數學

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論利用1、2、3 個圓去覆蓋三角形，並分銳角、直角、鈍角三角形做分類，有完整的結果。並且在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律，並連結「雙曲函數」與覆蓋圓面積和之間的關係。 最後，我們研究覆蓋圓面積和與三角形面積的比值及其最小值，並討論覆蓋圓圓心之連心線的相關性質。

騎士巡遊是一個著名的圖論問題，指的是給定一特定大小的棋盤，讓騎士透過日字型移動看是否能不重複的通過每一個點，若最後回到原點，則稱為哈密頓迴圈(閉循環)，若否，則為哈密頓路徑(開循環)。而這兩種問題前人都已經研究出了成立條件，因此我決定研究當騎士不再透過日字型的移動會發生什麼事，並探討能否透過特定移動方式，讓騎士能夠在無限大的棋盤上，不重複的通過每個格子點形成開循環。 而我的想法是先透過尋找騎士能走出來的單位圖形(矩形等能夠拼接成無限大平面的圖案)，如此，我的目標是著重在找出他們的單位圖形並想辦法拼接。

abcd–avoiding交替排列中的任⼀偶數項都要⼤於相鄰之奇數項，且其中任意四項皆不能有「abcd」的大小關係（「abcd」為 1 ~ 4 的⼀種排序），⽽偶數⾧度的 2341 和 3421–avoiding 交替排列皆為三維卡特蘭數的組合表徵。 本研究欲探討這兩種交替排列的組合關係以及可能的互相變換⽅法，我們發現兩種排列中「數字 1 在各項出現次數」有相同的分佈。我們推測可以透過移動數字 1 的位置在兩種排列中分別建⽴不同排列之間的對應的關係，並找到了兩種排列中部分的「數字 1 在第(2𝑘 − 1) 項」排列和全部的「數字 1 在第 (2𝑘 + 1) 項」排列互相變換的⽅法。利用這種排列關係，我們還證明了「數字 1 在第 (2𝑛 − 1) 項」的 2341 和 3421 – avoiding 交替排列具有一一對應的雙射變換法。

在這篇作品中，探討科學研習月刊中森棚教官的數學題－「互相牽制」的整除問題，此問題是指「你可以找到多少組正整數對(x, y)，讓x的平方減5為y的倍數且y的平方減5為x的倍數？」。我們除了探討原問題之外，也探討將5改為任意整數 l 的情況，我們要刻畫滿足 y | x2- l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。 首先建構生成另一組整數解的方法且推導出在 (x2+y2-l) / xy 為整數的條件下生成另一組整數解的方法。在 (x2+y2-l) /xy 為整數的條件下，可利用二階齊次線性遞迴數列及二次曲線刻畫滿足 y | x2 - l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。當上述條件不成立時，利用二次曲線試圖刻畫滿足 y | x2 且 x | y2 的所有整數解(x, y)，進一步推導出在特定條件下，可利用二次曲線刻畫滿足 y | x2且 x | y2的所有整數解(x, y)。

這份報告延伸上一份作品，要探討三角形中，假設以其中一頂點為起點， 欲利用一半徑為 r 的探測器，完整掃描三角形中每個邊以及邊上的每個點，最後再回到起點，試找出該路徑之最小值，以及該路徑與三角形之間的關係。在這份報告中，我們新增了在任意三角形中最短路徑的證明。 性質一，證明 D、E 兩點的存在性及唯一性。性質二，證明當四點共線時，會有最小值的發生。性質三，證明從直角或鈍角頂點出發的路徑為最小 值。性質四，證明從較小銳角頂點出發的最短路徑大於從直角或鈍角出發的最短路徑。性質六，證明任意三角形中最短路徑皆由最大角出發。 最後，我們將此問題延伸到四邊形，猜測從最大角頂點出發並回到起點的路徑為最小值，雖然我們發現了反例，但同時也證明了當最大角與第二大角差距夠大時，此猜測仍是正確的。

對於一個連通簡單圖G，由點v作為出發點，每次皆以機率均等的原則選擇一條邊移動，在點跟邊都可以重複使用的情況下，移動的過程將依序形成一條道路，當第一次走回v時，則形成特殊的封閉道路，本文的研究是探討這種特殊封閉道路的邊數期望值。考量移動的過程中能否立即回頭，我將問題區分為兩種類型的期望值，利用矩陣解聯立方程組的概念，提供了演算法來求解。此外，我也進一步探討兩個期望值之間的相關性，並利用圖的總邊數以及點度數來刻畫期望值。我亦試著修改機率均等的原則，將選擇邊的機率一般化，探討期望值的特殊性質，從中刻畫出充分必要條件。

本篇研究以探討多重訊號同時輸入時的訊號干擾問題出發，類比至國立臺灣師範大學數學系游森棚教授所提出的數學問題： 飛到西飛到東」，希望藉由導出多質點移動速率與其距原點間的位置關係，找出訊號重疊程度之峰值條件，藉此有望應用於硬體接收器的訊號輸出處理，或類比至電路設計與物流規劃等，達到避免相互干擾與提升傳輸效率的功用。 在內文中我們先以分段討論的方式解決期刊問題，並導出在任意系統中可快速辨別物體運動狀態之高斯函數。隨後以參數化曲線路徑與向量式的質點位置，拓展主題可適用範圍的自由度，再以高斯函數法和傅立葉級數法得出解型式之聯立組，最後利用數系之封閉性，將主題進一步約化處理。

對於任意正整數m和大於1的正整數p，將集合{m,m+1,...,pm-1}中的每一個元素用p進位制表示。令h為介在1到p-1的正整數，將上述集合在p進位制下有i個h的元素個數記為fh,i(m,p)。本文引進一個創新的想法，讓函數 fh,i(m,p)公式解的推導變得可行且簡單。 再者，當 p=2 時，令 fi(m)= f1,i(m,2)，由公式解可以推得對怎樣的正整數n，原像集合the preimage fi-1({n})之元素個數為1。

根據研究[1]指出：三角形磁磚邊之作用方式共有 5種，且共有 11種設計方法可在平面上密鋪。然而作者在解決問題的方法均是採用窮舉，方法不夠嚴謹。本研究運用不同的方法，透過代數計算證明了三角形磁磚共有 11種對稱密鋪圖結構；而 M.C.Escher在手作創作圖中只使用了其中 5種結構；在與前人的研究比較下，發現前人所歸納的 11種設計方法恰好對應到本研究中的 8種密鋪結構，而另外 3種結構是前人所未探討的磁磚內部變化方式。本研究也進一步推廣至相關立體圖形，如：正四面體、正八面體、正二十面體…等，並歸納出各種立體圖形可密鋪的種類數，透過適當軟體的支援下，可以快速且精確繪製出豐富有創意的圖樣。

本研究針對多人的跳躍數列在多顆球下的相關特例進行分析；多人跳躍數列規則為「同一個時間點任一人只會有一顆球回到手中」、「丟球期間需要連續、規律的接及丟出球並且無限持續下去」、「在多人丟球前可以有準備的時間」。 為了能呈現多人跳躍數列各個情況則用矩陣形式並採用有向圖進行討論，該圖的點元素代表當下每一顆球在幾秒中回到手中的狀態、邊元素則為每個狀態轉移時的丟球方式，接著將有向圖轉換為鄰接矩陣形式，並將點元素用類似 2進位的形式進行分類以便整理成規則一致的分塊矩陣，接著由 Cayley–Hamilton定理計算特徵方程式後，利用相關定理整理出各個特例分析的生成函數，如特定顆球同時回到手上的情況。