數學

本研究作品所探討的主題是披薩定理的延伸，在外擺線中的心臟線上，以尖點為定點，過此定點切若干刀，使每一組相鄰割線夾角皆相同，討論兩人依逆時針序輪流拿取的區塊面積和的關係，並討論其切割的刀數n(n≧2, n∈N )與線段長的k(k∈Z )次方和的關係。根據先前科展作品(參考文獻一)的猜測，我們也證明了有關圓的分割線段長k次方和關係。

本研究源自三角形的重心及其外接圓所構作的線段比值的古老幾何性質，我們不但推廣原命題，還創造新命題：給定△ABC與其外接錐線Γ，令直線AG, BG, CG分別交Γ 於 A', B', C' 點，再取任意k值，探討P點集合的性質。 Γ3, k={P|AA'/PA' + BB'/PB' +CC'/PC'=k} (1)Γ3,k為二次曲線系，其橢圓、拋物線、雙曲線之形態不因k值而改變，而是被外接錐線Γ所決定。 (2)發現△ABC重心 G、Γ中心O、Γ3,k 中心O3,k 的共線性及比例常數。 (3)完整劃分 Γ3,k的非退化與退化型態，並發現只有Γ3,k 為橢圓時，k 值有跳躍現象。 (4) 發現錐線Γ上取相異六點而生成兩個錐線Γ3,k、Π3,k重合的充分條件。 最後，我們以「錐線 Γ 上取一點、兩點到多點」的線性組合手法，推廣多邊形與其外接錐線的生成錐線Γn,k之性質。

對於排列組合數學中避免特定序列的方法，是一個已經提出很久的問題，而對於長度為n，避免同一物連續出現兩次的方法，俄國學者Tanya Khovanova [1]提出一遞迴式。既然知道避免同一物連續出現兩次的方法數，那避免同一物連續出現m次的方法為何呢? 在去年的臺灣國際科展「從Avoid數列到類巴斯卡三角形」我令其方法數為A，計算其遞迴關係，並寫成以B為係數的多項式，計算B的遞迴關係。 為了計算B的一般式，今年我的研究過程： 1. 今年不同於去年的臺灣國際科展，重新以較直接且簡單的排列組合證明避免同一物連續出現m次數的方法數A之遞迴式 2. 同1.，重新以排列組合證明B的遞迴式，並找出選取個數小於m時之一般式 3. 以生成函數計算B及A，並計算B的一般式 4. 發現B的大小隨著選取個數接近常態分佈

This project aims to create the polar equations from the relation of the points on the centre line of the water twisted from Butterfly sprinkler heads. The water path includes inner rim, outer rim and centre line laying in the middle of the water path is used Rhombus’s property. The diagonals are perpendicular bisectors of each other to create the centre line. Then we create the polar equation of the centre line of water that twists from 4 types of the Butterfly sprinkler heads: edge frame, curve frame, STL and STL rotary. The polar equation of outer rim and inner rim is created by adding and removing the “ f ” value ( ; is the distance between the outer rim and the centre line, and is the geometric sequence that is ) of the coefficient (a) of the polar equation respectively. The results show that the formal equation of the centre line is which can explain the different properties of Butterfly sprinkler heads. If “ f ” value is increasing the water path and the blade will be wider that affects droplets distributing thoroughtly. Furthermore the relationship between the volume of water and the radius of water distribution can be processed to find the least time that can increase the appropriate moisture level of soil.

本研究作品主要在探討「平面上各種曲線內關於相鄰等角割線段的新的不變量」與「空間中特殊圓錐曲面的特殊等角割線段的新的不變量」。 若圓錐曲線、蚶線等曲線中有相鄰等角的 條割線段，則這n條割線段之m次方和為定值。在圓錐曲線中這些割線段的交點可以是焦點、曲線內任意點，在蚶線中則為基點。甚至經由反演，還能將此性質推廣至直線上。 研究最後擴及至空間，先考慮特殊橢圓、拋物、雙曲球面，其一焦點為F，將正N面體VN之重心G與F重合，使得VN以F為旋轉中心任意旋轉，此時由F對VN之各頂點做射線交圓錐曲面於 PN，則FPN之倒數m次方和為定值，其中u=1,...,n，N=4, 6, 8, 12, 20 。

