數學

對於一個連通簡單圖G，由點v作為出發點，每次皆以機率均等的原則選擇一條邊移動，在點跟邊都可以重複使用的情況下，移動的過程將依序形成一條道路，當第一次走回v時，則形成特殊的封閉道路，本文的研究是探討這種特殊封閉道路的邊數期望值。考量移動的過程中能否立即回頭，我將問題區分為兩種類型的期望值，利用矩陣解聯立方程組的概念，提供了演算法來求解。此外，我也進一步探討兩個期望值之間的相關性，並利用圖的總邊數以及點度數來刻畫期望值。我亦試著修改機率均等的原則，將選擇邊的機率一般化，探討期望值的特殊性質，從中刻畫出充分必要條件。

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論利用1、2、3 個圓去覆蓋三角形，並分銳角、直角、鈍角三角形做分類，有完整的結果。並且在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律，並連結「雙曲函數」與覆蓋圓面積和之間的關係。 最後，我們研究覆蓋圓面積和與三角形面積的比值及其最小值，並討論覆蓋圓圓心之連心線的相關性質。

本研究延續自作者前一年的研究「連通圖上行走步數期望值之研究」，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠前往任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下幾個問題，得出結論後並證明。結果如下：Kn (n - complete graph)、任意tree、Cm★Cn、Km★Kn中，螞蟻從其中一點vi出發，第一次走到另一點vj時經過邊數之期望值通式。除了研究不同的圖上點到點經過邊數期望值通式，針對圖論中經常用的距離 (點到點的最短路徑經過邊數) 與點到點的期望長度最大者進行比較，探討在圖上之性質。

本研究探討 Skolem sequence之推廣generalized Skolem-type sequence，是否能類比Skolem sequence 探討奇偶性 (parity) 的問題，也就是依照各數字所處位置模重複度 𝑠 所得餘數分類，觀察必不能填滿數列的組合，以找到數列存在的必要條件。接著以奇偶性 (parity) 及密度 (density) ，也就是比較數列位置差最大值與放入數列各數字的位置差總和，找出generalized Skolem sequence 的推廣 generalized Skolem-type sequence 存在的必要條件。 至於充分性，我構造出 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 在 𝑛 ≡ 2, 3 (mod 4), 𝑚 ≡ 1 (mod 2) 的情形，並猜想推導出的 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 必要條件也具充分性。接著我透過串接 Lanford sequence 的方式，構造出 𝑛 ≥ 3𝑚𝑘 + 1, 𝑚𝑖 ≥ 3𝑚𝑖−1 + 1 ∀ 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 的 (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem sequence 及 hooked (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem se- quence 存在的充分必要條件。

先前已證明正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形，當𝑚 = 3 或 4時𝑛 為任意數皆有解， 本篇我探討正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形( 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 5 )，當(𝑛, 𝑚)滿足何種關係時有解。 在研究中，我從最小(6,5)開始，依次遞增討論，我發現了，有解的一些規律(稱之為標準型)，藉由標準型嘗試規律。同時(𝑛, 𝑚)為一般數時，找出何種情形必無解，藉此探討、驗證一般項於何時有解。 在找出有解關係後，探討出規律後找出如何產生構圖的方式，以 GGB 做出構圖。

此份研究主要探討：給定一組平面中或空間中的n條直線L1、L2、…、Ln，就這n條直線的相對位置、交點情形及n，判斷是否存在矩陣變換T使得Lk可經由矩陣A映射到Lk+1，其中k=1,2,…,n且Ln+1=L1，並討論矩陣的唯一性與求出矩陣的一般模樣。

本研究延伸自作者前一年的研究「多『圓』文化的延伸——Japanese Temple GeometryProblem」，本作品靈感來自於其中一題日本算額問題。該題將正三角形透過特定的分割方式，將其分割為四個三角形。本研究改變其分割方式：在任意△ABC中，L、M、N分別為̅BC、̅AB、̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則 △ABC內切圓半徑等於△LMN 內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究刻劃出△ABC三邊上L、M、N的相對位置，並說明三點的相對位置是能夠利用尺規作圖實現的。最後也計算當△LMN存在時，三等圓半徑(r)的上界。此外，本研究將上述三角形的分割手法推廣至正n邊形和正四面體並探討內切圓與內切球的相關性質。另外也針對三角形內部的三圓半徑從原先的r改為r,gr,r，探討r的上界為何，最後也將研究內切圓延伸至外接圓，並觀察出三外接圓心與 L、M、N六點共橢圓。

本文研究了一個信息完全公開的組合遊戲，探討當一群人被完全隨機的分配到模型裡時，其初始位置與特定位置所形成的包圍關係，並探討最佳的人力分配。本研究通過座標解析與不等關係的代數運算等方法，成功找出獲勝條件對於遊戲雙方的限制，並進一步解決問題。在研究的過程中，也將結論擴展到不同模型，探討不同模型對於遊戲造成的影響，並比較其結論有何區別。

本研究延伸自作者前一年的研究「多『圓』文化的延伸——Japanese Temple GeometryProblem」，本作品靈感來自於其中一題日本算額問題。該題將正三角形透過特定的分割方式，將其分割為四個三角形。本研究改變其分割方式：在任意△ABC中，L、M、N分別為̅BC、̅AB、̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則 △ABC內切圓半徑等於△LMN 內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究刻劃出△ABC三邊上L、M、N的相對位置，並說明三點的相對位置是能夠利用尺規作圖實現的。最後也計算當△LMN存在時，三等圓半徑(r)的上界。此外，本研究將上述三角形的分割手法推廣至正n邊形和正四面體並探討內切圓與內切球的相關性質。另外也針對三角形內部的三圓半徑從原先的r改為r,gr,r，探討r的上界為何，最後也將研究內切圓延伸至外接圓，並觀察出三外接圓心與 L、M、N六點共橢圓。

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛 × 𝑚的棋盤中放入最多的1 × 𝑡或𝑡 × 1的骨牌，並使得每一個𝑡 × 𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡 = 2, 𝑛 = 𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡 = 2開始研究，推導出 (1)𝑛, 𝑚皆為偶數、(2)𝑛, 𝑚一奇一偶、(3)𝑛, 𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到 (4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛 = 𝑚的結果。最後再討論 (5)𝑛, 𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他數等不同可能性得出的不同答案。