數學

三角形的布洛卡點及布洛卡角是經常被探討的主題。本研究突破過往研究中布洛卡點僅存在於三角形中的侷限性並推廣至n邊形，發現並非所有n邊形都存在布洛卡點，並得到n邊形存在布洛卡點的充要條件，這個條件各n邊(角)互相獨立地等於布洛卡角的cot值，同時這條件亦等價於所有存在正、負布洛卡點的n邊形，其頂點皆為正n 邊形的頂點在反演變換下的反形。當n=4時，即為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為一種更具數學風味的旋轉與伸縮變換，基於這種變換，發現了許多布洛卡點與外心之間的幾何性質，從而推廣至多邊形。其中美妙的結果是：從任意布洛卡n邊形出發的n條全等的等角螺線皆收斂至布洛卡點。最後，由投影的角度看，發現布洛卡n邊形是正n 邊形的投影，由布洛卡n邊形的n個邊所延伸的多邊形，其頂點是共圓錐曲線的。

本文所探討的是建立一新的幾何描述模型，以過圖形內一點之弦長來描述圖形的特徵值，而其中牽涉到一客觀並方便求得的觀察點（我們稱之為圖心），即弦長標準差最小點，過此點所得弦長集合就是圖形的特徵值集合。我們先研究圓與橢圓的弦長標準差，利用過圓內一點之弦長函數的反函數求出累積分配與機率密度函數，再求得子樣本的期望值與標準差，並以聯合機率密度函數求出母體的分佈。關於不規則圖形的研究，本文先集中在不規則凸圖形。我們發現不規則凸圖形中弦長標準差大小竟然有規則性，而這規則性讓我們可以發展出『篩法』，利用層層篩子逼近弦長標準差最小點。本文最後以此模型比較蛋形、蛋圓、圓形三個圖形的相似性，得到令人滿意的結果。

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

從海盜藏寶的情境出發，主要探討旋轉角度和平均點與加權點之間的關係。藉由增加旋轉中心個數，改變旋轉角度或旋轉次數等變項，來探討固定點的存在性與加權點的軌跡變化。於研究過程中發現，操控旋轉角度的正負值、倍率及加入旋轉後伸縮，能讓動點與加權點(平均點)間的移動軌跡有相似圖形、繞圓、橢圓、內(外)次擺線及各種數學上未定義，我們稱之為n階行星與齒輪圖形等豐富有趣的現象變化；將問題延伸，除了旋轉及旋轉後伸縮以外，同時有多組不同伸縮在進行時，所得到的加權點軌跡會形成次擺線和向前直進(或在直線上滾動)的多層行星與齒輪圖形。推廣至空間中的旋轉，更可發現橢圓的軌跡。

一個非自身線對稱的四邊形蛋糕，嘗試將它放入如同蛋糕鏡像圖形的盒子。由於蛋糕上有撒糖霜，我們不能藉由上下翻轉直接置入盒子，因此須利用刀子將蛋糕切割成數塊，經由平移及旋轉放到盒子中。本研究即是關於切割四邊形的探討，並求得特殊四邊形最少塊數的切割方式。我們以M. Skopenkov教授的論文《Packing a Cake into a Box》[1]為基礎，將原本論文中探討的三角形的分割延伸成某些特定四邊形的分割，並利用論文中提供的函數工具，加以推導出當一個四邊形可被切成兩塊，並經由平移及旋轉可放入鏡射的盒子時，則四邊形的四個內角必呈線性組合。

本研究在探討過原點且通過特定格子區域格子點的直線數；先討論正方形的區域，發現這樣的直線數與法里序列及歐拉函數有關，並使用這些結果得到三角形區域中的直線數。 接下來，我們將上述問題從正方形區域推廣至高維度的(超)立方體區域，得到欲求的直線數，並介紹四個歐拉函數的推廣形式，其中一種是約當囿互質函數，使用這些函數不僅能簡化計算，更能拓寬歐拉函數的視野。 最後，我們也計算單體區域，即高維度中廣義三角形區域中的直線數，這些結果成為法里序列的推廣形式，而我們所獲得的公式可以藉由第一類斯特林數表示。

