數學

本研究探討隨機生成數列的長度期望值。一個籤筒中有n支籤，編號分別為1,2,3,…,n，每抽出一支籤，就將抽取的編號寫在紙上，形成一個數列。數列只能向左右兩端添加項，不能從中插入。抽出的籤若大於目前數列的最大項，則將抽出的數寫在目前數列右邊；抽出的籤若小於目前數列的最小項，則將抽出的數寫在目前數列左邊；抽出的籤若介於目前數列的最小與最大項之間，則操作結束。基於此想法，研究者將數列依照添加項的方向分為「單向數列」與「雙向數列」兩類。顧名思義，單向數列只能向一端延伸（本研究不失一般性討論往右延伸），雙向數列代表可以向左右兩端延伸。此外，研究者又將數列分為「嚴格遞增減」和「非嚴格遞增減」兩類。在生成原理上，嚴格遞增減等價於「抽後不放回」；非嚴格遞增減等價於「抽後放回」。在這樣的規則下，本研究探討了n支籤抽完放回與不放回時，單雙向隨機生成數列的長度期望值之通解，並成功證明了一些恆等式及性質。

在這篇作品中，主要研究Repunit數列=在模n之下的餘數數列循環性質。我們探討了Repunit餘數數列在什麼條件下 為純循環週期數列、混循環週期數列和完全純循環週期數列，同時給出了循環週期的公式及上界。接著我們發現一階非齊次線性遞迴數列在模n之下的循環週期與c進制Repunit數列在模 n/gcd(n,c)之下的循環週期相同，並且進一步探討餘數數列在什麼條件下為純循環數列、混循環循環數列和完全純循環數列。

本研究主要目的是想要用數學方法解釋與證明史坦納樹。我們想要知道史坦納樹會滿足怎樣的條件，又或者怎樣的條件不會有最短路徑長。因此從最基本的費馬點出發，到正多邊形、任意多邊形，甚至是正多面體，我們討論各種分布的頂點。在文獻探討與程式模擬中，發現史坦納點的邊數等於三且夾角度數等於一百二十度並非巧合。藉由此性質不斷擴展，可證明出在一般情況下史坦納點的個數會等於頂點的個數減二。有了理論的支持，我們嘗試改進五個柏拉圖多面體的史坦納樹，在正八、十二、二十面體都成功優化成更好的結果。另外，我們也證明出正四面體史坦納樹的結果。有了史坦納樹的幫助，我們可以在不影響城市間連通性的情況下，最大化地縮短道路地總長度，因此可將所需成本最小化。史坦納樹的結果可以代表連通圖的最短路徑長，在工程、建築上都將會是重大的突破。

According to the 2024 American Cancer Risk Survey, one in 24 individuals is at high risk of developing colon cancer. This condition is linked to gut microbiome instability. Consequently, there is a pressing need for a more effective and precise approach to maintaining gut microbiome stability, which this research aims to solve by finding the most crucial bacteria species in maintaining the stability of the gut microbiome through the application of Optimal Linear Feedback Control. Two of its variants being applied in this research are Sparsity Promoting Linear Quadratic Regulator (LQRSP) with a variety range of  (0.05, 44.58, and 49.84) and Linear Quadratic Regulator (LQR) ( = 0) along with other supporting methods; Controllability Gramian and Network Theory (graph analysis). The finding in this research shows that bacteria species Bacteroides hydrogenotrophica, Bacteroides uniformis, Bacteroides vulgaris, Bacteroides thetaiotaomicron, Escherichia lenta, and Dorea formicigenerans have an important role for preventing and medicating a variety of gut-related diseases. This conclusion is reinforced by the analysis conducted using the Controllability Gramian, displaying five of the chosen bacteria with the highest controllability index, which demonstrates that the system can be effectively controlled. This finding suggests a potential for enhancing therapeutic strategies, rendering them more precise and systematic. To gain deeper insights into the relationship between each bacteria and the rationale behind the selection of these bacteria by LQRSP, this study also employs network theory, which successfully elucidates the choice of Bacteroides uniformis despite its low controllability index. Additionally, to further validate the efficacy of these bacteria, the research develops a simulation that compares the controlled system with the uncontrolled system, utilizing two types of disturbances. The results indicate a significant difference in robustness against disturbances between the controlled and uncontrolled systems. The findings from this research can be used as a foundation for a more efficient and systematic intervention strategy findings. By researching gut microbiome composition regulation using a mathematical approach, it opens new opportunities for new method discoveries aiming to increase the health of the gut microbiome which is beneficial for the medical field and prevention of gut related diseases.

