數學

本文研究找出t個不同物{x1, x2, x3,..., xt}(可重複選取)選取n個並做直線排列，則避免x1x1連續、x2x2連續、x3x3連續、…、xjxj連續之計算方法，後來發現學者Tanya Khovanova於網頁資料[4]討論過這種問題並給出遞迴式，而我更進一步得到下列結果 : 1.t個不同物{x1, x2, x3,..., xt}(可重複選取)選取n個並做直線排列，避免x1 …x1連續(m個x1)、避免x2 …x2連續(m個x2)、…、避免xj …xj連續(m個xj)之遞迴式，j≦t，則: (1)nm，An+m=(t-1)(An+m-1+An+m-2+...+An+1)+(t-j)An 2. 除了用遞迴式解題外，我創造出一個用類巴斯卡三角形解決全文所有題目的特殊方法 : 設βim,n表示用{x1, x2, x3,..., xt}(可重複選取)選取n個並做排列，出現i個x1或x2或....或xj，並避免x1…x1連續(m個x1)、避免x2…x2連續(m個x2) 、…、避免xj…xj連續(m個xj)之排列方法數，j≦t，則:βim, n+m=βim, n+m-1+βi-1m, n+m-2+...+βi-m+1m, n+(j-1)(βi-1m, n+m-1+βi-2m, n+m-2+...+βi-m+1m, n+1) Example :下圖為βmm, m+1=βmm, m+βm-1m, m-1+...+β1m, 1+(j-1)(βm-1m, m+βm-2m, m-1+...+β1m, 2)

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

本研究在探討過原點且通過特定格子區域格子點的直線數；先討論正方形的區域，發現這樣的直線數與法里序列及歐拉函數有關，並使用這些結果得到三角形區域中的直線數。 接下來，我們將上述問題從正方形區域推廣至高維度的(超)立方體區域，得到欲求的直線數，並介紹四個歐拉函數的推廣形式，其中一種是約當囿互質函數，使用這些函數不僅能簡化計算，更能拓寬歐拉函數的視野。 最後，我們也計算單體區域，即高維度中廣義三角形區域中的直線數，這些結果成為法里序列的推廣形式，而我們所獲得的公式可以藉由第一類斯特林數表示。

本篇研究針對跳躍進行數列本身意義的探討，用新的數列V表示跳躍數列的接球狀況，接著利用狀態有向圖定義出表示跳躍數列球在空中狀況的「頂點」以及表示跳躍數列內數值的「邊」，而迴圈狀況即為跳躍數列的情況下我們利用鄰接矩陣的想法進行探討，並且最後利用跡數的方式進行跳躍數列形式的討論。不同於文獻中僅針對用球數b和跳躍數列字串長度n做為討論，本篇研究增加了代表著跳躍數列中數值可達到的最大數值s(也代表著表示跳躍數列球在空中狀況的「頂點」長度)，針對用球數為1顆的情況下為k階盧卡斯數的數值，而在其他用球數也有好的結果，並且針對不同情況下的跳躍數列整理出遞迴關係式以及生成函數。最後，在本篇研究中也找到許多在OEIS上所沒有的數列，並且給予這些數列有不同的解釋。

本研究為一迷宮遊戲和旋轉方塊所組合成的問題。在給定行列數的可旋轉方塊上，置入「路」和「橋」，指定起點，並透過方塊的旋轉改變路徑，探討所有可能到達的終點以及抵達各終點的最短路線數。 此研究中，首先透過問題簡化和圖形討論，發現旋轉方塊以迴圈和無法繞行的路線（構造S）交錯形成，得到所有可能的終點位置。接著，整理所有簡化圖形的規律，利用加法原理推算出最短路線數。透過找出圖形對稱特性，得到不同終點之最短路徑數的關係。而後將不同規格的旋轉方塊的最短路線數關係，以遞迴關係式表示，並且找出其生成函數，希望透過生成函數得到最短路徑數的一般式。研究時，我們不僅發現不同規格之最短路線數生成函數的關係，從而能探討每一規格的最短路線數。更進一步發現無論方塊行數取至極限時或方塊行列數相同時，其最短路徑數的數列與卡特蘭數列（the Catalan numbers）有關。

假設G為簡單圖，令V(G)、E(G)分別為G的頂點與邊所形成的集合，|V(G)|與|E(G)|分別代表G的頂點集合與邊集合的元素個數。若u, v∈V(G)且u, v有邊相連，則將此邊記為uv∈E(G)。對於給定的填單圖G，若存在函數f: V(G)∪E(G)→{1, 2, 3,…, m}，其中m=|V(G)|+|E(G)|且函數f滿足下列兩個條件： (1)f為1-1且映成函數： (2)對於每個邊uv∈E(G)，f(u)+f(v)+f(uv)恆為定值T， 則稱函數f為圖G的一個『魔函數』，G為一個具有『魔和』為T的『魔圖』。 在此次研究中，我們證明了下列的結果： 1.任意圈Cn為具有魔和[(5n+4)/2]或[(7n+3)/2]的魔圖； 2.長度為奇數n的圈Cn，其中n≠5，為具有魔和(5n+5)/2的魔圖； 3.長度為n=4t+2(t≧1)的偶圈Cn，為具有魔和(5n+6)/2的魔圖； 4.長度為奇數n的圈Cn外加兩個相鄰的懸掛邊所成為的圖為一個魔圖； 5.三個具有共同端點的n-路徑所形成的圖為一個魔圖。