此篇研究發現在任何一個結中，都可以利用「牽手順序」和「交錯點編碼」兩種結的資訊直接看出一結化簡後的圖形。利用從「Reidemeister moves」所衍伸出的四種化簡方法{α, β, γ, δ}能更有效率的簡化結，並證明只需{α, β, γ, δ}就可化簡任何結，也利用{α, β, γ, δ}來驗證HOMFLY多項式是結不變量。由圖形及結的資訊我們發現，可使用「牽手順序」和「交錯點編碼」，搭配所討論出{α, β, γ, δ}的通式，依照步驟及通式簡化任何結。 本篇最重要的成果為：只需利用{α, β, γ, δ}即可化簡所有的結，而且比Reidemeister moves更有效率，因此可用{α, β, γ, δ}取代Reidemeister moves。 不管是一個封閉曲線或是兩個以上封閉曲線，都會遵守前述的規則，可利用{α, β, γ, δ}簡化圖形。文中也討論了較特別並具有規律的結──「星星結」，發現星星結只需使用「牽手順序」即可簡化，最後利用星星結的結論，發展出牽手遊戲中特殊的牽手遊戲情形。

本作品『翻轉塗色驚嘆號』為2016年國際科展『翻轉塗色』的一般化延伸改進作品。在過去文獻中討論的問題是一列已上色的格子中，估計會有多少個『等間隔而且同色格子」的可能。而本研究所探討的問兩個顏色（以1及0表示，1跟0互為補色），並以Thue-Morse遞迴著色（若B已著色，則接下來的|B|個格子就著上B的補色，其中|B|表示B的格子數)，其中每次遞迴時精確的『三個間隔相同而且同色的格子』（本作品稱為3-AP）的精確總數。為了表示方便，我們將著好顏色的格視為一雙色字串。在之前的作品中，我以中心排列手法算出了起始字串為1時每次遞迴的3-AP精確數目。而本作品的突破在我們推廣到對於任意起始字串B，所遞迴產生的Mp(B)字串都能精確算出3-AP總數，其困難點在於歸納不同B之間的共同性。令人驚嘆的是，在遞迴兩次之後，其3-AP增加的數目與B的內容無關，只與B的格子數有關。此為本作之重要定理。除此之外，我也給出依序刪去每次遞迴後所剩下的Mp,q(B)中3-AP總數的公式。其困難點在刪去之後失去了對稱性。在本作品中突破方式是改變中心排列以偏心排列找出基底，並以未定係數法將其3-AP總數找到。而令人驚嘆的地方在於，若同時增加後續字串並同時刪去前方字串，其3-AP增加的數目也與B的內容無關，只與|B|有關。

有一數列從1開始，下一項為前一項個別數字乘以m，其中m為一正整數，2≦m≦10，將此定義為乘m數列，本文以兩大部分來架構出乘二數列及乘五數列的性質，討論數列的區塊結構，進而判斷數字是否為乘二數列或者乘五數列的其中一項。接著再進入針對位數規律的討論：依照乘m數列的規律，讓人聯想到可以透過其位數的有向圖D(directed graph)與鄰接矩陣A(Adjacency matrix)進行轉換，再利用矩陣計算來求證遞迴關係式，進而求出生成函數和特徵方程式，最終獲得乘二數列及乘五數列的位數估計函數，以解決原先獲知此種數列時伴隨之相關問題。研究的最後發展出乘二數列及乘五數列之間的連結，加入了與乘二、乘五、乘十的規則的關係。未來希望能研究其他乘m數列並發展出共通性。

本研究以蒙日定理「平面上三圓彼此外公切線交點共線，以及彼此內公切線交點與另一圓的圓心的連線共點」出發，在數量、形狀及維度上進行一系列問題的推廣。正如本研究作品名稱「道同」互相為「蒙」，發現對於任意N維空間中的n個圖形，只要圖形互相「位似」，均有蒙日點、蒙日圓或蒙日形等蒙日定理性質。同時，透過蒙日點與各圖形位置及大小的關係，可發現更多共點共線及共圓的有趣性質，其中最令人驚豔的是「分堆的（廣義）蒙日點共線」性質：「k圓蒙日點、n-k圓蒙日點及n圓蒙日點共線」。此外，本研究提出的工具方法及觀點，可應用至許多方面，如「蒙日圓」與Desargues、Pascal和Brianchon等定理的關聯，亦可解釋光學中的薄透鏡成像公式，更將蒙日定理連結Menelaus、Ceva定理，進而能重新詮釋共點共線的幾何定理。

Parameters of traffic, road availability, and fare were integrated into a web-based application for determining the best public transport routes within Metro Manila in order to assist commuters in their travel planning, whether for business or for pleasure. A user-friendly interface was developed to obtain a user’s place of origin and destination, as well as preferences in travel time, mode of transportation, and cost of journey. By accessing the traffic roadway network of the metropolis, a real-time situation of road availability was obtained, and used in a modified Dijkstra’s shortest-path algorithm to produce a model of a real-time adaptive transport network of Metro Manila. From the model, an optimal route that considers the user’s preferences can be determined. This project will be immensely useful in helping both businessmen and tourists in planning their routes that will save on time and money.