Retail inventory management is a crucial part of many businesses due to the high profit associated with it as well as the uncertainty around it, especially for industries with short production cycles and a complex supply chain.Proper management ofretail inventories can lead to decreased inventory costs, prevent spoilage and obsoles- cence, and improve customer satisfaction, all of which lead to increased profits for the company.Inthispaper,wefirstproposeextendingawell-knowninequalityandtry to generalize it to other conditions and similar inequalities.The inequality involves multiple variables and how the maximum/minimum values of a subset of the numbers compare to the maximum/minimum values of the whole set of numbers.Our main contribution is applying such inequality in inventory management to help estimate the total cost of inventory management, which would allow us to determine the shutdown pointforaspecificcompanyusingthegeneralizationsoftheinequality.Lastly,weshow thatourestimatesarereasonableandproposesomefutureareaswheremoreworkcan be done.

這份報告延伸上一份作品，要探討三角形中，假設以其中一頂點為起點， 欲利用一半徑為 r 的探測器，完整掃描三角形中每個邊以及邊上的每個點，最後再回到起點，試找出該路徑之最小值，以及該路徑與三角形之間的關係。在這份報告中，我們新增了在任意三角形中最短路徑的證明。 性質一，證明 D、E 兩點的存在性及唯一性。性質二，證明當四點共線時，會有最小值的發生。性質三，證明從直角或鈍角頂點出發的路徑為最小 值。性質四，證明從較小銳角頂點出發的最短路徑大於從直角或鈍角出發的最短路徑。性質六，證明任意三角形中最短路徑皆由最大角出發。 最後，我們將此問題延伸到四邊形，猜測從最大角頂點出發並回到起點的路徑為最小值，雖然我們發現了反例，但同時也證明了當最大角與第二大角差距夠大時，此猜測仍是正確的。

本研究要探討在兩同心圓，大圓的內接大正五邊形和中心在小圓上移動的小正五邊形在固定邊長、圓半徑的情況下，不論小正五邊形在圓上如何移動，其對應頂點的距離平方和、四次方和為定值以及頂點至對應邊的距離的總和、平方和為定值並試著推廣至正n 邊形並找出它們的定值為何 。

本研究源於 2022年數學雜誌《CruxMathematicorum》的一道四邊形動態幾何問題，我們先將此問題設定為三角形，利用綜合幾何方法給出了兩種構圖條件下的三角形外心軌跡皆為圓弧，並且發現兩種圓弧的變換關係以及豐富有趣的性質。值得一提的是，分別對三角形的三個頂點輪換進行第一種構圖得出三個圓弧，這些圓弧恰可組合成三角形的九點圓。回到原始問題的四邊形，我們構造了兩個三角形，透過巧妙轉換頂角與直徑圓變換而給出外心軌跡所在圓弧的兩個定點而解決此問題。 最後探討三角形的形心之軌跡為圓或橢圓的幾何結構是什麼？先考慮具有定角的形心切入，結果發現垂心的軌跡是橢圓，但內心與旁心的軌跡並非二次曲線。再從外心與垂心思考，我們進而給出了該軌跡的內在的幾何結構是歐拉線。值得注意的是，歐拉線上的任意點之軌跡恆為橢圓，並無拋物線或雙曲線。

楊氏矩陣是由有限多個相鄰的方格排列而成的表格，各橫列的左邊對齊，格子數由下而上遞增，而標準楊氏矩陣中每列與每行的元素皆嚴格遞增。我們將楊氏矩陣的「方格」變形為「三角形」，制定與原先楊氏矩陣相似的規則，並命名之為三角楊氏陣列。 本篇研究中，我們首先求得了將某些特定形狀的兩列三角楊氏陣列的遞迴關係式、生成函數、一般項，其與組合學上著名的卡特蘭數亦有相關。後來更是一般化至任意的兩列三角楊氏陣列，得到能夠求其方法數的通式。研究中使用的推算邏輯與方法，也許對未來再研究更一般(或云更多列)的三角楊氏陣列會有所幫助，另外，此研究與偏序集合(Partially Ordered Set)有關，可能可以應用於資訊領域的排序問題。

本研究主要探討，有n位教授要在一個圓桌上舉行會議，其中每位教授都有自己的編號 (1~ n號)，同時圓桌的 n個位置上也有各自的名牌編號 (1 ~n 號) 以順時針擺放置圓桌上與教授們的編號對應。其中第一個進來的 1號教授坐到了圓桌上 k號位，此後的教授們亂序一個一個進入，若發現與自己編號相同的位置是空的，就直接入座；若與自己編號相同的位置被占走了，就以逆時針方向尋找空位，直到有空入座。在這樣的遊戲規則下，本研究探討了，有 n位教授，且 1號教授坐到 k號位，如何給定一組教授入場的順序，就能即刻的找出對應的坐法，以及計算坐錯人數的期望值和坐錯人數次數分佈表等等，後續再將遊戲規則改為，1號教授不限定為第一個入場的人，同樣的探討上述問題。