本研究延續自作者前一年的研究「連通圖上行走步數期望值之研究」，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠前往任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下幾個問題，得出結論後並證明。結果如下：Kn (n - complete graph)、任意tree、Cm★Cn、Km★Kn中，螞蟻從其中一點vi出發，第一次走到另一點vj時經過邊數之期望值通式。除了研究不同的圖上點到點經過邊數期望值通式，針對圖論中經常用的距離 (點到點的最短路徑經過邊數) 與點到點的期望長度最大者進行比較，探討在圖上之性質。

At the 61st National High School Science Fair of Taiwan, the first-rank paper "The Study of the Largest Area of Inscribed Triangle within the Intersection of two circles" was presented. The authors discussed several properties of maximum area of inscribed triangles within intersection regions of two congruent circles. They only claim their results but without providing a rigorous proof. However, we give a proof by showing the convergence of the iteration of finding the largest height. Subsequently, we offer new methods to approach the problems such as the trigonometric identities, Jensen's Inequality to prove the maximum area of triangles and quadrangles within the intersection region of two congruent circles. Finally, we determined the maximum area for the case of n-gons. We conducted further research and discussion on this issue. In the future, we hope to prove why the maximum area of n-gons within the intersection region of two congruent circles occurs when there are two points on the intersection points of the two circles. We aim similar problems in the three-dimensional space, namely the maximum volume of tetrahedron within the intersection of two unit spheres.

騎士巡遊是一個著名的圖論問題，指的是給定一特定大小的棋盤，讓騎士透過日字型移動看是否能不重複的通過每一個點，若最後回到原點，則稱為哈密頓迴圈(閉循環)，若否，則為哈密頓路徑(開循環)。而這兩種問題前人都已經研究出了成立條件，因此我決定研究當騎士不再透過日字型的移動會發生什麼事，並探討能否透過特定移動方式，讓騎士能夠在無限大的棋盤上，不重複的通過每個格子點形成開循環。 而我的想法是先透過尋找騎士能走出來的單位圖形(矩形等能夠拼接成無限大平面的圖案)，如此，我的目標是著重在找出他們的單位圖形並想辦法拼接。

本作品由2023年IMO的第五題出發，希望探索在忍者通道中的其他性質，首先思考改變每排中放入的球數並觀察規律，進而推廣到三維圓圈塔中的性質，最後使用hyper-cube(超立方體)的情況進行一般化的推廣與構造的優化，完成最小值問題的求解，另外也對於特例部分探索解的總數。

本研究要探討在兩同心圓，大圓的內接大正五邊形和中心在小圓上移動的小正五邊形在固定邊長、圓半徑的情況下，不論小正五邊形在圓上如何移動，其對應頂點的距離平方和、四次方和為定值以及頂點至對應邊的距離的總和、平方和為定值並試著推廣至正n 邊形並找出它們的定值為何 。

n個人面向圓心圍成一圈，順時針編號1, 2,..., n。初始每人手中皆持有一顆糖果，由 1 號開始依序傳給左邊的人一顆、兩顆、一顆、兩顆……糖果，手上沒有糖果的人必須立即退 出，直到不再有人退出。本研究主要探討此種糖果傳遞遊戲之最終結果，研究後發現僅分為由一人獨得之成功狀態，以及數人間循環傳遞之循環狀態，因此針對達成成功和循環狀態的充要條件、勝利者的初始編號、最終剩餘人數、遊戲結束時的傳遞輪數等進行研究探討。 除了研究最基本的型態之外，亦將遊戲規則推廣至初始每人手中可持有任意m顆糖果，也可任意傳遞i顆、 j顆、i顆、 j顆……糖果，且均已歸納並嚴謹證明其傳遞結果會依n值分為三大類。另外在研究過程中還發現：當傳遞步驟數為質數時，將其結果所成數列進行特定的行列式運算後之值與 jmn相關。

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論利用1、2、3 個圓去覆蓋三角形，並分銳角、直角、鈍角三角形做分類，有完整的結果。並且在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律，並連結「雙曲函數」與覆蓋圓面積和之間的關係。 最後，我們研究覆蓋圓面積和與三角形面積的比值及其最小值，並討論覆蓋圓圓心之連心線的相關性質。

關於三角形的分割子三角形之內切圓問題，我們設定了幾個新的研究項目並且得出豐富的成果。第一，子三角形的切圓的切點重合性質；第二，子三角形的切圓「半徑長度乘積不變量」；第三，兩點圓心連線性質以及三點圓心連線三角形的面積不變量。首先，我們給出一般化的切圓之切點重合分割存在唯一性。在此條件下，其切圓的圓心均落在一個拋物線，這是很有趣結果。我們再依序探討兩個、三個到多個子三角形，先給出內切圓與旁切圓半徑長度乘積與邊長的關係式，並且發現了不變量。最後探討三點圓心連線三角形面積不變量。值得一提的是，看似不相關的「圓心連線三角形的面積比值」與「半徑長度乘積比值」居然是等價，這是本研究亮點。最後我們完整給出分割為三個子三角形的所有面積不變量的所有組合。

本研究延續自作者前一年的研究「連通圖上行走步數期望值之研究」，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠前往任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下幾個問題，得出結論後並證明。結果如下：Kn (n - complete graph)、任意tree、Cm★Cn、Km★Kn中，螞蟻從其中一點vi出發，第一次走到另一點vj時經過邊數之期望值通式。除了研究不同的圖上點到點經過邊數期望值通式，針對圖論中經常用的距離 (點到點的最短路徑經過邊數) 與點到點的期望長度最大者進行比較，探討在圖上之性質。

n個圓圈以一維排列所構成圖形中，若指定當中一圓圈塗色時，其左右相鄰圓圈各有1/2機率被塗色，欲求出使得該圖形之指定塗色次數的期望值達最小之最優化塗色方法。本研究共探討了n個圓圈之「直線排列」、「環狀排列」與n個圓圈及m個圓圈之「環狀結合直線排列」等三種圖形。