數學

關於三角形的分割子三角形之內切圓問題，我們設定了幾個新的研究項目並且得出豐富的成果。第一，子三角形的切圓的切點重合性質；第二，子三角形的切圓「半徑長度乘積不變量」；第三，兩點圓心連線性質以及三點圓心連線三角形的面積不變量。首先，我們給出一般化的切圓之切點重合分割存在唯一性。在此條件下，其切圓的圓心均落在一個拋物線，這是很有趣結果。我們再依序探討兩個、三個到多個子三角形，先給出內切圓與旁切圓半徑長度乘積與邊長的關係式，並且發現了不變量。最後探討三點圓心連線三角形面積不變量。值得一提的是，看似不相關的「圓心連線三角形的面積比值」與「半徑長度乘積比值」居然是等價，這是本研究亮點。最後我們完整給出分割為三個子三角形的所有面積不變量的所有組合。

At the 61st National High School Science Fair of Taiwan, the first-rank paper "The Study of the Largest Area of Inscribed Triangle within the Intersection of two circles" was presented. The authors discussed several properties of maximum area of inscribed triangles within intersection regions of two congruent circles. They only claim their results but without providing a rigorous proof. However, we give a proof by showing the convergence of the iteration of finding the largest height. Subsequently, we offer new methods to approach the problems such as the trigonometric identities, Jensen's Inequality to prove the maximum area of triangles and quadrangles within the intersection region of two congruent circles. Finally, we determined the maximum area for the case of n-gons. We conducted further research and discussion on this issue. In the future, we hope to prove why the maximum area of n-gons within the intersection region of two congruent circles occurs when there are two points on the intersection points of the two circles. We aim similar problems in the three-dimensional space, namely the maximum volume of tetrahedron within the intersection of two unit spheres.

本研究主要目的是研究機器人以等距行進方式從起點前進回到起點的回程路徑問題。 主要以三角函數、遞迴數列、數學歸納法等數學模型來探究、推演與論證，同時利用數學電腦軟體來計算與驗證。一開始先利用Geogebra來探索原始題目，初步得到一些性質和結果；接著，再延伸題目，依不同的起始點位置，探討步數和角度的關係、行進過程中各落點位置的遞迴關係與回程路徑。最後，再將兩條相交直線延伸成三條共點的直線，並依其間的夾角度數，探討以等距行進方式從起點前進回到起點的回程路徑數問題。 本研究根據所建構的數學模型，依不同起始點位置，構作出機器人以等距行進方式回到起始點的回程路徑圖，並得到此回程路徑上相對位置的遞迴關係。本研究在研究過程中，得到一些有趣的數學理論，期望這些成果未來能夠應用於AI機器人運動模式的相關領域。

楊氏矩陣是由有限多個相鄰的方格排列而成的表格，各橫列的左邊對齊，格子數由下而上遞增，而標準楊氏矩陣中每列與每行的元素皆嚴格遞增。我們將楊氏矩陣的「方格」變形為「三角形」，制定與原先楊氏矩陣相似的規則，並命名之為三角楊氏陣列。 本篇研究中，我們首先求得了將某些特定形狀的兩列三角楊氏陣列的遞迴關係式、生成函數、一般項，其與組合學上著名的卡特蘭數亦有相關。後來更是一般化至任意的兩列三角楊氏陣列，得到能夠求其方法數的通式。研究中使用的推算邏輯與方法，也許對未來再研究更一般(或云更多列)的三角楊氏陣列會有所幫助，另外，此研究與偏序集合(Partially Ordered Set)有關，可能可以應用於資訊領域的排序問題。

本作品在探討2023年IMO問題5中所提到的關於日式三角形(Japanese triangle)之問題，日式三角形是將1+2+...+n個圓排成正三角形的形狀，使得對所有i=1,2,...,n，由上往下數的第i列有i個圓，且每一列都有一個圓塗成紅色。日式三角形中的忍者路徑是一串由最上列到最下列的n個圓，其中每個圓連到其下一列與之相鄰的兩圓之一。我們分成兩個研究方向：一、找出k的最大值，保證在每一個日式三角形中，有一條包含至少k個紅色圓的忍者路徑。二、找出k的最小值，保證在每一個日式三角形中，有一條包含至多k個紅色圓的忍者路徑。 研究中，我們一般化每列的紅圓數為任意自然數𝓵(若該列總圓數不足𝓵則以該列總圓數塗色)，並將問題推廣至空間三角垛的情形。最後，我們將𝓵=l的情形推廣至高維空間。