每個人都有需要幫助的時候，當你遇到一個需要幫助的人，你會如何反應呢？有些人總是樂於助人，有些人選擇獨善其身，有些人則是會先觀察對方是什麼樣的人再做決定。這些不同的決定會交織成出什麼樣的故事呢？ 我們假設社會上有三種人： 總是願意幫助別人的Cooperators、永遠不幫助別人的Defectors、依據人們過往的行為來決定是否幫助對方的Discriminators；由於cooperator和defector的行為是固定的，顯然discriminator的助人行為會有決定性的影響，因此我們從學者Berger的論文出發，修改discriminator決定是否幫助他人的判斷準則，架構了兩種間接互助模型並與Berger(2011)的工作做比較，觀察這些改變的影響，計算三種人的比例與彼此幫助率的關係。 Discriminator遇到不同的人會有不同的決定，隨著時間的推進，Berger在論文中已證明了他們的行為會趨於一致，並提出一種演化機制，探討三種族群之間的流動。那麼在我們提出的兩種模型中，discriminator的行為是不是也會趨於一致呢？因此我們證明了discriminator助人行為的收斂，也提出了一個新的演化機制，試圖用不同的觀點詮釋三種族群間的流動。 在我們的互助模型中，當使用Berger(2011)的演化機制時，演化行為只受discriminator佔全體比例的大小影響；然而若使用我們提出的演化機制，不論discriminator的比例為何，演化行為只會由 cooperator與defector 的比值決定。如此，我們便能刻劃出：可以使模型中所有的人至終演化成為 cooperators，理想中大同世界的範圍。

本作品研究Frieze pattern :特定梯形中內含菱形的結構，其中梯形的第1列及最後列都是1，且結構中形成菱形的四個角的數字a、b、c、d ,都滿足a×c=b×d+1 。 利用中學教材多項式四則運算，本研究進行結構分析與並透過兩種不同的轉換給出 層週期的證明。使用MinMax方法得到每個結構的代表數列。發現 (1)可找到一個完全由費氏數列組成之Frieze Pattern，且此組代表數列為所有可能結構中的代表數列包含了最大的數字。 (2)n層的結構中第二列的n+1個數字和的不變量。 (3)在整個結構扣除上下兩列之後，任意連續n+1行，1出現的數目與2一樣多。

本研究主要是探討從平面上任一點中對相異n個點作 1:1 的跳動後的情形。我們發現當n為奇數時，經過多次跳動必可回到原初始點P。而偶數點則需在特定條件下才可回到原初始點。我們並將經n次跳動既可回到原初始點的P點稱為Nice點。我們發現奇數點的Nice點為唯一，而偶數點只要滿足兩兩相隔一邊的邊之向量總和為0時，則Nice點可為平面上任一點。 另外，我們將1:1的比例改為m:1的比例跳動後，發現不論n為奇數或偶數，皆可收斂至Nice點，並且Nice點的軌跡可形成圓錐曲線等圖形。最後，我們將跳動比例推廣至兩種以上，發現只要符合跳動比例乘積為1，必存在某種跳動順序使得從任一點出發對n個點作跳動必定可回到原初始點的優美性質。

本研究旨在對費馬多邊形數定理(任意非負整數皆可表成n個n邊形數的和)進行更進一步的延伸探討，更精確地說，即是：對於給定的二次式an2+bn+c，定義一數列〈an 〉n=-1∞=〈a-1=0,an=an2+bn+c, ∀n≥0〉，而若存在一最小正整數γ，使得對於所有非負整數x，可由數列〈a_n 〉_(n=-1)^∞中取出共γ項，滿足x恰為這γ項之和。這時，我們稱正整數γ為二次式an^2+bn+c的指標值，定義函數Yi使得γ=Yi(an2+bn+c)。 在本研究中，首先先行探討函數Yi的一些基本性質，再藉由電腦以暴力法算出一些二次式指標值的下界，從這些指標值中找出規律，將其推廣至所有我們所討論的二次式，並證明之，至於再探討二次式指標值的上界的部分，我將數學家MelvynB.Nathanson證明費馬多邊形數定理的證明技巧，稍作改寫，使其能夠應用至更為一般的情況，藉此系統性的求得二次式指標值的可能上界。最後，經由不斷的優化上界與下界，即可求得二次式的指標值。