數學

本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論利用1、2、3 個圓去覆蓋三角形，並分銳角、直角、鈍角三角形做分類，有完整的結果。並且在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律，並連結「雙曲函數」與覆蓋圓面積和之間的關係。 最後，我們研究覆蓋圓面積和與三角形面積的比值及其最小值，並討論覆蓋圓圓心之連心線的相關性質。

本作品靈感來自於算額（Sangaku），Sangaku中的其中一篇文獻是將一三角形的三頂點各分割出兩三角形，本研究將其延伸至於任意三角形各邊上取點 L、M、N兩兩連線段進行討論。在任意△ABC中，L、M、N分別為̅BC、̅AB、̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則△ABC內切圓半徑等於△LMN內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究透過代數計算，成功計算出任意△ABC各邊上三點L、M、N的位置，最後也成功計算在任意△ABC之前提下，三等圓半徑（r）的上界。

n個人面向圓心圍成一圈，順時針編號1, 2,..., n。初始每人手中皆持有一顆糖果，由 1 號開始依序傳給左邊的人一顆、兩顆、一顆、兩顆……糖果，手上沒有糖果的人必須立即退 出，直到不再有人退出。本研究主要探討此種糖果傳遞遊戲之最終結果，研究後發現僅分為由一人獨得之成功狀態，以及數人間循環傳遞之循環狀態，因此針對達成成功和循環狀態的充要條件、勝利者的初始編號、最終剩餘人數、遊戲結束時的傳遞輪數等進行研究探討。 除了研究最基本的型態之外，亦將遊戲規則推廣至初始每人手中可持有任意m顆糖果，也可任意傳遞i顆、 j顆、i顆、 j顆……糖果，且均已歸納並嚴謹證明其傳遞結果會依n值分為三大類。另外在研究過程中還發現：當傳遞步驟數為質數時，將其結果所成數列進行特定的行列式運算後之值與 jmn相關。

本研究的研究靈感來自於科學月刊，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下三個問題，得出結論後並證明。並得出了以下結果：簡單連通 圖，螞蟻從其中一頂點出發，且往任何方向之機率皆相同，無論螞蟻是否可以走回頭路，牠第一次回到出發點時經過邊數之期望值之通式。在 n 點連通路徑圖 Pn(n -path graph) 中，螞蟻從其中一點 vi出發，第一次走到另一點 vj時經過邊數之期望值通式。並找出了當 n 點循環圖 Cn (n-cycle graph)上有一隻螞蟻從其中一點 vi第一次走到另一點 vj時，經過邊數之期望值與兩點之距離的關係。

k距離集合是一個在離散幾何領域中被探討到的問題，也是我們在這篇文章中所想要研究的主題。我們將會先對平面中 4，5個點與三維中 5，6個點的二、三距離集合進行分類，然後再探討在三角形與正方形格子點上的 k 距離集合中點的個數與不同形狀的格子點之間的關聯性，並對這些 k距離集合中的點在 k值較小時進行統計與分析。而我們的研究目的為找出在不同格子點構造中 k 距離集合點的最大個數，並比較兩種構造的形狀以及效率差異。

先前已證明正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形，當𝑚 = 3 或 4時𝑛 為任意數皆有解， 本篇我探討正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形( 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 5 )，當(𝑛, 𝑚)滿足何種關係時有解。 在研究中，我從最小(6,5)開始，依次遞增討論，我發現了，有解的一些規律(稱之為標準型)，藉由標準型嘗試規律。同時(𝑛, 𝑚)為一般數時，找出何種情形必無解，藉此探討、驗證一般項於何時有解。 在找出有解關係後，探討出規律後找出如何產生構圖的方式，以 GGB 做出構圖。