給定三種大小不同的正三角形，邊長由大至小分別為正整數a、b、c，在每種三角形皆需使用的情況下，去拼出邊長為正整數的正三角形。眾所周知，「找到所有可以被拼出的正三角形邊長。」這個問題是困難的，原因是正整數有無窮多個，且可行的拼法非常多種。故本文欲探討的問題為：「尋找a、b、c的條件，使得無法被拼出的正三角形之正整數邊長個數僅有有限個。」 我們估算無法被拼出的最大正整數邊長，並為所有大於此數的正整數邊長，分門別類地創建合適的拼法，解答了上述問題。

本研究探討 Skolem sequence之推廣generalized Skolem-type sequence，是否能類比Skolem sequence 探討奇偶性 (parity) 的問題，也就是依照各數字所處位置模重複度 𝑠 所得餘數分類，觀察必不能填滿數列的組合，以找到數列存在的必要條件。接著以奇偶性 (parity) 及密度 (density) ，也就是比較數列位置差最大值與放入數列各數字的位置差總和，找出generalized Skolem sequence 的推廣 generalized Skolem-type sequence 存在的必要條件。 至於充分性，我構造出 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 在 𝑛 ≡ 2, 3 (mod 4), 𝑚 ≡ 1 (mod 2) 的情形，並猜想推導出的 hooked (1, 𝑚)-near Skolem sequence 必要條件也具充分性。接著我透過串接 Lanford sequence 的方式，構造出 𝑛 ≥ 3𝑚𝑘 + 1, 𝑚𝑖 ≥ 3𝑚𝑖−1 + 1 ∀ 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 的 (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem sequence 及 hooked (𝑚1, 𝑚2, … , 𝑚𝑘)-near Skolem se- quence 存在的充分必要條件。

Retail inventory management is a crucial part of many businesses due to the high profit associated with it as well as the uncertainty around it, especially for industries with short production cycles and a complex supply chain.Proper management ofretail inventories can lead to decreased inventory costs, prevent spoilage and obsoles- cence, and improve customer satisfaction, all of which lead to increased profits for the company.Inthispaper,wefirstproposeextendingawell-knowninequalityandtry to generalize it to other conditions and similar inequalities.The inequality involves multiple variables and how the maximum/minimum values of a subset of the numbers compare to the maximum/minimum values of the whole set of numbers.Our main contribution is applying such inequality in inventory management to help estimate the total cost of inventory management, which would allow us to determine the shutdown pointforaspecificcompanyusingthegeneralizationsoftheinequality.Lastly,weshow thatourestimatesarereasonableandproposesomefutureareaswheremoreworkcan be done.

此研究討論三角形𝐴𝐵𝐶的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1.用外接圓半徑𝑅及∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶表示各心到三邊之距離。 2.設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑑4 ，其大小關係為： (1)在銳角∆中，𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ 𝑑4 ≥ 𝑑3，僅當正∆ 時，等號成立。 (2)在直角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 > 𝑑3。 (3)在鈍角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 恆成立。𝑑3與𝑑1、𝑑2、𝑑4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 (4)在鈍角∆中，若最大內角≥ 120° ，則𝑑3 > 𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4。 3.在銳角∆ 及直角∆ 中，等式𝑑2=2/3 𝑑1+1/3 𝑑3和 𝑑2+1/3 𝑑1-1/3 𝑑3-1/3 𝑑4 = 𝑅 恆成立。

騎士巡遊是一個著名的圖論問題，指的是給定一特定大小的棋盤，讓騎士透過日字型移動看是否能不重複的通過每一個點，若最後回到原點，則稱為哈密頓迴圈(閉循環)，若否，則為哈密頓路徑(開循環)。而這兩種問題前人都已經研究出了成立條件，因此我決定研究當騎士不再透過日字型的移動會發生什麼事，並探討能否透過特定移動方式，讓騎士能夠在無限大的棋盤上，不重複的通過每個格子點形成開循環。 而我的想法是先透過尋找騎士能走出來的單位圖形(矩形等能夠拼接成無限大平面的圖案)，如此，我的目標是著重在找出他們的單位圖形並想辦法拼接。