數學

本研究探討在一場圓桌會議中，n人逐一亂序入場找尋各自對應的名牌編號(1~n號)入座，其中1號第一個入場並坐到了k號位，此後入場的人們若發現與自己編號相同的位置是空的，就直接入座；若與自己編號相同的位置被占走了，就以逆時針方向尋找空位入座。在上述的規則下，若共有n 人，且 1 號坐到 k號位的情況，給予與問題相關統計量的組合證明。後續本研究將規則改為1 ~ p號 按照順序進場且皆想坐到 k 號位的前提下，探討了坐錯的人們是怎麼樣的循環和坐錯人數的次數分佈。並多數的研究結果皆與 stirling numbers of the first kind 有相關。 本研究還 探討了共有 n 人，且 1 號坐到 k號位的情況下， 坐錯人數的標準差函數的遞增情況 與對數函數完全曲線相關。

本文研究了一個信息完全公開的組合遊戲，探討當一群人被完全隨機的分配到模型裡時，其初始位置與特定位置所形成的包圍關係，並探討最佳的人力分配。本研究通過座標解析與不等關係的代數運算等方法，成功找出獲勝條件對於遊戲雙方的限制，並進一步解決問題。在研究的過程中，也將結論擴展到不同模型，探討不同模型對於遊戲造成的影響，並比較其結論有何區別。

本研究要探討在兩同心圓，大圓的內接大正五邊形和中心在小圓上移動的小正五邊形在固定邊長、圓半徑的情況下，不論小正五邊形在圓上如何移動，其對應頂點的距離平方和、四次方和為定值以及頂點至對應邊的距離的總和、平方和為定值並試著推廣至正n 邊形並找出它們的定值為何 。

本研究延續自作者前一年的研究「連通圖上行走步數期望值之研究」，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠前往任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下幾個問題，得出結論後並證明。結果如下：Kn (n - complete graph)、任意tree、Cm★Cn、Km★Kn中，螞蟻從其中一點vi出發，第一次走到另一點vj時經過邊數之期望值通式。除了研究不同的圖上點到點經過邊數期望值通式，針對圖論中經常用的距離 (點到點的最短路徑經過邊數) 與點到點的期望長度最大者進行比較，探討在圖上之性質。

本作品針對固定格點中的最大覆蓋進行研究，探討三角形與平行六面體的最大覆蓋面積與體積，以及此時的作圖圖形。對於三角形，我們的研究對象為平面 9𝑛2 格點，我們觀察出每三圈格點為一個作圖單位，並藉由定義點集合範圍來證明最大面積三角形。為了證明所提出的猜想，我們以三個正方形與四個三角形之間的轉換關係為方向進行研究，並求出相同旋轉點三角形的大小關係，將坐標分門別類後加以探討。至於平行六面體的部分，我們則研究立體 8𝑛3 格點，在提出最大體積總和之猜想後，以底面積與高兩方面來推算出最大體積，最後將平行六面體依據平面法向量分成數類以證明猜想。

本研究從2022年APMO第五題的代數題目出發，題目為a1,a2,a3,a4∈ℝ，(4∑k=1)ak2=1，試求出(a4-a1)(3∏k=1)(ak-ak+1)的最小值。我們希望將原問題的四個未知數，希望推廣到n個未知數的通解。我們首先用算幾不等式及其他幾何性質算出了n=2~4的解，其中包括了偏微分求切平面的方法。在研究n的未知數的通解時，我們利用實數的完備性說明最小值一定存在，接著我們利用舉例以及反證法，發現到n個未知數時其最小值會小於0，以及最小值成立時各項相加會等於0，我們運用這些特別的性質，並且使用了各種不等式得出n=2(mod4)的通解。最後我們用拉格朗日乘數可以求出n=k(mod2k)的局部最小值，還有部分相加與相減的關聯性，未來希望能求出絕對的最小值和最大值。

本篇研究以探討多重訊號同時輸入時的訊號干擾問題出發，類比至國立臺灣師範大學數學系游森棚教授所提出的數學問題： 飛到西飛到東」，希望藉由導出多質點移動速率與其距原點間的位置關係，找出訊號重疊程度之峰值條件，藉此有望應用於硬體接收器的訊號輸出處理，或類比至電路設計與物流規劃等，達到避免相互干擾與提升傳輸效率的功用。 在內文中我們先以分段討論的方式解決期刊問題，並導出在任意系統中可快速辨別物體運動狀態之高斯函數。隨後以參數化曲線路徑與向量式的質點位置，拓展主題可適用範圍的自由度，再以高斯函數法和傅立葉級數法得出解型式之聯立組，最後利用數系之封閉性，將主題進一步約化處理。

At the 61st National High School Science Fair of Taiwan, the first-rank paper "The Study of the Largest Area of Inscribed Triangle within the Intersection of two circles" was presented. The authors discussed several properties of maximum area of inscribed triangles within intersection regions of two congruent circles. They only claim their results but without providing a rigorous proof. However, we give a proof by showing the convergence of the iteration of finding the largest height. Subsequently, we offer new methods to approach the problems such as the trigonometric identities, Jensen's Inequality to prove the maximum area of triangles and quadrangles within the intersection region of two congruent circles. Finally, we determined the maximum area for the case of n-gons. We conducted further research and discussion on this issue. In the future, we hope to prove why the maximum area of n-gons within the intersection region of two congruent circles occurs when there are two points on the intersection points of the two circles. We aim similar problems in the three-dimensional space, namely the maximum volume of tetrahedron within the intersection of two unit spheres.

本作品在探討2023年IMO問題5中所提到的關於日式三角形(Japanese triangle)之問題，日式三角形是將1+2+...+n個圓排成正三角形的形狀，使得對所有i=1,2,...,n，由上往下數的第i列有i個圓，且每一列都有一個圓塗成紅色。日式三角形中的忍者路徑是一串由最上列到最下列的n個圓，其中每個圓連到其下一列與之相鄰的兩圓之一。我們分成兩個研究方向：一、找出k的最大值，保證在每一個日式三角形中，有一條包含至少k個紅色圓的忍者路徑。二、找出k的最小值，保證在每一個日式三角形中，有一條包含至多k個紅色圓的忍者路徑。 研究中，我們一般化每列的紅圓數為任意自然數𝓵(若該列總圓數不足𝓵則以該列總圓數塗色)，並將問題推廣至空間三角垛的情形。最後，我們將𝓵=l的情形推廣至高維空間。

本作品針對固定格點中的最大覆蓋進行研究，探討三角形與平行六面體的最大覆蓋面積與體積，以及此時的作圖圖形。對於三角形，我們的研究對象為平面 9𝑛2 格點，我們觀察出每三圈格點為一個作圖單位，並藉由定義點集合範圍來證明最大面積三角形。為了證明所提出的猜想，我們以三個正方形與四個三角形之間的轉換關係為方向進行研究，並求出相同旋轉點三角形的大小關係，將坐標分門別類後加以探討。至於平行六面體的部分，我們則研究立體 8𝑛3 格點，在提出最大體積總和之猜想後，以底面積與高兩方面來推算出最大體積，最後將平行六面體依據平面法向量分成數類以證明猜想。