數學

本研究在探討過原點且通過特定格子區域中格子點的直線數，利用縱向或橫向方式來計算。不論哪一種方式皆從正方形區域探討，得到其格子直線數與歐拉函數有關，特別是在橫向方式中增加上高斯符號與高斯符號協助計算，得到正方形、長方形、三角形及圓形區域的直線數及其上下界，及探討上下界的特定區域。此外，將原點移動到任意點，探討過任意點且通過特定格子區域中格子點的直線數，得到一些有趣的性質。 接下來，從正方形區域推廣至高維度的超立方體區域中的直線數，並推導出三個歐拉函數的推廣式，其中一種是約當囿互質函數，使用這些函數不僅能簡化計算，更能拓寬歐拉函數的視野。另外二種皆是利用幾何結構推導出來，其中一種是用第二類史特林數來表示。 最後我們使用此歐拉函數的推廣三式推導出高維度的超立方體、超長方體、單體 (即高維度中廣義三角形區域)及角錐柱中的格子直線數及其上下界，特別是利用橫向方式獲得公式的更為精簡。

本研究旨在探討由法里數列生成的福特圓、以及與其有相似性，但是三維(或更高)的福特球的相關性質，我們分成三個部分來探討。一、首先我們驗證福特圓的衍生方式是否與法里數列相符合，並發想出另一種福特圓的衍生方法；二、以類似福特圓的方式，定義三維中的福特球、推導出以三顆球衍生第四顆球的公式、且限制其衍生的範圍，爾後由同一方向(以最新三顆球作衍生)、固定某一個球(固定某顆球，以最新兩顆球和固定球衍生)等方式衍生，並且利用空間中的索迪公式，對其半徑倒數與配合半徑倒數化繁後的x、y分子的遞迴關係式作探討；三、在高維度中，同樣定義出福特球(並非球體，只是敘述上方便的統稱)，利用索迪公式對同一方向衍生的半徑倒數數列的遞迴關係式來探討。

本研究旨在探討分散式網路爬蟲瀏覽時間及覆蓋率之最佳化問題原理。藉由相異物排列所形成的循環組關係式進行一系列的探討。在n個相異元素的簡單排列中，不存在任意元素個數為k (k≤n)的子集對應到自己本身所成集合，我們稱此型態的排列方式為k-錯排。換言之，假如n個相異元素進行簡單排列，排列後每個元素都不在原來的位置上，此時這樣的排列稱為一般的錯排列，也就是1-錯排。本研究從分散網路爬蟲搜尋網址中進行相關發想，發現它的本質是遍歷完所有的頂點且沒有重複經過，即所謂「哈密頓路徑(Hamiltonian path)問題」中一筆畫的NP-hard問題，即圖遍歷問題的一種。因此本研究由k-錯排遞迴之性質來探討分散式網路爬蟲最佳化問題。最後透過電腦模擬及組合數學分析推導，本研究將提出改善以k-錯排應用至分散網路爬蟲的最佳化方式。

四角垛是「底層是邊長為n顆球的正方形，其上層在每顆球的中間排成邊長為n顆球的正方形，依此方式堆疊至最上層是邊長為n顆的正方形」。 本文主要探討的問題為：當四角垛最底層彩球用紅藍綠三種彩球擺定，上層每顆球的顏色由其下層所接觸的四顆彩球依照給定之規則來決定其顏色(紅或藍或綠)，那四角垛最頂層那顆球的顏色為何？我們透過數學建模將此問題轉換為 的矩陣問題來解決，並得到如何最快求得答案的方法。另外，透過矩陣的可逆性與否我們可以判斷當給定四角垛哪些位置彩球的顏色後，即可推得四角垛中每顆彩球的顏色。

本研究將至多8維的超立方體(hypercube)Qn最小控制集(minimum dominating set)MDS(Qn)建構方式一般化，並藉由同構(isomorphic)的分類討論提出的建構模式之唯一性與否。由文獻得出的各超立方體最小控制集大小γ(Qn)以及已知的控制集形式，並從控制集重複控制的次數R(MDS(Qn ))，我們得出Qn的平方圖中最小控制集形成的子圖Qn2 [MDS(Qn )]可能的連通分量(component)數，最後透過Qn層狀圖(layered graph)中各層控制點數的運算，篩選得出可行的建構方式。 研究得出MDS(Q1 )、MDS(Q2)、MDS(Q3)、MDS(Q5)、MDS(Q7)只有一種同構；MDS(Q4)、MDS(Q6)有兩種同構，同時我們發現MDS(Q5)與MDS(Q6)構造上的關聯；Q8的情況較為複雜，我們先是證明了γ(Q8 )=32，並討論MDS(Q8)與MDS(Q7)構造上的關聯，提出了建構MDS(Q8)之方式。

