數學

A drawing of a graph G is a representation of G on a plane, with its vertices represented by distinct points, and its edges by arcs connecting the corresponding points. The crossing number of G is the minimum number of intersections between arcs across all possible drawings of G.

本文企圖將公認的剛性△區分為軟和硬△，軟硬△定義如下:「若給定△的每一內角都不存在比分角線能多切一點點的塞瓦線，則此△被稱為硬△，否則為軟△。」文中推出兩項主要結論，(一) 若等腰△的頂角角度在36度及771/7度之間則為硬△，否則為軟△。(二) 一般△(非等腰△)三內角角度若都在45度及75度之間則為硬△，否則為軟△。明顯看得出來，任何鈍角及直角△都是軟△，只有部分銳角△才有機會是硬△。文章最艱難的部分是在18種擺放方式中，將僅存的七種成功擺放方式的臨界點都找出來，藉著臨界點的位置條件將∠B最大及最小範圍和∠A角度的關係式導出，作為可否多切一點點的依據，∠B的最大值和最小值曲線兩者之間空隙表示在定值∠A下，∠B取角的容許範圍，其越大越容易舉例。在七個可成功塞入的臨界點擺放圖的尺規作圖中，有幾個非常困難，文中利用圓錐曲線幫忙定位，簡化作圖難度。

在這篇作品中，我們研究frieze patterns 的性質並探討其與法里數列（Farey sequence）的關係。本作品成功造出包含 n 階法里數列的 frieze patterns，並探討其對應三角剖分之雙重0 轉換圖與法里數列的關聯性，我們也找出具 1-鋸齒 frieze pattern 的充要條件及其幾何意義。在最後，我們作了一些 additive frieze patterns 相關性質的研究，並找出 additive frieze pattern 具 0-鋸齒的充要條件，也進一步探討 additive frieze patterns 所有可能的對稱變換。

在這篇作品中，研究了在遵守反射定律的情況下，“光點”在x軸和“反射曲線”之間反射時，無限往前彈跳的可能性。 研究分成兩個階段，第一階段沿用了我過去作品中的基本結果，闡述了“入射光線”角度之間的遞迴關係，並用“反射切線”角度寫出第n個入射光線角度的封閉式。 第二階段運用函數值趨近於非零常數（為了研究簡潔，假設趨近於1）的情況下一般可用的“接觸點”估計方式，並使用此結果證明了在特定初始條件下，1+e^(-x)和1+1/x都是“無限反射曲線”，但一開始的接觸點估計方式只適用於反射曲線函數值趨近於非零正數的情況，所以我也針對函數值趨近於零的情況進行了思考，但發現了估計推導上的困難，這將是我未來繼續研究的方向。

眾所周知，「如何使用三種不同邊長的正三角形，去拼出邊長最小的正三角形？」這個問題是困難的。本文限縮在分層或拼接的拼法下，探討此問題，並得到了答案。解決過程中牽涉到正整數解的存在性問題──如何找最小的正整數z，使得方程式ax+by=cz有正整數解，其中a、b、c為三種正三角形的邊長。

本研究探討以封閉折線P1P2…Pn的邊為對角線構造平行四邊形或箏形PkMkPk+1Nk。考慮兩種構圖。首先，取任一動點Q構造三角形 △QMk Nk，這些三角形的重心 Gk 形成「重心多邊形 G1G2…Gk」。第二，對所有點Mk與點Nk取 mod r，分別連接同餘a的點構造全外（全內）的「跳點多邊形」，共有r種。透過純幾何與解析幾何研究此二類多邊形與原多邊形的有向面積不變量。 研究發現（1）重心多邊形的剛體運動、平行性與相似性與面積不變量。（2）設定多邊形 P1P2…Pn的n=rk+h+a，則可一般化mod r 下的 r 種跳點多邊形的有向面積定值，這是重要的突破！這樣的假設解決了分類數量龐大的問題，只需要分成兩種。我們也給出定值關係式中頂點跳點規律，本研究完整解決平面封閉折線上構造特殊多邊形之面積問題。

象棋的馬與西洋棋的騎士走法有異曲同工之妙且棋子的走法似乎有些特殊的規律，兩者的走法我們稱為同構，因此我們針對這個現象進行研究。 (圖一) 馬步與騎士 我們得到下面四個結論： 一、定理甲：動點P可經由馬步從原點(0,0)走到棋盤上的任意格子點。 二、定理乙：平面棋盤的馬步路徑皆可找到起點、終點在同一象限(含軸)，且步數相同的路徑。 三、定理丙：每一個最少步數K≥5，K所對應的總格子數f(K)，數列為公差7的等差數列。 四、定理丁：給定第一象限(含軸)任意點P(X,Y)，可求得最少步數K。

從參考資料[1]可知，將凸n+2邊形利用n-1條不相交的對角線剖分成n個三角形的圖形數量即為卡特蘭數Cn。而我利用不相交的對角線把n+2邊形剖分成數個多邊形和三角形的組合，並從此類的剖分圖形與三角剖分圖形之關聯，進而由卡特蘭數的一般式推導出此類剖分圖形數量的一般式。在本研究中可得，若到把n+2邊形剖分成一個k+2邊形和多個三角形的圖形數量是(2n-k+1 n+1) ；把n+2邊形剖分成一個k+2邊形、一個m+2邊形和多個三角形的圖形數量，當m≠k，數量為n+2/2(2n-k-m+2 n+2) ，當m=k時，數量為n+2/2(2n-2k+2 n+2) ；把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、一個k3+2邊形、和n-k1-k2-k3 個三角形的剖分圖形，當k1,k2,k3兩兩相異時，數量為(n+2)(n+3)(2n-k1-k2-k3+3 n+3) ；把n+2邊形剖分成一個K1+2邊形、一個K2+2邊形、一個K3+2邊形、一個K4+2邊形和n-K1-k2-k3-k4個三角形的剖分圖形當k1,k2,k3,k4兩兩相異，數量為(n+2)(n+3)(n+4)(2n-k1-k2-k3-k4+4 n=4)。並猜測若k1,k2,...,ki兩兩相異時，把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、…、一個ki+2邊形、和n-Σkj 個三角形的剖分圖形數量為(n+i)!/(n+1)!(2n-Σkj+i n+i) 。

This project aimed to study the motion which occurred from the end point on the circumference of the outermost circle by moving the center on the circumference of a preceding circle and the center of an innermost circle at origin. According to the study, when angular velocity was changed, it caused the different of loci. Based on the above information, finding the locus of the point on circumference of n-th circle that formed by moving the center of any radius circles on circumference of preceding set of circles was studied to get general equation. A set of circle and locus were created with GSP program. First, set the same radius circles on the X-axis with the first circle at origin, then found the relationship that occurred from the characteristics of locus. The result showed that if the ratios of angular velocity are 1:1:1, 2:2:2, 3:3:3, ..., …, n:n:n or 1:2:3, 2:4:6, 3:6:9, …,nw1:nw2:nw3, the characteristics of locus will be the same, while the others will be different. Finally, the equation of locus was found as follow: (x,y) = { ..........see in abstract...........} when .........see in abstract........... Where ri is the radius of i-th circle, zeta i is an angle between the radius of i-th circle and X-axis, wi is the angular velocity, t is elapsed time and alpha i is a starting angle between the radius of i-th circle and X-axis.

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向線段比例常數。最後，我們再探討角度與長度同時可變動的三個外西瓦線共點情形。