如果正整數1~n存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本研究主要使用不同方法探討質數環的存在性。在本研究與文獻中，都沒有寫出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，構造特定值的質數環，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本研究的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本研究提出使用不限定差的質數組構造質數環的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題的解決方法更一般化。

本研究探討隨機生成數列的長度期望值。一個籤筒中有n支籤，編號分別為1,2,3,…,n，每抽出一支籤，就將抽取的編號寫在紙上，形成一個數列。數列只能向左右兩端添加項，不能從中插入。抽出的籤若大於目前數列的最大項，則將抽出的數寫在目前數列右邊；抽出的籤若小於目前數列的最小項，則將抽出的數寫在目前數列左邊；抽出的籤若介於目前數列的最小與最大項之間，則操作結束。基於此想法，研究者將數列依照添加項的方向分為「單向數列」與「雙向數列」兩類。顧名思義，單向數列只能向一端延伸（本研究不失一般性討論往右延伸），雙向數列代表可以向左右兩端延伸。此外，研究者又將數列分為「嚴格遞增減」和「非嚴格遞增減」兩類。在生成原理上，嚴格遞增減等價於「抽後不放回」；非嚴格遞增減等價於「抽後放回」。在這樣的規則下，本研究探討了n支籤抽完放回與不放回時，單雙向隨機生成數列的長度期望值之通解，並成功證明了一些恆等式及性質。

在這篇作品中，探討科學研習月刊中森棚教官的數學題－「互相牽制」的整除問題，此問題是指「你可以找到多少組正整數對(x, y)，讓x的平方減5為y的倍數且y的平方減5為x的倍數？」。我們除了探討原問題之外，也探討將5改為任意整數 l 的情況，我們要刻畫滿足 y | x2- l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。 首先建構生成另一組整數解的方法且推導出在 (x2+y2-l) / xy 為整數的條件下生成另一組整數解的方法。在 (x2+y2-l) /xy 為整數的條件下，可利用二階齊次線性遞迴數列及二次曲線刻畫滿足 y | x2 - l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。當上述條件不成立時，利用二次曲線試圖刻畫滿足 y | x2 且 x | y2 的所有整數解(x, y)，進一步推導出在特定條件下，可利用二次曲線刻畫滿足 y | x2且 x | y2的所有整數解(x, y)。

本研究探討在一場圓桌會議中，n人逐一亂序入場找尋各自對應的名牌編號(1~n號)入座，其中1號第一個入場並坐到了k號位，此後入場的人們若發現與自己編號相同的位置是空的，就直接入座；若與自己編號相同的位置被占走了，就以逆時針方向尋找空位入座。在上述的規則下，若共有n 人，且 1 號坐到 k號位的情況，給予與問題相關統計量的組合證明。後續本研究將規則改為1 ~ p號 按照順序進場且皆想坐到 k 號位的前提下，探討了坐錯的人們是怎麼樣的循環和坐錯人數的次數分佈。並多數的研究結果皆與 stirling numbers of the first kind 有相關。 本研究還 探討了共有 n 人，且 1 號坐到 k號位的情況下， 坐錯人數的標準差函數的遞增情況 與對數函數完全曲線相關。

n個圓圈以一維排列所構成圖形中，若指定當中一圓圈塗色時，其左右相鄰圓圈各有1/2機率被塗色，欲求出使得該圖形之指定塗色次數的期望值達最小之最優化塗色方法。本研究共探討了n個圓圈之「直線排列」、「環狀排列」與n個圓圈及m個圓圈之「環狀結合直線排列」等三種圖形。

本篇研究以探討多重訊號同時輸入時的訊號干擾問題出發，類比至國立臺灣師範大學數學系游森棚教授所提出的數學問題： 飛到西飛到東」，希望藉由導出多質點移動速率與其距原點間的位置關係，找出訊號重疊程度之峰值條件，藉此有望應用於硬體接收器的訊號輸出處理，或類比至電路設計與物流規劃等，達到避免相互干擾與提升傳輸效率的功用。 在內文中我們先以分段討論的方式解決期刊問題，並導出在任意系統中可快速辨別物體運動狀態之高斯函數。隨後以參數化曲線路徑與向量式的質點位置，拓展主題可適用範圍的自由度，再以高斯函數法和傅立葉級數法得出解型式之聯立組，最後利用數系之封閉性，將主題進一步約化處理。

此研究討論三角形𝐴𝐵𝐶的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1.用外接圓半徑𝑅及∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶表示各心到三邊之距離。 2.設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑑4 ，其大小關係為： (1)在銳角∆中，𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ 𝑑4 ≥ 𝑑3，僅當正∆ 時，等號成立。 (2)在直角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 > 𝑑3。 (3)在鈍角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 恆成立。𝑑3與𝑑1、𝑑2、𝑑4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 (4)在鈍角∆中，若最大內角≥ 120° ，則𝑑3 > 𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4。 3.在銳角∆ 及直角∆ 中，等式𝑑2=2/3 𝑑1+1/3 𝑑3和 𝑑2+1/3 𝑑1-1/3 𝑑3-1/3 𝑑4 = 𝑅 恆成立。

本研究從2022年APMO第五題的代數題目出發，題目為a1,a2,a3,a4∈ℝ，(4∑k=1)ak2=1，試求出(a4-a1)(3∏k=1)(ak-ak+1)的最小值。我們希望將原問題的四個未知數，希望推廣到n個未知數的通解。我們首先用算幾不等式及其他幾何性質算出了n=2~4的解，其中包括了偏微分求切平面的方法。在研究n的未知數的通解時，我們利用實數的完備性說明最小值一定存在，接著我們利用舉例以及反證法，發現到n個未知數時其最小值會小於0，以及最小值成立時各項相加會等於0，我們運用這些特別的性質，並且使用了各種不等式得出n=2(mod4)的通解。最後我們用拉格朗日乘數可以求出n=k(mod2k)的局部最小值，還有部分相加與相減的關聯性，未來希望能求出絕對的最小值和最大值。

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛 × 𝑚的棋盤中放入最多的1 × 𝑡或𝑡 × 1的骨牌，並使得每一個𝑡 × 𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡 = 2, 𝑛 = 𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡 = 2開始研究，推導出 (1)𝑛, 𝑚皆為偶數、(2)𝑛, 𝑚一奇一偶、(3)𝑛, 𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到 (4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛 = 𝑚的結果。最後再討論 (5)𝑛, 𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他數等不同可能性得出的不同答案。

本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。