數學

本研究試圖找出一些策略，以了解在mxn的格狀街道中，最少應該放入幾個吸螞蟻的裝置，便保證能抓到所有螞蟻。這問題等價於在圖G(m,n)中，最少應放入幾個紅點後，便能使G中的所有環都能碰到至少一個紅點。更等價於在圖G(m,n)中，最少應扣除幾個點後，便可形成一森林。 我們將這些點數記作k(m,n)。特別地，當m=n時記作k(n) 。本文推得：k(m,n)≧[mn+1/3]，並將等號成立時的k(m,n) 稱為完美的。經過構造後發現k(2n)、k(3,n)、 k(3n,m)、k(2+6m,2+6n),k(4+6m,4+6n) , 亦為完美的，並且將k(m,n)壓到只剩兩種可能。也得知了在無限擴張的格子圖中被移除點的密度為1/3。

我們已經知道， 任何分數都可以拆成數個單位分數和， 也有各種不同的拆法， 我們發現在不同的拆法中會有各種不同的長度， 例如2/5可拆成1/3+1/15,1/5+1/6+1/30，等各種不同的形式。 由於1/n=1/(n+1)+1/n(n+1) 公式， 已經拆成了各種單位分數的和之後， 又可拆出各種不同的和。 因此在這份報告中， 我們想找出各種分數最短拆分的方法。 我們的策略是在拆分的過程中，先用「貪心算法」： b/a=1/(q+1)+(b-r)/a(q+1) ， 其中a=bq+r找出最短拆分長度的一個上界， 再利用Erdös-Straus猜想、或是直接解不定方程， 找出最短拆分長度。 後來我們遇到了Schinzel猜想，我們便開始著手討論有關Erdös-Straus猜想與Schinzel猜想的證明討論，也看了許多關於這兩個猜想的文章。總歸來說，我們討論Schinzel猜想的方法是將正整數n模一個適當的整數，得到一個同餘類，去討論哪些正整數n可以寫成l/n=1/(q+t)+1/y+1/z的形式，其中q=⌊n/l⌋。

本研究探討以封閉折線P1P2…Pn的邊為對角線構造平行四邊形或箏形PkMkPk+1Nk。考慮兩種構圖。首先，取任一動點Q構造三角形 △QMk Nk，這些三角形的重心 Gk 形成「重心多邊形 G1G2…Gk」。第二，對所有點Mk與點Nk取 mod r，分別連接同餘a的點構造全外（全內）的「跳點多邊形」，共有r種。透過純幾何與解析幾何研究此二類多邊形與原多邊形的有向面積不變量。 研究發現（1）重心多邊形的剛體運動、平行性與相似性與面積不變量。（2）設定多邊形 P1P2…Pn的n=rk+h+a，則可一般化mod r 下的 r 種跳點多邊形的有向面積定值，這是重要的突破！這樣的假設解決了分類數量龐大的問題，只需要分成兩種。我們也給出定值關係式中頂點跳點規律，本研究完整解決平面封閉折線上構造特殊多邊形之面積問題。

眾所周知，「如何使用三種不同邊長的正三角形，去拼出邊長最小的正三角形？」這個問題是困難的。本文限縮在分層或拼接的拼法下，探討此問題，並得到了答案。解決過程中牽涉到正整數解的存在性問題──如何找最小的正整數z，使得方程式ax+by=cz有正整數解，其中a、b、c為三種正三角形的邊長。

在這篇作品中，研究了法里數列的性質，並試圖藉由與二維法里數列有關的福特圓，將其推廣到空間中，找到空間中與法里數列相應的數。 研究分成兩個階段，第一階段是舊定義的階段(2021國際科展作品「空間中的福特球」內容)。此階段中，定了空間中有起始三個相切的球，從這三個球繼續做更小的相切球，並找到一些性質。在經過一系列的討論，發現推廣到空間後的福特球有與平面福特圓重疊的部分。因為這個發現，我們就大膽的假設這一大堆球，可以跟另一種定義等價──直接把平面的福特圓變成三維空間的球(也就是起始球是一整排無限多顆的球)，然後做相切小球可以得到一模一樣的結果。第二個階段是由新定義開始的研究，直接將平面的福特圓變成空間中福特球的起始球，使得可以藉由法里數列的性質，快速求得福特球球心表示法，同時也找到了三維空間中的法里數列。最後研究更進一步試著推廣到D維空間(D≥3)中。