本篇研究針對跳躍進行數列本身意義的探討，用新的數列V表示跳躍數列的接球狀況，接著利用狀態有向圖定義出表示跳躍數列球在空中狀況的「頂點」以及表示跳躍數列內數值的「邊」，而迴圈狀況即為跳躍數列的情況下我們利用鄰接矩陣的想法進行探討，並且最後利用跡數的方式進行跳躍數列形式的討論。不同於文獻中僅針對用球數b和跳躍數列字串長度n做為討論，本篇研究增加了代表著跳躍數列中數值可達到的最大數值s(也代表著表示跳躍數列球在空中狀況的「頂點」長度)，針對用球數為1顆的情況下為k階盧卡斯數的數值，而在其他用球數也有好的結果，並且針對不同情況下的跳躍數列整理出遞迴關係式以及生成函數。最後，在本篇研究中也找到許多在OEIS上所沒有的數列，並且給予這些數列有不同的解釋。

本研究為一迷宮遊戲和旋轉方塊所組合成的問題。在給定行列數的可旋轉方塊上，置入「路」和「橋」，指定起點，並透過方塊的旋轉改變路徑，探討所有可能到達的終點以及抵達各終點的最短路線數。 此研究中，首先透過問題簡化和圖形討論，發現旋轉方塊以迴圈和無法繞行的路線（構造S）交錯形成，得到所有可能的終點位置。接著，整理所有簡化圖形的規律，利用加法原理推算出最短路線數。透過找出圖形對稱特性，得到不同終點之最短路徑數的關係。而後將不同規格的旋轉方塊的最短路線數關係，以遞迴關係式表示，並且找出其生成函數，希望透過生成函數得到最短路徑數的一般式。研究時，我們不僅發現不同規格之最短路線數生成函數的關係，從而能探討每一規格的最短路線數。更進一步發現無論方塊行數取至極限時或方塊行列數相同時，其最短路徑數的數列與卡特蘭數列（the Catalan numbers）有關。

本研究旨在對費馬多邊形數定理(任意非負整數皆可表成n個n邊形數的和)進行更進一步的延伸探討，更精確地說，即是：對於給定的二次式an2+bn+c，定義一數列〈an 〉n=-1∞=〈a-1=0,an=an2+bn+c, ∀n≥0〉，而若存在一最小正整數γ，使得對於所有非負整數x，可由數列〈a_n 〉_(n=-1)^∞中取出共γ項，滿足x恰為這γ項之和。這時，我們稱正整數γ為二次式an^2+bn+c的指標值，定義函數Yi使得γ=Yi(an2+bn+c)。 在本研究中，首先先行探討函數Yi的一些基本性質，再藉由電腦以暴力法算出一些二次式指標值的下界，從這些指標值中找出規律，將其推廣至所有我們所討論的二次式，並證明之，至於再探討二次式指標值的上界的部分，我將數學家MelvynB.Nathanson證明費馬多邊形數定理的證明技巧，稍作改寫，使其能夠應用至更為一般的情況，藉此系統性的求得二次式指標值的可能上界。最後，經由不斷的優化上界與下界，即可求得二次式的指標值。

假設G為簡單圖，令V(G)、E(G)分別為G的頂點與邊所形成的集合，|V(G)|與|E(G)|分別代表G的頂點集合與邊集合的元素個數。若u, v∈V(G)且u, v有邊相連，則將此邊記為uv∈E(G)。對於給定的填單圖G，若存在函數f: V(G)∪E(G)→{1, 2, 3,…, m}，其中m=|V(G)|+|E(G)|且函數f滿足下列兩個條件： (1)f為1-1且映成函數： (2)對於每個邊uv∈E(G)，f(u)+f(v)+f(uv)恆為定值T， 則稱函數f為圖G的一個『魔函數』，G為一個具有『魔和』為T的『魔圖』。 在此次研究中，我們證明了下列的結果： 1.任意圈Cn為具有魔和[(5n+4)/2]或[(7n+3)/2]的魔圖； 2.長度為奇數n的圈Cn，其中n≠5，為具有魔和(5n+5)/2的魔圖； 3.長度為n=4t+2(t≧1)的偶圈Cn，為具有魔和(5n+6)/2的魔圖； 4.長度為奇數n的圈Cn外加兩個相鄰的懸掛邊所成為的圖為一個魔圖； 5.三個具有共同端點的n-路徑所形成的圖為一個魔圖。