數學

In2013,Adamsintroducedthen-crossingnumberofaknotK,denoted by cn(K).Inequalities between the 2-, 3-, 4-, and 5-crossing numbers have been previously established.We prove c9(K)≤c3(K)−2 for all knots Kthat are not the trivial, trefoil, or figure-eightknot.Weshowthisinequalityisoptimalandobtainpreviouslyunknownvalues for c9(K).

此份研究主要探討：給定一組平面中或空間中的n條直線L1、L2、…、Ln，就這n條直線的相對位置、交點情形及n，判斷是否存在矩陣變換T使得Lk可經由矩陣A映射到Lk+1，其中k=1,2,…,n且Ln+1=L1，並討論矩陣的唯一性與求出矩陣的一般模樣。

此份研究主要探討：給定一組平面中或空間中的n條直線L1、L2、…、Ln，就這n條直線的相對位置、交點情形及n，判斷是否存在矩陣變換T使得Lk可經由矩陣A映射到Lk+1，其中k=1,2,…,n且Ln+1=L1，並討論矩陣的唯一性與求出矩陣的一般模樣。

本研究延伸自作者前一年的研究「多『圓』文化的延伸——Japanese Temple GeometryProblem」，本作品靈感來自於其中一題日本算額問題。該題將正三角形透過特定的分割方式，將其分割為四個三角形。本研究改變其分割方式：在任意△ABC中，L、M、N分別為̅BC、̅AB、̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則 △ABC內切圓半徑等於△LMN 內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究刻劃出△ABC三邊上L、M、N的相對位置，並說明三點的相對位置是能夠利用尺規作圖實現的。最後也計算當△LMN存在時，三等圓半徑(r)的上界。此外，本研究將上述三角形的分割手法推廣至正n邊形和正四面體並探討內切圓與內切球的相關性質。另外也針對三角形內部的三圓半徑從原先的r改為r,gr,r，探討r的上界為何，最後也將研究內切圓延伸至外接圓，並觀察出三外接圓心與 L、M、N六點共橢圓。

如果正整數1~n存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本研究主要使用不同方法探討質數環的存在性。在本研究與文獻中，都沒有寫出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，構造特定值的質數環，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本研究的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本研究提出使用不限定差的質數組構造質數環的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題的解決方法更一般化。

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛 × 𝑚的棋盤中放入最多的1 × 𝑡或𝑡 × 1的骨牌，並使得每一個𝑡 × 𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡 = 2, 𝑛 = 𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡 = 2開始研究，推導出 (1)𝑛, 𝑚皆為偶數、(2)𝑛, 𝑚一奇一偶、(3)𝑛, 𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到 (4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛 = 𝑚的結果。最後再討論 (5)𝑛, 𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他數等不同可能性得出的不同答案。

本研究延續自作者前一年的研究「連通圖上行走步數期望值之研究」，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠前往任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下幾個問題，得出結論後並證明。結果如下：Kn (n - complete graph)、任意tree、Cm★Cn、Km★Kn中，螞蟻從其中一點vi出發，第一次走到另一點vj時經過邊數之期望值通式。除了研究不同的圖上點到點經過邊數期望值通式，針對圖論中經常用的距離 (點到點的最短路徑經過邊數) 與點到點的期望長度最大者進行比較，探討在圖上之性質。

The billiard table is a cuboid with integer side lengths. A point-wise ball moves with constant speed along segments making a 45◦ angle with the sides and bounces on these. We allow the ball to start from any of the 8 corners, resulting in a periodic trajectory known as a corner path. The geometry of the path depends on the artihmetic properties of the side lengths (for example if these are pairwise coprime). Points of contact between the ball and edges, known as edge points, are inves- tigated and their characteristics like distribution explicitly described. This generalizes a previous work by Perucca, Reguengo da Sousa and Tronto of University of Luxembourg.

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛 × 𝑚的棋盤中放入最多的1 × 𝑡或𝑡 × 1的骨牌，並使得每一個𝑡 × 𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡 = 2, 𝑛 = 𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡 = 2開始研究，推導出 (1)𝑛, 𝑚皆為偶數、(2)𝑛, 𝑚一奇一偶、(3)𝑛, 𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到 (4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛 = 𝑚的結果。最後再討論 (5)𝑛, 𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他數等不同可能性得出的不同答案。

此題出處為 Crux Mathematicorum, Vol. 44(4), Apr 2018[1]。已知H為△ABC 的垂心，自A、B與C往對邊̅BC、̅CA與̅AB 作三高，得三垂足為 D、E 與F，從△ABC的三邊往外作矩形，使其寬與三邊上的高成比例，再將這三個矩形相臨的頂點連起來，形成三組三角形。證明這三個三角形的中線會三線共點。事實上這點就是外心。 我將原題延伸為四種建構方法，從△ABC 的三邊往外作平行四邊形，分別連三個外接三角形，考慮其中線、角平分線、中垂線與高，以及三角形的五心。分析三線共點的情形。 本研究最特別之處是在四種建構96種情形中，共有69種共點。其中有7 種情形，當任意點J 配上三中線共點於P時，此時J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=2 :1。當任意點J與垂心重合時，三中線共點於外心，此時這條直線即歐拉線。另外有 11 種情形，當任意點J配上三中線共點於P時，此J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=1: 2。當任意點J與外心重合時，三中線共點於垂心，此時這條直線即歐拉線。且當f1(J,m)=P1，f2 (J , m)=P2，此時P2、P1、重心G與J共線。最特別的是當J與外心重合時， P1 是九點圓的圓心。