數學

本研究在探討給定一有理數，如何用最少數量的一歐姆電阻串並聯使得等效電阻值為此有理數。首先我做出f函數的表格，利用程式找出分母分子較小時的值，並且依性質不同塗上各種顏色，觀察其中的規律，證明了一些定理，並找到電路圖與矩形的對應，再來是找到電阻排列一些數列的系統性構造，然後針對有理數分子和分母的特性，分析了費氏數、分母為2、3等等的情況的最小構造法，其中在分析分母為2、3等等的情況時，一開始使用了變換的概念證明，但變換過多次時會造成證明的繁複，因此後續提出了以幾何模型分割區域的概念證明，有效地提高到分母為4、5的情況，並且將證明過程擴充至所有正整數的情況，找到了f函數遞迴式的充分條件，最後計算連分數構造法的部分平均時，猜測出連分數構造法與正整數因數個數的關係。

本研究由科教館的網站上科學研習月刊第54卷第3期探索數學專欄─「周休二日」進行發想。我們進行一般化的問題描述：假如在連假k天當中，任意連續m天之中，剛好要讀n天書，則在連假k天當中的讀書日最多有幾天？以及最少有幾天？本研究嘗試從相關文獻帶入原來的題目規則中，延伸至二維空間並找到其應用，卻意外地發現它其實是一個集合覆蓋的問題。於是，我們便著手進行將一維問題延伸至平面上格子點，以期能提出最佳化的結果，並找出其規律。

本研究是關於 nim 遊戲的兩種推廣（其中一種是一個稱為 the game of squayles 的遊戲的推廣），稱為 edge-removing game 和 star-removing game。此遊戲為兩人遊戲。在遊戲的一開始，有一個簡單圖 G。兩個玩家輪流刪除該圖的非空路徑或非空星子圖的邊。首先不能移動的一方輸掉遊戲。 在 edge-removing game 中，我成功計算出某些特殊圖的 Grundy numbers，並給出了一般 k 星的 Grundy numbers 上界。接著我定義了一種新的圖，稱為 nice graphs，並發現所有 nice graphs 都是 N-position。我由此給出了任意兩個非空圖的 join product 的解。至於圖的 Cartesian product，我給出了兩個滿足一定條件的非空圖的 Cartesian product 的解，並發現一個 fully nice graph 和任何至少有 2 個頂點的連通圖的 Cartesian product 也是 fully nice 的。使用這個性質，我給出了 r-dimensional grids 上的 edge-removing game 的解。 至於 star-removing game，我最大的突破是構思出對稱性這個概念。使用這個概念，我給出更一般化的結論，可以用來有效分析某些圖的 Cartesian product 上的的 star-removing game。使用這些結果，我給出了 r-dimensional grids 的解。

先前有許多人探討了坐標平面上格點正方形、格點直角三角形的性質，卻沒有人用數學的方式將此主題推廣到各種多邊形，格點多邊形性質便一直被歸類於資訊研究，目標變為預測當邊數很多或範圍很大時的估計值，因此本研究的目的在於用數學化的方式探討在坐標平面上每個頂點坐標皆為整數的多邊形性質，並推導出能算出精確值的通解。 本文探討的多邊形包含了凹多邊形及凸多邊形，研究者提出繪製格點多邊形的「迂迴作圖法」並成功推導出格點多邊形的範圍條件、範圍內最多邊的格點多邊形邊數、面積極值、周長極值的通解，並找出了部分多邊形的周長極大值與個數。運用本研究的結果，將有助於在有限區域或空間中依照特定規律設計最大路徑，例如遊樂場的迷宮與雲霄飛車軌道。

本研究由文獻[1]的一道題目進行發想。題目是給定正方形ABCD，E在¯AB上，E^'在¯BC上，且¯BE=¯(CE^' )。若¯DE交對角線¯AC於P且¯(DE^' )交對角線¯AC於Q，則存在點R，使得¯AP=¯PR，¯CQ=¯QR，則∠PRQ=60^∘。我們改變正方形這個條件，考慮等長線段的特徵，再推廣到菱形。並在矩形與平行四邊形中，將「等長線段」這個條件改為「等比例線段」討論其保角特徵。最後將上述性質推廣到空間中的正方形、菱形、矩形與平行四邊形。 我們證明不論 點的位置在¯AB線段的何處，∠PRQ恆為60^∘。我們也發現在平面上R點的可能位置有兩個，且滿足R點的軌跡正好是1/3圓弧，且此圓弧只與對角線長有關。在空間中，E點固定時，R點的位置在一個圓上，隨著E點在¯AB線段移動。此時R點軌跡是1/3圓弧繞此圓弧所在的弦旋轉360^∘所在曲面，此曲面也只與對角線長有關。

