數學

The billiard table is a cuboid with integer side lengths. A point-wise ball moves with constant speed along segments making a 45◦ angle with the sides and bounces on these. We allow the ball to start from any of the 8 corners, resulting in a periodic trajectory known as a corner path. The geometry of the path depends on the artihmetic properties of the side lengths (for example if these are pairwise coprime). Points of contact between the ball and edges, known as edge points, are inves- tigated and their characteristics like distribution explicitly described. This generalizes a previous work by Perucca, Reguengo da Sousa and Tronto of University of Luxembourg.

給定三種大小不同的正三角形，邊長由大至小分別為正整數a、b、c，在每種三角形皆需使用的情況下，去拼出邊長為正整數的正三角形。眾所周知，「找到所有可以被拼出的正三角形邊長。」這個問題是困難的，原因是正整數有無窮多個，且可行的拼法非常多種。故本文欲探討的問題為：「尋找a、b、c的條件，使得無法被拼出的正三角形之正整數邊長個數僅有有限個。」 我們估算無法被拼出的最大正整數邊長，並為所有大於此數的正整數邊長，分門別類地創建合適的拼法，解答了上述問題。

這份報告延伸上一份作品，要探討三角形中，假設以其中一頂點為起點， 欲利用一半徑為 r 的探測器，完整掃描三角形中每個邊以及邊上的每個點，最後再回到起點，試找出該路徑之最小值，以及該路徑與三角形之間的關係。在這份報告中，我們新增了在任意三角形中最短路徑的證明。 性質一，證明 D、E 兩點的存在性及唯一性。性質二，證明當四點共線時，會有最小值的發生。性質三，證明從直角或鈍角頂點出發的路徑為最小 值。性質四，證明從較小銳角頂點出發的最短路徑大於從直角或鈍角出發的最短路徑。性質六，證明任意三角形中最短路徑皆由最大角出發。 最後，我們將此問題延伸到四邊形，猜測從最大角頂點出發並回到起點的路徑為最小值，雖然我們發現了反例，但同時也證明了當最大角與第二大角差距夠大時，此猜測仍是正確的。

本研究探討 Skolem sequence之推廣generalized Skolem-type sequence，是否能類比Skolem sequence 探討奇偶性 (parity) 的問題，也就是依照各數字所處位置模重複度 𝑠 所得餘數分類，觀察必不能填滿數列的組合，以找到數列存在的必要條件。接著以奇偶性 (parity) 及密度 (density) ，也就是比較數列位置差最大值與放入數列各數字的位置差總和，找出generalized Skolem sequence 的推廣 generalized Skolem-type sequence 存在的必要條件。 至於充分性，我構造出 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 在 𝑛 ≡ 2, 3 (mod 4), 𝑚 ≡ 1 (mod 2) 的情形，並猜想推導出的 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 必要條件也具充分性。接著我透過串接 Lanford sequence 的方式，構造出 𝑛 ≥ 3𝑚𝑘 + 1, 𝑚𝑖 ≥ 3𝑚𝑖−1 + 1 ∀ 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 的 (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem sequence 及 hooked (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem se- quence 存在的充分必要條件。

根據研究[1]指出：三角形磁磚邊之作用方式共有 5種，且共有 11種設計方法可在平面上密鋪。然而作者在解決問題的方法均是採用窮舉，方法不夠嚴謹。本研究運用不同的方法，透過代數計算證明了三角形磁磚共有 11種對稱密鋪圖結構；而 M.C.Escher在手作創作圖中只使用了其中 5種結構；在與前人的研究比較下，發現前人所歸納的 11種設計方法恰好對應到本研究中的 8種密鋪結構，而另外 3種結構是前人所未探討的磁磚內部變化方式。本研究也進一步推廣至相關立體圖形，如：正四面體、正八面體、正二十面體…等，並歸納出各種立體圖形可密鋪的種類數，透過適當軟體的支援下，可以快速且精確繪製出豐富有創意的圖樣。

本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。

本研究的研究靈感來自於科學月刊，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下三個問題，得出結論後並證明。並得出了以下結果：簡單連通 圖，螞蟻從其中一頂點出發，且往任何方向之機率皆相同，無論螞蟻是否可以走回頭路，牠第一次回到出發點時經過邊數之期望值之通式。在 n 點連通路徑圖 Pn(n -path graph) 中，螞蟻從其中一點 vi出發，第一次走到另一點 vj時經過邊數之期望值通式。並找出了當 n 點循環圖 Cn (n-cycle graph)上有一隻螞蟻從其中一點 vi第一次走到另一點 vj時，經過邊數之期望值與兩點之距離的關係。

本研究針對多人的跳躍數列在多顆球下的相關特例進行分析；多人跳躍數列規則為「同一個時間點任一人只會有一顆球回到手中」、「丟球期間需要連續、規律的接及丟出球並且無限持續下去」、「在多人丟球前可以有準備的時間」。 為了能呈現多人跳躍數列各個情況則用矩陣形式並採用有向圖進行討論，該圖的點元素代表當下每一顆球在幾秒中回到手中的狀態、邊元素則為每個狀態轉移時的丟球方式，接著將有向圖轉換為鄰接矩陣形式，並將點元素用類似 2進位的形式進行分類以便整理成規則一致的分塊矩陣，接著由 Cayley–Hamilton定理計算特徵方程式後，利用相關定理整理出各個特例分析的生成函數，如特定顆球同時回到手上的情況。

先前已證明正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形，當𝑚 = 3 或 4時𝑛 為任意數皆有解， 本篇我探討正𝑛 邊形內接正𝑚 邊形( 𝑛 ≥ 𝑚 ≥ 5 )，當(𝑛, 𝑚)滿足何種關係時有解。 在研究中，我從最小(6,5)開始，依次遞增討論，我發現了，有解的一些規律(稱之為標準型)，藉由標準型嘗試規律。同時(𝑛, 𝑚)為一般數時，找出何種情形必無解，藉此探討、驗證一般項於何時有解。 在找出有解關係後，探討出規律後找出如何產生構圖的方式，以 GGB 做出構圖。

此題出處為 Crux Mathematicorum, Vol. 44(4), Apr 2018[1]。已知H為△ABC 的垂心，自A、B與C往對邊̅BC、̅CA與̅AB 作三高，得三垂足為 D、E 與F，從△ABC的三邊往外作矩形，使其寬與三邊上的高成比例，再將這三個矩形相臨的頂點連起來，形成三組三角形。證明這三個三角形的中線會三線共點。事實上這點就是外心。 我將原題延伸為四種建構方法，從△ABC 的三邊往外作平行四邊形，分別連三個外接三角形，考慮其中線、角平分線、中垂線與高，以及三角形的五心。分析三線共點的情形。 本研究最特別之處是在四種建構96種情形中，共有69種共點。其中有7 種情形，當任意點J 配上三中線共點於P時，此時J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=2 :1。當任意點J與垂心重合時，三中線共點於外心，此時這條直線即歐拉線。另外有 11 種情形，當任意點J配上三中線共點於P時，此J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=1: 2。當任意點J與外心重合時，三中線共點於垂心，此時這條直線即歐拉線。且當f1(J,m)=P1，f2 (J , m)=P2，此時P2、P1、重心G與J共線。最特別的是當J與外心重合時， P1 是九點圓的圓心。