數學

將兩個相同的n角齒輪重疊後，再砍去若干個特定重合的角，欲使上層齒輪在繞公轉軸旋轉一圈的過程中，兩齒輪皆有重合的缺角，在這個目的之下探討砍去的角數量，使其最小化，將其最小值稱為n角齒輪的最小可行數，以符號記為f(n)。我的研究是考慮自然數 ，對於砍去角的位置，制訂設計方法，在數量上求得f(n)較好的上界與下界。我將這個問題代數化，運用集合與數列的概念進行研究，進而轉換為組合設計的最佳化問題。特別的，若齒輪中任意兩個缺角在圓周上的最短距離皆相異，則表示砍去重合角的位置為最緊緻的狀態，將這些特殊的缺角位置稱為完美集合，我也試著探討缺角為最緊緻的特殊情形，分析完美集合的存在性。

There have been numerous studies exploring the applications of graph theory in traffic management, often finding ways to reduce traffic congestion and make traveling more efficient. Such studies will be beneficial when applied to heavily congested areas such as España Boulevard, one of the busiest thoroughfares in Manila. This paper aimed tooptimize the road map of España Boulevard using graph theory. The current road map of España Boulevard was represented as a directed graphand subjected to the mutation method of edge removal, wherein an edge isremoved in each mutation based on a computed fitness function, F(G),which depicts better efficiency at lower values. Edges were removed until the graph got disconnected, which was tested using the Floyd-Warshall algorithm. The 28th mutation resulted in a minimum F(G) value of 144.4; this is a 50.18% decrease from the F(G) of the original graph, which is 290. After the 28th mutation, the removals resulted in an increase in the F(G). As a result, the final mutation resulted in an F(G) of 311.89, which characterized a less efficient graph. This study was able to apply graph theory concepts to optimize the España Boulevard road map using the mutation method, minimizing its F(G) by at most 50.18%. For future studies, the practicality of the alternate road map may be tested in simulations to examine its efficiency when other factors, such as traffic volume, are introduced.

Brahmagupta n-gons是邊長為整數的圓內接多邊形，其對角線長與面積亦為整數，半徑為有理數。而作者發現參考文獻[2,3]建構的完美多邊形其實就是Brahmagupta n-gons經過適當伸縮後，使得外接圓半徑為整數時的圓內接多邊形。 參考文獻「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2] 與「建構三種以上相異整數邊長的圓內接多邊形」[3]是我2020年的作品，我建構了多類兩種以上相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。因為我的建構方法會使得外接圓半徑很大，故本研究先討論在單位圓上邊長為有理數的圓內接多邊形，再將其適當地伸縮後，即可得邊長為整數的圓內接多邊形。 在n倍角公式的研究方法也由隸美弗定理改成使用柴比雪夫多項式做更深層的刻畫，完整的找出多種相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形的一般式。

本研究是關於 nim 遊戲的兩種推廣（其中一種是一個稱為 the game of squayles 的遊戲的推廣），稱為 edge-removing game 和 star-removing game。此遊戲為兩人遊戲。在遊戲的一開始，有一個簡單圖 G。兩個玩家輪流刪除該圖的非空路徑或非空星子圖的邊。首先不能移動的一方輸掉遊戲。 在 edge-removing game 中，我成功計算出某些特殊圖的 Grundy numbers，並給出了一般 k 星的 Grundy numbers 上界。接著我定義了一種新的圖，稱為 nice graphs，並發現所有 nice graphs 都是 N-position。我由此給出了任意兩個非空圖的 join product 的解。至於圖的 Cartesian product，我給出了兩個滿足一定條件的非空圖的 Cartesian product 的解，並發現一個 fully nice graph 和任何至少有 2 個頂點的連通圖的 Cartesian product 也是 fully nice 的。使用這個性質，我給出了 r-dimensional grids 上的 edge-removing game 的解。 至於 star-removing game，我最大的突破是構思出對稱性這個概念。使用這個概念，我給出更一般化的結論，可以用來有效分析某些圖的 Cartesian product 上的的 star-removing game。使用這些結果，我給出了 r-dimensional grids 的解。

這是一個歷時兩年半鑽研兩共邊三角形外接圓各種有趣關係的探究之旅，透過GeoGebra的輔助，經由(1)觀察圖形及數據形成猜想(2)幾何論證猜想為真的探究歷程。 我們首先探討兩共邊三角形外接圓的圓心位置、半徑、半徑和及連心線的關係，發現並證明出等腰三角形中圓心位置具特殊性、兩外接圓半徑和R1＋R2與連心線─O1O2的長度都跟動點D的x坐標呈現函數關係且圖形為雙曲線的一支；據此討論出兩外接圓面積和與原三角形外接圓面積關係，同時發現∆AO1O2～∆ABC且AO1OO2四點共圓。在研究連心線時也發現，當動點D移動時，─O1O2的中點形成一條直線；每條連心線皆與以頂點A為焦點，(BC) ⃡為準線的拋物線相切。最後得出若任意∆ABC的頂點A到─BC的距離相等，連心線─O1O2所包絡出的拋物線皆全等。