本研究的目的在於探討在社群網路發達時代中，資訊的傳播範圍之可能性。我們將的智慧上網裝置視為節點，以圖論方式分析節點到另一個節點的訊息傳遞模式。我們研究在傳遞訊息對象人數不同時，及在不同共同朋友數量的網路圖中找出其傳播範圍的關係式。最後我們找到不同結點數與傳遞次數、發源點之關係式，並進行一般化論證。並提出定理以供探討不同節點訊息傳遞時，其網路傳播範圍之關係，應用於社群網路分析參考。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。和二維Lill Path的結論相同，我們證明若有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射（依三維Lill Path反射規則），且此射線通過三維Lill Path終點，則其充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，其中θ為射線與三維Lill Path圖形所夾的角度。我們仿照參考資料[2]的方式，證明了若多項式所對應之三維Lill Path圖形是封閉的，則其充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們解決了參考資料[2]中教授所提到的一個問題：當路徑夾角不為π/2，且其三維ϕ-Lill Path圖形為封閉的，則其充要條件為多項式有一因式為 [x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。

108學年度台北市普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽數學科筆試(二)試題第四題，題目如下：「小明有A、B兩個盒子，一開始A盒裝有22顆彈珠，而B盒是空的。小明每次操作可以從A盒中拿一顆彈珠放到B盒，或從A盒中移去k顆彈珠，其中k是B盒子中的彈珠數量。小明至少需要幾次操作，才能將A盒中的彈珠完全清空。」 本研究利用算幾不等式及取整符號來推導出當A盒中有m顆單色的彈珠時，我們已能快速地找到清空盒內彈珠的的最少操作次數、B盒最終彈珠數量x及操作方法總數 ，進而能一一列出最少操作次數的所有可能操作 過程，而其中操作方法總數 的計算方法即為著名的正整數分割問題。其次，我們推廣至A盒有相同數量的1~4種顏色彈珠時，清空A盒彈珠所需的最少操作次數以及B盒最終彈珠數量。

將一個n個點的圈，中間新增一個點u，使得點u與圈上所有的點皆相連，這種特殊的圖類稱為Wheel，若n為奇數，則稱為奇數Wheel；若n為偶數，則稱為偶數Wheel。一個圖若賦予每條邊特定的方向性，稱為此圖的一個定向。對於Wheel這類的圖形設計一個特殊的定向，我們欲分析定向中特殊的有向子圖數量，過程中運用了許多的代數手法，從中發現奇數Wheel與費氏數列的關連性以及組合性質；同時也將研究問題延伸至Chebyshev第二類多項式，運用高等數學中的Girard-Waring Formula來論證我們對偶數Wheel的研究結果。然而圖的定向是研究列表著色的工具之一，我們也將這個特殊定向的組合性質運用在列表著色問題上。對於一般的圖形，若在原圖上新增一條路徑，我們也探討了新圖形為可列表著色的充分條件。

三名弓箭手進行決鬥，每位參賽者輪流射擊一次，可自由選擇目標，參賽者一旦被射中即退出賽局，直到剩下一人。我們彙整賽局的特性，以樹狀圖判斷平衡策略，並以程式模擬得出各分支發生機率。 接著我們嘗試將研究延伸至四人以上的賽局，由於狀況過於複雜而 無法推導出勝率一般式，因此利用賽局的退化特性，歸納出n人賽局中 各參賽者勝率的遞迴式，並使用程式實作。分析程式演算法複雜度高達O(n^(n+2))，因此無法計算八人以上賽局，大量模擬也只能進行到六人以下，故本研究主要針對六人以下賽局進行實驗與推論。 在現實中，許多時候我們無法得知所有的資訊。使用程式模擬，便可得出在不完美資訊的狀況下，各參賽者策略出現的機率，並藉此得出不完美資訊下的最佳策略。