數學

先前有許多人探討了坐標平面上格點正方形、格點直角三角形的性質，卻沒有人用數學的方式將此主題推廣到各種多邊形，格點多邊形性質便一直被歸類於資訊研究，目標變為預測當邊數很多或範圍很大時的估計值，因此本研究的目的在於用數學化的方式探討在坐標平面上每個頂點坐標皆為整數的多邊形性質，並推導出能算出精確值的通解。 本文探討的多邊形包含了凹多邊形及凸多邊形，研究者提出繪製格點多邊形的「迂迴作圖法」並成功推導出格點多邊形的範圍條件、範圍內最多邊的格點多邊形邊數、面積極值、周長極值的通解，並找出了部分多邊形的周長極大值與個數。運用本研究的結果，將有助於在有限區域或空間中依照特定規律設計最大路徑，例如遊樂場的迷宮與雲霄飛車軌道。

本研究在探討給定一有理數，如何用最少數量的一歐姆電阻串並聯使得等效電阻值為此有理數。首先我做出f函數的表格，利用程式找出分母分子較小時的值，並且依性質不同塗上各種顏色，觀察其中的規律，證明了一些定理，並找到電路圖與矩形的對應，再來是找到電阻排列一些數列的系統性構造，然後針對有理數分子和分母的特性，分析了費氏數、分母為2、3等等的情況的最小構造法，其中在分析分母為2、3等等的情況時，一開始使用了變換的概念證明，但變換過多次時會造成證明的繁複，因此後續提出了以幾何模型分割區域的概念證明，有效地提高到分母為4、5的情況，並且將證明過程擴充至所有正整數的情況，找到了f函數遞迴式的充分條件，最後計算連分數構造法的部分平均時，猜測出連分數構造法與正整數因數個數的關係。

非負整數的各位數字重新排列後，由大到小減去由小到大的運算稱為Kaprekar運算。若原數和結果相等，則此數為Kaprekar常數。在此條件下，Kaprekar變換最終定會進入循環(包含循環節為1的情形)。本研究探討Kaprekar常數與循環的結構，以及其與混沌之間的關聯。 結果如下: (1)參考[1]和[4]中的一些數學符號，將二進位分為五類，得到二進位常數的形式和規律。 (2)在三進位時，我們利用g(x)來討論三進位的變換形式，得到能判斷其結構和循環節及數量的規則。 (3)g(x)有混沌的性徵，即在任何有理數區間中必有任意的n-循環點，其中n是任意正整數。 (4)關於四進位，我們發現將任意非負整數運算四次後必符合某一形式，且其結果與三進位有相似的結構。

三名弓箭手進行決鬥，每位參賽者輪流射擊一次，可自由選擇目標，參賽者一旦被射中即退出賽局，直到剩下一人。我們彙整賽局的特性，以樹狀圖判斷平衡策略，並以程式模擬得出各分支發生機率。 接著我們嘗試將研究延伸至四人以上的賽局，由於狀況過於複雜而 無法推導出勝率一般式，因此利用賽局的退化特性，歸納出n人賽局中 各參賽者勝率的遞迴式，並使用程式實作。分析程式演算法複雜度高達O(n^(n+2))，因此無法計算八人以上賽局，大量模擬也只能進行到六人以下，故本研究主要針對六人以下賽局進行實驗與推論。 在現實中，許多時候我們無法得知所有的資訊。使用程式模擬，便可得出在不完美資訊的狀況下，各參賽者策略出現的機率，並藉此得出不完美資訊下的最佳策略。

在國中及高一的數學課程當中，我們都學過「等差數列」這個單元，而本文的研究著重於在某些限制條件下等差數列的產生時機。在本篇報告中，我們從給定整數範圍(如：從0到n)的條件下出發，去探索在給定的範圍當中至少要加進去多少正整數才能確保其中存在三個數字成等差，進而定義等差指標等概念。我們研究了各個數字n的等差指標，並找出其關係，進而延伸出相關的不等式，然後進行推論。最後，我們藉由發現了一些規律得到了一些可增進最小等差指標的估計，我們大略估計了其上下界，並嘗試往探討不存在三正整數成等差數列的自然數集合密度去做發展，用集合密度的角度去切入討論，以幫助我們的估計和定理推導。

