數學

在國中及高一的數學課程當中，我們都學過「等差數列」這個單元，而本文的研究著重於在某些限制條件下等差數列的產生時機。在本篇報告中，我們從給定整數範圍(如：從0到n)的條件下出發，去探索在給定的範圍當中至少要加進去多少正整數才能確保其中存在三個數字成等差，進而定義等差指標等概念。我們研究了各個數字n的等差指標，並找出其關係，進而延伸出相關的不等式，然後進行推論。最後，我們藉由發現了一些規律得到了一些可增進最小等差指標的估計，我們大略估計了其上下界，並嘗試往探討不存在三正整數成等差數列的自然數集合密度去做發展，用集合密度的角度去切入討論，以幫助我們的估計和定理推導。

非負整數的各位數字重新排列後，由大到小減去由小到大的運算稱為Kaprekar運算。若原數和結果相等，則此數為Kaprekar常數。在此條件下，Kaprekar變換最終定會進入循環(包含循環節為1的情形)。本研究探討Kaprekar常數與循環的結構，以及其與混沌之間的關聯。 結果如下: (1)參考[1]和[4]中的一些數學符號，將二進位分為五類，得到二進位常數的形式和規律。 (2)在三進位時，我們利用g(x)來討論三進位的變換形式，得到能判斷其結構和循環節及數量的規則。 (3)g(x)有混沌的性徵，即在任何有理數區間中必有任意的n-循環點，其中n是任意正整數。 (4)關於四進位，我們發現將任意非負整數運算四次後必符合某一形式，且其結果與三進位有相似的結構。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。和二維Lill Path的結論相同，我們證明若有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射（依三維Lill Path反射規則），且此射線通過三維Lill Path終點，則其充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，其中θ為射線與三維Lill Path圖形所夾的角度。我們仿照參考資料[2]的方式，證明了若多項式所對應之三維Lill Path圖形是封閉的，則其充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們解決了參考資料[2]中教授所提到的一個問題：當路徑夾角不為π/2，且其三維ϕ-Lill Path圖形為封閉的，則其充要條件為多項式有一因式為 [x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。和二維Lill Path的結論相同，我們證明若有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射（依三維Lill Path反射規則），且此射線通過三維Lill Path終點，則其充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，其中θ為射線與三維Lill Path圖形所夾的角度。我們仿照參考資料[2]的方式，證明了若多項式所對應之三維Lill Path圖形是封閉的，則其充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們解決了參考資料[2]中教授所提到的一個問題：當路徑夾角不為π/2，且其三維ϕ-Lill Path圖形為封閉的，則其充要條件為多項式有一因式為 [x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。