本篇將探討在正n邊形中的內接正四邊形，即此正四邊形的四個頂點分別位於正n邊形的四個不同邊上。我們將正n邊形依邊長數分為n=4k、4k+1、4k+2、4k+3，透過電腦繪圖、尺規作圖法及公式驗證，得到以下結論:正n(n=4k)邊形有無限多個共中心內接正四邊形，而其餘正n邊形中，皆只有一個(本篇中圖形經過旋轉對稱後，大小、位置相同者為全等，則視為 "同一個")內接正四邊形，且在n=4k+2時，內接正四邊形必和正n邊形共中心；n=4k+1或4k+3時，內接正四邊形必不和正n邊形共中心，但內接正四邊形之中心必在正n邊形的一對稱軸上。最後我們提供一個能在所有的正n邊形畫出內接正四邊形的尺規作圖法。

前作「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2]中，我建構了多類兩種相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。本研究利用n倍角公式，建構三種以上相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形。 我依正整數的分割數將圓內接多邊形分類。除了正多邊形之外，6類圓內接五邊形、10類圓內接六邊形、14類圓內接七邊形。取畢氏三元數做變數變換，做出所有類型相異且有不同邊長的圓內接多邊形。另外在建構圓內接八邊形、九邊形與十邊形時，我考慮建構邊長相異且其中一邊為外接圓直徑的圓內接四邊形、圓內接五邊形與圓內接六邊形...等，將上述圖形做適當的伸縮與組合，即可以建構邊長皆為相異的整數的圓內接n邊形。研究過程也發現可用同一組一般式可建構不同的圓內接多邊形。最後推得各類非等邊長且外接圓半徑亦為整數的圓內接多邊形皆可尺規作圖。

本文企圖將公認的剛性△區分為軟和硬△，軟硬△定義如下:「若給定△的每一內角都不存在比分角線能多切一點點的塞瓦線，則此△被稱為硬△，否則為軟△。」文中推出兩項主要結論，(一) 若等腰△的頂角角度在36度及771/7度之間則為硬△，否則為軟△。(二) 一般△(非等腰△)三內角角度若都在45度及75度之間則為硬△，否則為軟△。明顯看得出來，任何鈍角及直角△都是軟△，只有部分銳角△才有機會是硬△。文章最艱難的部分是在18種擺放方式中，將僅存的七種成功擺放方式的臨界點都找出來，藉著臨界點的位置條件將∠B最大及最小範圍和∠A角度的關係式導出，作為可否多切一點點的依據，∠B的最大值和最小值曲線兩者之間空隙表示在定值∠A下，∠B取角的容許範圍，其越大越容易舉例。在七個可成功塞入的臨界點擺放圖的尺規作圖中，有幾個非常困難，文中利用圓錐曲線幫忙定位，簡化作圖難度。

本研究旨在探討由0與1組成長度為n的二元字串中滿足000-子字串數和111-子字串數相同（稱為平衡）之排列方法數。我們分成3個部分來探討：一、首先我們利用程式計算二元3平衡n字串和二元3非平衡n字串的個數，並觀察在不同n值下，平衡與非平衡字串個數之規律性；二、接著我們發現非平衡字串個數在000-子字串和111-子字串之差值為一固定形式時，不同長度之字串符合個數會形成一階差數列，我們對此猜測提出證明並嘗試利用此性質推導出二元 3 平衡 n 字串個數之一般式；三、最後探討二元 3 平衡 n 字串個數之成長速度，推論當 n 值極大時，二元 3 平衡 n+1 字串的個數大約為二元 3 平衡 n 字串的個數的2倍。同時，我們也將3平衡推廣至r平衡，提出一些相關的結果。

本研究將從七圓定理出發，探討點、線、圓的各種變化與推廣，試圖改變切圓個數，探討共點的存在性；更進一步推廣「與兩內離圓分別均外切與內切的六個環切圓」之雙心六圓，探討其共點、共線、共圓及共圓錐曲線等性質；研究有驚人的發現「當六個環切圓旋轉時，其各類對應點連線之共點必為定點，且各類共定點之對應共線恆為固定不變。」推廣至不同個數的環切圓時亦成立。當兩內離圓推廣至兩外離圓或是一圓一線時，亦發現其諸線共點、諸點共線、諸點共圓、諸點共圓錐曲線等性質必成立。當雙心六圓由平面推廣至立體情形，亦發現其共點、共線、共圓、共圓錐曲線的特殊變化。