數學

Brahmagupta n-gons是邊長為整數的圓內接多邊形，其對角線長與面積亦為整數，半徑為有理數。而作者發現參考文獻[2,3]建構的完美多邊形其實就是Brahmagupta n-gons經過適當伸縮後，使得外接圓半徑為整數時的圓內接多邊形。 參考文獻「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2] 與「建構三種以上相異整數邊長的圓內接多邊形」[3]是我2020年的作品，我建構了多類兩種以上相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。因為我的建構方法會使得外接圓半徑很大，故本研究先討論在單位圓上邊長為有理數的圓內接多邊形，再將其適當地伸縮後，即可得邊長為整數的圓內接多邊形。 在n倍角公式的研究方法也由隸美弗定理改成使用柴比雪夫多項式做更深層的刻畫，完整的找出多種相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形的一般式。

本研究源於 2016 年數學雜誌 Crux Mathematicorum 的三角形定性問題[1]，我們將這個問題由四個方向進行推廣——多邊形邊數、頂點連線方式、等腰三角形角度、全等多邊形的夾角，再創新探討其定量與定性性質。首先，我們將任意全等的三角形與任意四邊形夾角為任意實數下的衍伸圖形之定量與定性性質進行完整刻劃，利用測量師公式分別針對不同連線情形下的兩個衍伸圖形的有向面積之和與有向面積之差進行完整討論，再巧妙利用平移不變性處理行列式級數和而給出面積不變量關係式。第二，透過向量、矩陣運算與純幾何方式探討面積不變量的幾何意義，並給出衍伸圖形之間的全等、相似、透視、對稱、共線、平行、退化等優美的定性性質。最後，我們系統性推廣到平面上任意封閉多邊形，嘗試以較高的觀點切入，透過矩陣變換給出其幾何結構，並且發現許多實質有趣的定性與定量統一結果。

在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，在這篇作品中，主要探討圓及橢圓x^2+sy^2=m上的格子點個數，並且此個數以連乘積表達式呈現，其中s為黑格納數，此時虛二次體Q[√(-s)]的整數環為唯一分解整環(簡稱UFD)，由此性質可得到虛二次體的整數環中任一元素的分解有唯一表示法。 首先探討質數p在虛二次體Q[√(-s)]的整數環中的分解性，是根據分解性分成四類，再由四類決定m的不可約元分解，進一步推導出x+y√s i,x-y√s i可能的唯一表示法，再由唯一表示法來計數圓及橢圓上的格子點個數。

這是一個歷時兩年半鑽研兩共邊三角形外接圓各種有趣關係的探究之旅，透過GeoGebra的輔助，經由(1)觀察圖形及數據形成猜想(2)幾何論證猜想為真的探究歷程。 我們首先探討兩共邊三角形外接圓的圓心位置、半徑、半徑和及連心線的關係，發現並證明出等腰三角形中圓心位置具特殊性、兩外接圓半徑和R1＋R2與連心線─O1O2的長度都跟動點D的x坐標呈現函數關係且圖形為雙曲線的一支；據此討論出兩外接圓面積和與原三角形外接圓面積關係，同時發現∆AO1O2～∆ABC且AO1OO2四點共圓。在研究連心線時也發現，當動點D移動時，─O1O2的中點形成一條直線；每條連心線皆與以頂點A為焦點，(BC) ⃡為準線的拋物線相切。最後得出若任意∆ABC的頂點A到─BC的距離相等，連心線─O1O2所包絡出的拋物線皆全等。

「少數決遊戲」就是針對N個玩家詢問一些只能回答是或否的問題，而問題回答不必符合實際狀況，由少數一方獲勝，這個部分的定義與少數派賽局（Minority Game）中的定義相同，不同處為獲勝者須進入下一輪的問題，直到剩下一位或兩位玩家為止，由剩下玩家獲得最後的N單位獎金，但所有人需償還原來遊戲開始時所付出1單位的代價。前作「詐欺遊戲之少數決」[1]即對該問題作詳細的探索，但僅限於一組結盟人數。本作品是將前作內的獲利期望值與演算法作進一步的發展討論，並對結盟人數超過必勝結盟人數時的期望值變化做討論，得到賽局理論中的「少數派博弈」類似的結論。本作品更進一步討論兩組結盟人數的結果與期望值，後續的變化有些類似賽局理論。

