文章中所想要研究的主題。我們將會先對平面中 4，5個點與三維中 5，6個點的二、三距離集合進行分類，然後再探討在三角形與正方形格子點上的 k 距離集合中點的個數與不同形狀的格子點之間的關聯性，並對這些 k距離集合中的點在 k值較小時進行統計與分析。而我們的研究目的為找出在不同格子點構造中 k 距離集合點的最大個數，並比較兩種構造的形狀以及效率差異。

先前已證明正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形，當𝑚 = 3 或 4時𝑛 為任意數皆有解， 本篇我探討正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形( 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 5 )，當(𝑛, 𝑚)滿足何種關係時有解。 在研究中，我從最小(6,5)開始，依次遞增討論，我發現了，有解的一些規律(稱之為標準型)，藉由標準型嘗試規律。同時(𝑛, 𝑚)為一般數時，找出何種情形必無解，藉此探討、驗證一般項於何時有解。 在找出有解關係後，探討出規律後找出如何產生構圖的方式，以 GGB 做出構圖。