象棋的馬與西洋棋的騎士走法有異曲同工之妙且棋子的走法似乎有些特殊的規律，兩者的走法我們稱為同構，因此我們針對這個現象進行研究。 (圖一) 馬步與騎士 我們得到下面四個結論： 一、定理甲：動點P可經由馬步從原點(0,0)走到棋盤上的任意格子點。 二、定理乙：平面棋盤的馬步路徑皆可找到起點、終點在同一象限(含軸)，且步數相同的路徑。 三、定理丙：每一個最少步數K≥5，K所對應的總格子數f(K)，數列為公差7的等差數列。 四、定理丁：給定第一象限(含軸)任意點P(X,Y)，可求得最少步數K。

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向線段比例常數。最後，我們再探討角度與長度同時可變動的三個外西瓦線共點情形。

從參考資料[1]可知，將凸n+2邊形利用n-1條不相交的對角線剖分成n個三角形的圖形數量即為卡特蘭數Cn。而我利用不相交的對角線把n+2邊形剖分成數個多邊形和三角形的組合，並從此類的剖分圖形與三角剖分圖形之關聯，進而由卡特蘭數的一般式推導出此類剖分圖形數量的一般式。在本研究中可得，若到把n+2邊形剖分成一個k+2邊形和多個三角形的圖形數量是(2n-k+1 n+1) ；把n+2邊形剖分成一個k+2邊形、一個m+2邊形和多個三角形的圖形數量，當m≠k，數量為n+2/2(2n-k-m+2 n+2) ，當m=k時，數量為n+2/2(2n-2k+2 n+2) ；把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、一個k3+2邊形、和n-k1-k2-k3 個三角形的剖分圖形，當k1,k2,k3兩兩相異時，數量為(n+2)(n+3)(2n-k1-k2-k3+3 n+3) ；把n+2邊形剖分成一個K1+2邊形、一個K2+2邊形、一個K3+2邊形、一個K4+2邊形和n-K1-k2-k3-k4個三角形的剖分圖形當k1,k2,k3,k4兩兩相異，數量為(n+2)(n+3)(n+4)(2n-k1-k2-k3-k4+4 n=4)。並猜測若k1,k2,...,ki兩兩相異時，把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、…、一個ki+2邊形、和n-Σkj 個三角形的剖分圖形數量為(n+i)!/(n+1)!(2n-Σkj+i n+i) 。

在理想狀態下，由一個圓形且開口面平行於地面的水龍頭開口中流出的水柱會呈現一以 z 軸對稱、切面積往 z 軸負向遞減的圓形疊合曲面。此曲面形狀受到下列三種物理量值影響： 一、水流在水龍頭開口瞬間速度(在此稱之為初速度) v0 二、水龍頭圓形開口半徑(在此稱為初半徑) r0 三、重力加速度 g 為了更清楚瞭解此曲面性質及在不同狀況下(三種物理量值改變情況下對曲面的影響)，故提出下列問題在研究中探討： 一、這三種物理量值，對曲面形狀的影響為何？ 二、這三種物理量值，對曲面曲率影響為何？

b進位的n位數字x，數字x各位數字由大到小排列為p，由小到大排列為q，定義Kaprekar變換T(b,n)(x)=p-q，例如T(10,3)(x)= 954-459。當T(b,n)(x)= x，稱x為Kaprekar常數。 Tk(b,n)( x)=T(b,n)( Tk-1(b,n)( x))= x, k >1時，稱x為k階Kaprekar循環數。本文解答了以下問題： 1. b進位的數字不包含數字b-1的Kaprekar常數的形式。 2. 3,4,5,6進位的Kaprekar常數的一般形式。 3. 對於2,3進位的情形，我們引入三元非負整數的形式來討論Kaprekar變換，轉換成Kaprekar數對(p,q)，再進一步，由來探討比值p/q，將Kaprekar變換轉成Kaprekar函數g(x)，解決 Kaprekar 循環數的所有形式及解。 最後我們得到Tl(b,n)( x)必是Kaprekar循環數。