數學

在比賽時看到許多選手，雖然本身實力不差，卻因為賽制的編排而無緣晉級決賽，因此本研究透過數學分析單淘汰賽（可以很快的找出勝負）、單循環賽（大部分是使用在人數較少時，但是每位選手都會交手到）、雙淘汰賽（可以讓選手有輸一次的機會，選手就算輸一場還是有機會得到冠軍）、循環賽（主辦單位會融合單淘汰賽、單循環賽、雙淘汰賽來衍生出新的賽制），得到可以選出與實力相當的前三名（準確找出前三名）機率，並且將所有機率加以比較，分析出何種賽制準確找出前三名的機率最高，並且利用比較後的結果，製作一個新的賽程。經過分析得到混和賽的機率與單淘汰賽差不多，但考慮場次的使用並沒有優於單淘汰賽，因此並未符合主辦單位採用此種賽程的依據。但雙淘汰賽卻相反，機率偏高且使用的場次適中，符合主辦單位採用的依據。

在國中及高一的數學課程當中，我們都學過「等差數列」這個單元，而本文的研究著重於在某些限制條件下等差數列的產生時機。在本篇報告中，我們從給定整數範圍(如：從0到n)的條件下出發，去探索在給定的範圍當中至少要加進去多少正整數才能確保其中存在三個數字成等差，進而定義等差指標等概念。我們研究了各個數字n的等差指標，並找出其關係，進而延伸出相關的不等式，然後進行推論。最後，我們藉由發現了一些規律得到了一些可增進最小等差指標的估計，我們大略估計了其上下界，並嘗試往探討不存在三正整數成等差數列的自然數集合密度去做發展，用集合密度的角度去切入討論，以幫助我們的估計和定理推導。

本研究主要提出新的、有創意的圓錐曲線製造方法。首先，我們利用兩個全等三角形製造兩個線束，來討論基線夾角與線束中心在平面上的相對位置，用以製造各式的二次曲線。接著，分別在五條等距平行線上取點，固定其中四點為梯形，分類第五個點的位置來對應生成不同的圓錐曲線。然後，簡化為共線的四個點A_1、A_2、A_3、A_4，往線外一點B_0投射，滿足(B_k B_0)┴⃑=k⋅(B_0 A_k)┴⃑得B_k，k=1,2,3,4，依(A_1 A_2)┴⃑:(A_2 A_3)┴⃑:(A_3 A_4)┴⃑的不同比例，來分類{B_k }_(k=0)^4生成的二次曲線。特別的是，由此得到兩個特別的應用：一、得到一個過圓錐曲線中心線段的比例，只要給定A_1、A_2、B_0 三點即可快速尺規作圖得到中心；二、新的拋物線切線的尺規作圖法。最後，我們定義了三個線束特定的對應方式，得到六個對應點共橢圓的性質，以及分類了兩個基圓上點與點的角度與圓心的相對位置，用以製造各式的二次曲線。未來，我們希望能定量化我們的結果，以及探討更多個線束的對應。

在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，在這篇作品中，主要探討圓及橢圓x^2+sy^2=m上的格子點個數，並且此個數以連乘積表達式呈現，其中s為黑格納數，此時虛二次體Q[√(-s)]的整數環為唯一分解整環(簡稱UFD)，由此性質可得到虛二次體的整數環中任一元素的分解有唯一表示法。 首先探討質數p在虛二次體Q[√(-s)]的整數環中的分解性，是根據分解性分成四類，再由四類決定m的不可約元分解，進一步推導出x+y√s i,x-y√s i可能的唯一表示法，再由唯一表示法來計數圓及橢圓上的格子點個數。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。和二維Lill Path的結論相同，我們證明若有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射（依三維Lill Path反射規則），且此射線通過三維Lill Path終點，則其充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，其中θ為射線與三維Lill Path圖形所夾的角度。我們仿照參考資料[2]的方式，證明了若多項式所對應之三維Lill Path圖形是封閉的，則其充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們解決了參考資料[2]中教授所提到的一個問題：當路徑夾角不為π/2，且其三維ϕ-Lill Path圖形為封閉的，則其充要條件為多項式有一因式為 [x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。

