數學

本作品由2023年IMO的第五題出發，希望探索在忍者通道中的其他性質，首先思考改變每排中放入的球數並觀察規律，進而推廣到三維圓圈塔中的性質，最後使用hyper-cube(超立方體)的情況進行一般化的推廣與構造的優化，完成最小值問題的求解，另外也對於特例部分探索解的總數。

本文研究了一個信息完全公開的組合遊戲，探討當一群人被完全隨機的分配到模型裡時，其初始位置與特定位置所形成的包圍關係，並探討最佳的人力分配。本研究通過座標解析與不等關係的代數運算等方法，成功找出獲勝條件對於遊戲雙方的限制，並進一步解決問題。在研究的過程中，也將結論擴展到不同模型，探討不同模型對於遊戲造成的影響，並比較其結論有何區別。

本研究的研究靈感來自於科學月刊，原題為在一個六面體中，有一隻螞蟻位於其中一個頂點並沿著邊行走，每當牠走到頂點時就會選擇一條邊繼續行走，且牠任何方向之機率皆相同，但不可走回頭路，求螞蟻回到出發點時經過邊數之期望值。本研究將題目延伸出了以下三個問題，得出結論後並證明。並得出了以下結果：簡單連通 圖，螞蟻從其中一頂點出發，且往任何方向之機率皆相同，無論螞蟻是否可以走回頭路，牠第一次回到出發點時經過邊數之期望值之通式。在 n 點連通路徑圖 Pn(n -path graph) 中，螞蟻從其中一點 vi出發，第一次走到另一點 vj時經過邊數之期望值通式。並找出了當 n 點循環圖 Cn (n-cycle graph)上有一隻螞蟻從其中一點 vi第一次走到另一點 vj時，經過邊數之期望值與兩點之距離的關係。

給定三種大小不同的正三角形，邊長由大至小分別為正整數a、b、c，在每種三角形皆需使用的情況下，去拼出邊長為正整數的正三角形。眾所周知，「找到所有可以被拼出的正三角形邊長。」這個問題是困難的，原因是正整數有無窮多個，且可行的拼法非常多種。故本文欲探討的問題為：「尋找a、b、c的條件，使得無法被拼出的正三角形之正整數邊長個數僅有有限個。」 我們估算無法被拼出的最大正整數邊長，並為所有大於此數的正整數邊長，分門別類地創建合適的拼法，解答了上述問題。

將平面上A1A2A3的三邊以逆(順)時針方向向內旋轉相同角度後，若三線交於一點，則稱該點為此三角形的正(負)布洛卡點。任意三角形必定同時存在正、負布洛卡點[5]，我們的研究主要是推廣布洛卡點的定義到所有的折線多邊形，並進一步研究布洛卡折線多邊形的充要條件與性質。我們定義調和多邊形為正多邊形的反形，並統整出其與特定條件下的圓內接多邊形互為充要的性質，進而發現了圓內接布洛卡多邊形與調和多邊形之間的充要關係，這是目前中外文獻中沒有的。最後，我們試著利用中垂面與垂面將布洛卡點推廣到三維空間。

此題出處為 Crux Mathematicorum, Vol. 44(4), Apr 2018[1]。已知H為△ABC 的垂心，自A、B與C往對邊̅BC、̅CA與̅AB 作三高，得三垂足為 D、E 與F，從△ABC的三邊往外作矩形，使其寬與三邊上的高成比例，再將這三個矩形相臨的頂點連起來，形成三組三角形。證明這三個三角形的中線會三線共點。事實上這點就是外心。 我將原題延伸為四種建構方法，從△ABC 的三邊往外作平行四邊形，分別連三個外接三角形，考慮其中線、角平分線、中垂線與高，以及三角形的五心。分析三線共點的情形。 本研究最特別之處是在四種建構96種情形中，共有69種共點。其中有7 種情形，當任意點J 配上三中線共點於P時，此時J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=2 :1。當任意點J與垂心重合時，三中線共點於外心，此時這條直線即歐拉線。另外有 11 種情形，當任意點J配上三中線共點於P時，此J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=1: 2。當任意點J與外心重合時，三中線共點於垂心，此時這條直線即歐拉線。且當f1(J,m)=P1，f2 (J , m)=P2，此時P2、P1、重心G與J共線。最特別的是當J與外心重合時， P1 是九點圓的圓心。

本研究先觀察著名的密克定理（Miquel theorem）與密克點（Miquel point），我們創新給出了新的研究項目，關注密克點𝑃與密克三角形的頂點所構成直線和原三角形𝐴𝐵𝐶三邊直線的其餘六個交點，這是前人沒有觸及的研究項目，從而定義旁接三角形與衍伸三角形。 我們先針對特殊型（直角）的構圖，發現滿足兩個衍伸三角形的有向面積 [𝐴1𝐵1𝐶1]=±[𝐴2𝐵2𝐶2] 時，𝑃 點形成的軌跡為原三角形的 Kiepert hyperbola 與外接圓，這個是有趣且重要發現，我們也進一步給出其幾何必然性。進一步考慮 [𝐴1𝐵1𝐶1]=𝑟[𝐴2𝐵2𝐶2] 時，則刻劃出 𝑃 點軌跡為圓錐曲線系。在前面的基礎下，再針對一般型（任意角）的構圖，若 𝑃 點位於原三角形外接圓及Kiepert hyperbola 與 Steiner circumellipse 的線性組合曲線上，此時兩個衍伸三角形 𝐴1𝐵1𝐶1 與 𝐴2𝐵2𝐶2 的有向面積比值為定值，且兩者恆為相反數。

本研究探討在一場圓桌會議中，n人逐一亂序入場找尋各自對應的名牌編號(1~n號)入座，其中1號第一個入場並坐到了k號位，此後入場的人們若發現與自己編號相同的位置是空的，就直接入座；若與自己編號相同的位置被占走了，就以逆時針方向尋找空位入座。在上述的規則下，若共有n 人，且 1 號坐到 k號位的情況，給予與問題相關統計量的組合證明。後續本研究將規則改為1 ~ p號 按照順序進場且皆想坐到 k 號位的前提下，探討了坐錯的人們是怎麼樣的循環和坐錯人數的次數分佈。並多數的研究結果皆與 stirling numbers of the first kind 有相關。 本研究還 探討了共有 n 人，且 1 號坐到 k號位的情況下， 坐錯人數的標準差函數的遞增情況 與對數函數完全曲線相關。

In2013,Adamsintroducedthen-crossingnumberofaknotK,denoted by cn(K).Inequalities between the 2-, 3-, 4-, and 5-crossing numbers have been previously established.We prove c9(K)≤c3(K)−2 for all knots Kthat are not the trivial, trefoil, or figure-eightknot.Weshowthisinequalityisoptimalandobtainpreviouslyunknownvalues for c9(K).

本研究探討了柏拉圖多面體滾漆問題，並且延伸至半正多面體進行研究。正多面體中分別為正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面 體。研究中證明柏拉圖多面體滾漆問題中的地圖限制以及有解充要條件。為了簡化問題難度，我們先簡化遊戲規則使「掉落」情況不被討論，再轉換回原規則的問題。在研究中我們於正四、六、八、二十面體使用原本的遊戲地圖，而其他延伸研究則自創地圖進行討論。