本文旨在探討三角形周界中點的幾何問題，以及周界中點與旁切圓的相關性質。在討論三角形問題的過程中，注意到許多關於周界中點的延伸性質，起初很難發現旁切圓之間的關聯性，後來決定以三角形周界中點為主軸，找出其與旁切 圓的幾何特性。發現延伸的圖形後，除了上網查詢相關資料，我們更利用幾何繪 圖軟體進行幾何問題的實驗與論證，透過觀察、提出假說，並運用已知的定理推 得研究結果。 我們發現了許多性質，其中包括：畫出三角形並分別做出三邊的旁切圓，各 邊切點即為該邊的周界中點，而三角形頂點與對邊周界中點連線共點即為界心(納格爾點𝑁𝑎)，此點和三角形的重心 G、內心 I共線，且(GNa) ̅=2(GI) ̅；而三邊旁切圓圓 心會共圓，其圓心和三角形三個周界中點的外接圓圓心以及𝑁𝑎也會共線等等。 透過此次研究，讓我們對數學有更深入的瞭解，也期許未來能有更多的發現。

Explorations in mathematics are limited due to the negative image and perspective about Mathematics itself in high school. However, some topics in mathematics are found interesting in high schools such as geometry and sequences. Therefore, this research will look at the explorative development of Ford Circle that creates some interesting results while combined with other theories and geometry. The main focus of this research is to address and explore the ford circle with its connection to the Sierpinski Triangle in hyperbolic geometry. The investigation and exploration will focus on the properties of geometry in the hyperbolic plane, the fractal geometry of Ford Circle and Euclidean fractals through a hyperbolic perspective that brings a fascinating correlation between all the topics discussed in this research.

本研究從在方格棋盤中走捷徑的問題出發，推廣至由多個相異正多邊形所組成的半正鑲嵌圖形和k律鑲嵌圖形，其沿格線走捷徑的方法數與最短路徑。研究中，我針對所有8種1律半正鑲嵌圖形及2律、3律鑲嵌圖形的各一種圖形進行分類探討，包括截半六邊形、截角六邊形、扭稜六邊形、小斜方截半六邊形、大斜方截半六邊形、扭稜正方形、異扭稜正方形、截角正方形圖形。我將每種棋盤進行「轉正」，使它對應於唯一的矩形棋盤，達到「捷徑同構」，因而原本半正鑲嵌圖中的捷徑問題就等價於方格棋盤的捷徑問題。我將走捷徑方法數的通解分類，發現有組合數類、以及階差與指數混合兩大類，並分析康威表示法與通解的關係。並且我還將圖形分為複雜與單純，藉由研究複雜圖形來深入探討一些數學性質。

將兩個相同的n角齒輪重疊後，再砍去若干個特定重合的角，欲使上層齒輪在繞公轉軸旋轉一圈的過程中，兩齒輪皆有重合的缺角，在這個目的之下探討砍去的角數量，使其最小化，將其最小值稱為n角齒輪的最小可行數，以符號記為f(n)。我的研究是考慮自然數 ，對於砍去角的位置，制訂設計方法，在數量上求得f(n)較好的上界與下界。我將這個問題代數化，運用集合與數列的概念進行研究，進而轉換為組合設計的最佳化問題。特別的，若齒輪中任意兩個缺角在圓周上的最短距離皆相異，則表示砍去重合角的位置為最緊緻的狀態，將這些特殊的缺角位置稱為完美集合，我也試著探討缺角為最緊緻的特殊情形，分析完美集合的存在性。

觀察2020東京奧運會徽，發現圖形是由矩形組成，且矩形可經由三種元件（30°與150°的菱形、60°與120°的菱形、正方形）的各邊中點連線而成，本研究旨在利用這三種元件，探討平面鑲嵌。首先，找出利用元件拼貼一圈的組合個數，進一步向外擴增成正十二邊形，計算面積、對角線的長度，觀察旋轉之幾何變換，藉此得出拼貼成線對稱圖形時對稱軸上元件的擺放情形。接著，探討奧徽鑲嵌背景圖中不同大小正十二邊形的面積關係，並將線段變成曲線，推廣至拼貼成正n邊形的四邊形元件探討，得出如果n為偶數，則圖中的四邊形皆為菱形，且菱形的圈數為n/2-1，種類個數為⌈n/4-1/2⌉。最後，觀察類似奧徽之非平面鑲嵌頂點相接圖，改成用正方形貼接圖形，計算出邊長有1:√2的關係。