本研究透過遞迴式及數學歸納法探討 維空間中正多胞體（單純形、超方形、正軸形）之點、線、面的一般化結果。本研究利用頂點圖及線性變換－行列式的方法探討三維空間正多面體至 維空間中凸正多胞體之保距變換方式並使其一般化。另外，本研究也嘗試透過特徵多項式及隸美弗定理分析正多胞體旋轉之旋轉角度。

本文旨在探討三角形周界中點的幾何問題，以及周界中點與旁切圓的相關性質。在討論三角形問題的過程中，注意到許多關於周界中點的延伸性質，起初很難發現旁切圓之間的關聯性，後來決定以三角形周界中點為主軸，找出其與旁切 圓的幾何特性。發現延伸的圖形後，除了上網查詢相關資料，我們更利用幾何繪 圖軟體進行幾何問題的實驗與論證，透過觀察、提出假說，並運用已知的定理推 得研究結果。 我們發現了許多性質，其中包括：畫出三角形並分別做出三邊的旁切圓，各 邊切點即為該邊的周界中點，而三角形頂點與對邊周界中點連線共點即為界心(納格爾點𝑁𝑎)，此點和三角形的重心 G、內心 I共線，且(GNa) ̅=2(GI) ̅；而三邊旁切圓圓 心會共圓，其圓心和三角形三個周界中點的外接圓圓心以及𝑁𝑎也會共線等等。 透過此次研究，讓我們對數學有更深入的瞭解，也期許未來能有更多的發現。

本研究源於 2016 年數學雜誌 Crux Mathematicorum 的三角形定性問題[1]，我們將這個問題由四個方向進行推廣——多邊形邊數、頂點連線方式、等腰三角形角度、全等多邊形的夾角，再創新探討其定量與定性性質。首先，我們將任意全等的三角形與任意四邊形夾角為任意實數下的衍伸圖形之定量與定性性質進行完整刻劃，利用測量師公式分別針對不同連線情形下的兩個衍伸圖形的有向面積之和與有向面積之差進行完整討論，再巧妙利用平移不變性處理行列式級數和而給出面積不變量關係式。第二，透過向量、矩陣運算與純幾何方式探討面積不變量的幾何意義，並給出衍伸圖形之間的全等、相似、透視、對稱、共線、平行、退化等優美的定性性質。最後，我們系統性推廣到平面上任意封閉多邊形，嘗試以較高的觀點切入，透過矩陣變換給出其幾何結構，並且發現許多實質有趣的定性與定量統一結果。

Brahmagupta n-gons是邊長為整數的圓內接多邊形，其對角線長與面積亦為整數，半徑為有理數。而作者發現參考文獻[2,3]建構的完美多邊形其實就是Brahmagupta n-gons經過適當伸縮後，使得外接圓半徑為整數時的圓內接多邊形。 參考文獻「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2] 與「建構三種以上相異整數邊長的圓內接多邊形」[3]是我2020年的作品，我建構了多類兩種以上相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。因為我的建構方法會使得外接圓半徑很大，故本研究先討論在單位圓上邊長為有理數的圓內接多邊形，再將其適當地伸縮後，即可得邊長為整數的圓內接多邊形。 在n倍角公式的研究方法也由隸美弗定理改成使用柴比雪夫多項式做更深層的刻畫，完整的找出多種相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形的一般式。

非負整數的各位數字重新排列後，由大到小減去由小到大的運算稱為Kaprekar運算。若原數和結果相等，則此數為Kaprekar常數。在此條件下，Kaprekar變換最終定會進入循環(包含循環節為1的情形)。本研究探討Kaprekar常數與循環的結構，以及其與混沌之間的關聯。 結果如下: (1)參考[1]和[4]中的一些數學符號，將二進位分為五類，得到二進位常數的形式和規律。 (2)在三進位時，我們利用g(x)來討論三進位的變換形式，得到能判斷其結構和循環節及數量的規則。 (3)g(x)有混沌的性徵，即在任何有理數區間中必有任意的n-循環點，其中n是任意正整數。 (4)關於四進位，我們發現將任意非負整數運算四次後必符合某一形式，且其結果與三進位有相似的結構。