在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，在這篇作品中，主要探討圓及橢圓x^2+sy^2=m上的格子點個數，並且此個數以連乘積表達式呈現，其中s為黑格納數，此時虛二次體Q[√(-s)]的整數環為唯一分解整環(簡稱UFD)，由此性質可得到虛二次體的整數環中任一元素的分解有唯一表示法。 首先探討質數p在虛二次體Q[√(-s)]的整數環中的分解性，是根據分解性分成四類，再由四類決定m的不可約元分解，進一步推導出x+y√s i,x-y√s i可能的唯一表示法，再由唯一表示法來計數圓及橢圓上的格子點個數。

「少數決遊戲」就是針對N個玩家詢問一些只能回答是或否的問題，而問題回答不必符合實際狀況，由少數一方獲勝，這個部分的定義與少數派賽局（Minority Game）中的定義相同，不同處為獲勝者須進入下一輪的問題，直到剩下一位或兩位玩家為止，由剩下玩家獲得最後的N單位獎金，但所有人需償還原來遊戲開始時所付出1單位的代價。前作「詐欺遊戲之少數決」[1]即對該問題作詳細的探索，但僅限於一組結盟人數。本作品是將前作內的獲利期望值與演算法作進一步的發展討論，並對結盟人數超過必勝結盟人數時的期望值變化做討論，得到賽局理論中的「少數派博弈」類似的結論。本作品更進一步討論兩組結盟人數的結果與期望值，後續的變化有些類似賽局理論。

本研究從在方格棋盤中走捷徑的問題出發，推廣至由多個相異正多邊形所組成的半正鑲嵌圖形和k律鑲嵌圖形，其沿格線走捷徑的方法數與最短路徑。研究中，我針對所有8種1律半正鑲嵌圖形及2律、3律鑲嵌圖形的各一種圖形進行分類探討，包括截半六邊形、截角六邊形、扭稜六邊形、小斜方截半六邊形、大斜方截半六邊形、扭稜正方形、異扭稜正方形、截角正方形圖形。我將每種棋盤進行「轉正」，使它對應於唯一的矩形棋盤，達到「捷徑同構」，因而原本半正鑲嵌圖中的捷徑問題就等價於方格棋盤的捷徑問題。我將走捷徑方法數的通解分類，發現有組合數類、以及階差與指數混合兩大類，並分析康威表示法與通解的關係。並且我還將圖形分為複雜與單純，藉由研究複雜圖形來深入探討一些數學性質。

2021年國際科展中，有作品探討鉛直與水平排列的支配數，而本研究從五子棋的想法出發，將前述研究進行重要的延伸與改變，探討在a×b棋盤中，「米」字方向無p子連線時，所需的阻隔數最小值。由於有界棋盤比無界棋盤複雜許多，因此我們先在無界棋盤中找出符合阻隔限制的「完美型態」，並找出存在至少一種「完美型態」的p值集合Ω。研究發現，只要是可以表示為p=6k-1或p=6k+1(k∈N)的正整數p，皆可以型態DT(p,d)阻隔。接著我們推廣至有界棋盤，先探討所有p值的f(a,b;p)上界與下界，再針對Ω中的p值做討論，利用「任意1×p區域至少有1個阻隔」的性質導出「完美型態」下長或寬為kp(k∈N)的下界，並找出非常接近f(a,b;p)的上界。我們也將二維的探討方式與結果延伸至三維，找出所有p值的f(a,b,c;p)上下界與可使阻隔型態DT(p,d_R,d_h)為完美型態的p值集合。另外我們也找出嚴格對角拉丁方陣可對應成「完美型態」之必要條件。

我們研究的問題源自於〝棋盤上的蛇〞(Snakes on a chessboard) ，是由教授Richard Stanley所提出。問題如下：在 棋盤形格子上，蛇由任意一格出發，但蛇的走法只能往右→，往上↑，或停住。若此蛇已停住，將由另一條蛇來走，且不同蛇走過的格子不可重疊。證明：將 棋盤形格子完全覆蓋的總方法數為費氏(Fibonacci)數列某些項的乘積。 我們以〝生成格〞概念來解決問題，藉由生成格建立二維棋盤形格子〝蛇填充數〞與費氏關係，並試圖拓展三維空間棋盤情形，在過程中發現藉由〝生成矩陣〞可以組成空間棋盤的〝生成格〞，並以此解決p×q×r的空間棋盤問題。 2022年9月，在網站The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences上發現由教授 Greg Dresden及其學生Aarnav Gogri提出的數列，與我們2022年3月於高雄市發表的科展作品中的一組數列完全對應，甚而對此數列的原問題Tiling a Hexagonal Strip with Triangles and Diamonds，我們的作品還能做進一步延伸探討。