數學

本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。

本作品由2023年IMO的第五題出發，希望探索在忍者通道中的其他性質，首先思考改變每排中放入的球數並觀察規律，進而推廣到三維圓圈塔中的性質，最後使用hyper-cube(超立方體)的情況進行一般化的推廣與構造的優化，完成最小值問題的求解，另外也對於特例部分探索解的總數。

n個人面向圓心圍成一圈，順時針編號1, 2,..., n。初始每人手中皆持有一顆糖果，由 1 號開始依序傳給左邊的人一顆、兩顆、一顆、兩顆……糖果，手上沒有糖果的人必須立即退 出，直到不再有人退出。本研究主要探討此種糖果傳遞遊戲之最終結果，研究後發現僅分為由一人獨得之成功狀態，以及數人間循環傳遞之循環狀態，因此針對達成成功和循環狀態的充要條件、勝利者的初始編號、最終剩餘人數、遊戲結束時的傳遞輪數等進行研究探討。 除了研究最基本的型態之外，亦將遊戲規則推廣至初始每人手中可持有任意m顆糖果，也可任意傳遞i顆、 j顆、i顆、 j顆……糖果，且均已歸納並嚴謹證明其傳遞結果會依n值分為三大類。另外在研究過程中還發現：當傳遞步驟數為質數時，將其結果所成數列進行特定的行列式運算後之值與 jmn相關。

如果正整數1~n存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本研究主要使用不同方法探討質數環的存在性。在本研究與文獻中，都沒有寫出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，構造特定值的質數環，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本研究的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本研究提出使用不限定差的質數組構造質數環的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題的解決方法更一般化。

騎士巡遊是一個著名的圖論問題，指的是給定一特定大小的棋盤，讓騎士透過日字型移動看是否能不重複的通過每一個點，若最後回到原點，則稱為哈密頓迴圈(閉循環)，若否，則為哈密頓路徑(開循環)。而這兩種問題前人都已經研究出了成立條件，因此我決定研究當騎士不再透過日字型的移動會發生什麼事，並探討能否透過特定移動方式，讓騎士能夠在無限大的棋盤上，不重複的通過每個格子點形成開循環。 而我的想法是先透過尋找騎士能走出來的單位圖形(矩形等能夠拼接成無限大平面的圖案)，如此，我的目標是著重在找出他們的單位圖形並想辦法拼接。

n個圓圈以一維排列所構成圖形中，若指定當中一圓圈塗色時，其左右相鄰圓圈各有1/2機率被塗色，欲求出使得該圖形之指定塗色次數的期望值達最小之最優化塗色方法。本研究共探討了n個圓圈之「直線排列」、「環狀排列」與n個圓圈及m個圓圈之「環狀結合直線排列」等三種圖形。

根據研究[1]指出：三角形磁磚邊之作用方式共有 5種，且共有 11種設計方法可在平面上密鋪。然而作者在解決問題的方法均是採用窮舉，方法不夠嚴謹。本研究運用不同的方法，透過代數計算證明了三角形磁磚共有 11種對稱密鋪圖結構；而 M.C.Escher在手作創作圖中只使用了其中 5種結構；在與前人的研究比較下，發現前人所歸納的 11種設計方法恰好對應到本研究中的 8種密鋪結構，而另外 3種結構是前人所未探討的磁磚內部變化方式。本研究也進一步推廣至相關立體圖形，如：正四面體、正八面體、正二十面體…等，並歸納出各種立體圖形可密鋪的種類數，透過適當軟體的支援下，可以快速且精確繪製出豐富有創意的圖樣。

本研究針對多人的跳躍數列在多顆球下的相關特例進行分析；多人跳躍數列規則為「同一個時間點任一人只會有一顆球回到手中」、「丟球期間需要連續、規律的接及丟出球並且無限持續下去」、「在多人丟球前可以有準備的時間」。 為了能呈現多人跳躍數列各個情況則用矩陣形式並採用有向圖進行討論，該圖的點元素代表當下每一顆球在幾秒中回到手中的狀態、邊元素則為每個狀態轉移時的丟球方式，接著將有向圖轉換為鄰接矩陣形式，並將點元素用類似 2進位的形式進行分類以便整理成規則一致的分塊矩陣，接著由 Cayley–Hamilton定理計算特徵方程式後，利用相關定理整理出各個特例分析的生成函數，如特定顆球同時回到手上的情況。

關於三角形的分割子三角形之內切圓問題，我們設定了幾個新的研究項目並且得出豐富的成果。第一，子三角形的切圓的切點重合性質；第二，子三角形的切圓「半徑長度乘積不變量」；第三，兩點圓心連線性質以及三點圓心連線三角形的面積不變量。首先，我們給出一般化的切圓之切點重合分割存在唯一性。在此條件下，其切圓的圓心均落在一個拋物線，這是很有趣結果。我們再依序探討兩個、三個到多個子三角形，先給出內切圓與旁切圓半徑長度乘積與邊長的關係式，並且發現了不變量。最後探討三點圓心連線三角形面積不變量。值得一提的是，看似不相關的「圓心連線三角形的面積比值」與「半徑長度乘積比值」居然是等價，這是本研究亮點。最後我們完整給出分割為三個子三角形的所有面積不變量的所有組合。

本研究要探討在兩同心圓，大圓的內接大正五邊形和中心在小圓上移動的小正五邊形在固定邊長、圓半徑的情況下，不論小正五邊形在圓上如何移動，其對應頂點的距離平方和、四次方和為定值以及頂點至對應邊的距離的總和、平方和為定值並試著推廣至正n 邊形並找出它們的定值為何 。