一個連通圖其結構中若沒有包含任何的圈，則將此圖稱為樹狀圖（tree）。若樹狀圖 的頂點 滿足 ，則 即為 的『葉子點（leaf）』。將一個樹狀圖中以一筆不間斷經過最多頂點的路徑，稱為『主幹』，若此樹狀圖滿足所有的leaf皆與主幹上的點相連，則特別將此樹狀圖稱為『毛毛蟲圖（caterpillar）』。本文的研究是對於有 個頂點， 個leaf的毛毛蟲圖，在不同構的情況下，探討各類毛毛蟲圖的結構變化、對偶關係，在數量上建立遞迴關係、探討組合意義以及相關的應用。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。和二維Lill Path的結論相同，我們證明若有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射（依三維Lill Path反射規則），且此射線通過三維Lill Path終點，則其充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，其中θ為射線與三維Lill Path圖形所夾的角度。我們仿照參考資料[2]的方式，證明了若多項式所對應之三維Lill Path圖形是封閉的，則其充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們解決了參考資料[2]中教授所提到的一個問題：當路徑夾角不為π/2，且其三維ϕ-Lill Path圖形為封閉的，則其充要條件為多項式有一因式為 [x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。

本研究是關於 nim 遊戲的兩種推廣（其中一種是一個稱為 the game of squayles 的遊戲的推廣），稱為 edge-removing game 和 star-removing game。此遊戲為兩人遊戲。在遊戲的一開始，有一個簡單圖 G。兩個玩家輪流刪除該圖的非空路徑或非空星子圖的邊。首先不能移動的一方輸掉遊戲。 在 edge-removing game 中，我成功計算出某些特殊圖的 Grundy numbers，並給出了一般 k 星的 Grundy numbers 上界。接著我定義了一種新的圖，稱為 nice graphs，並發現所有 nice graphs 都是 N-position。我由此給出了任意兩個非空圖的 join product 的解。至於圖的 Cartesian product，我給出了兩個滿足一定條件的非空圖的 Cartesian product 的解，並發現一個 fully nice graph 和任何至少有 2 個頂點的連通圖的 Cartesian product 也是 fully nice 的。使用這個性質，我給出了 r-dimensional grids 上的 edge-removing game 的解。 至於 star-removing game，我最大的突破是構思出對稱性這個概念。使用這個概念，我給出更一般化的結論，可以用來有效分析某些圖的 Cartesian product 上的的 star-removing game。使用這些結果，我給出了 r-dimensional grids 的解。

本研究源於 2016 年數學雜誌 Crux Mathematicorum 的三角形定性問題[1]，我們將這個問題由四個方向進行推廣——多邊形邊數、頂點連線方式、等腰三角形角度、全等多邊形的夾角，再創新探討其定量與定性性質。首先，我們將任意全等的三角形與任意四邊形夾角為任意實數下的衍伸圖形之定量與定性性質進行完整刻劃，利用測量師公式分別針對不同連線情形下的兩個衍伸圖形的有向面積之和與有向面積之差進行完整討論，再巧妙利用平移不變性處理行列式級數和而給出面積不變量關係式。第二，透過向量、矩陣運算與純幾何方式探討面積不變量的幾何意義，並給出衍伸圖形之間的全等、相似、透視、對稱、共線、平行、退化等優美的定性性質。最後，我們系統性推廣到平面上任意封閉多邊形，嘗試以較高的觀點切入，透過矩陣變換給出其幾何結構，並且發現許多實質有趣的定性與定量統一結果。

Z字型路徑是一個由圓上一些點同時以特定角度連結成一組弦線段所構成之路徑。本研究主要在於探討Z字型路徑之兩類弦線段長度的冪次方等量關係，和它將該圓分割成兩個區域面積的等量關係。本研究結果如下，在長度關係方面，當圓上的點為奇數個時，則弦線段長度的平方和具有等量關係。而當圓上的點為偶數個時，弦線段長度的一次方和具有等量關係。在面積關係上，當圓上的點為奇數個時，則此路徑將圓分割成兩個區域面積也具有等量關係。此外，本研究之進階研究結果發現，長度的高次方和具有等量關係之條件與圓上點個數相關。