從心開始-三角形的四心到各邊距離和
此研究討論三角形𝐴𝐵𝐶的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1.用外接圓半徑𝑅及∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶表示各心到三邊之距離。 2.設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑑4 ，其大小關係為： (1)在銳角∆中，𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ 𝑑4 ≥ 𝑑3，僅當正∆ 時，等號成立。 (2)在直角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 > 𝑑3。 (3)在鈍角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 恆成立。𝑑3與𝑑1、𝑑2、𝑑4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 (4)在鈍角∆中，若最大內角≥ 120° ，則𝑑3 > 𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4。 3.在銳角∆ 及直角∆ 中，等式𝑑2=2/3 𝑑1+1/3 𝑑3和 𝑑2+1/3 𝑑1-1/3 𝑑3-1/3 𝑑4 = 𝑅 恆成立。
格子點的可見性研究
本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。