數學

此研究在探討「給定一圓及多個已知點，求作各邊或其延長線上恰含有前述已知點中之一點的圓內接多邊形」之作圖方法及圖形的性質。 研究當中，以反演的幾何變換結合代數方程式並透過遞迴關係，除了找到該問題之解的個數與條件外，並求得有唯一解之點的軌跡方程式，從中發現其軌跡圖形為一圓錐曲線，且隨著給定點在圓外個數的奇偶性，會有或為橢圓或為雙曲線之不同的圖形變化。同時也發現給定點本身使得滿足條件的圓內接多邊形存在之個數將決定該軌跡圖形與給定圓間之切點個數等的有趣性質。

將1, 2,…, n依序排成直線，任意取出K個數，取法數即為Ckn，但如果取出的K個數有限制，那問題就會有很多的變化。我們最先探討的是不含定距元素的直線與圓排列的組合問題，先從K中無任兩數相鄰，再將問題一般化成使得K中無任兩數之間隔為m。我們用分割的方法代替多數前人所採用的複雜的遞迴關係，求出取法數。 接著，我們推廣取法的限制，運用排列組合、排容原理、以及生成函數等做法，深入的探討各式各樣的組合數。

The purpose of this project are 1)To study the relationship between global warming and acid rain with chemical model and mathematics model from temperature changing and pH of carbonic acid. 2) To create a pH measurement tool of carbonic acid in gaseous state.3) To study the impact of human activities in Loei province that affect to the relationship between global warming and acid rain. The procedures are 1)Do an experiment for studying the relationship between temperature changing and pH of carbonic acid. 2) Proof the mathematics model by using the result of experiment, the chemical reaction equation of carbonic acid solution. 3)Create a pH measurement tool of Carbonic acid by using Arduino and sensor with new formula in the computer program. 4) Using a pH measurement tool of Carbonic acid for studying impact of human activities in Loei province including industrial area, agricultural area, tourism area and forest area. The result of the mathematical model of the relationship between temperature changing and pH of carbonic acid is in form of Cubic equation in Equilibrium state and STP state. (Standard condition for Temperature and Pressure) So, we found that in this state has pH of carbonic acid is about 5.644. When the temperature rises up the effect of rainfall has a lower pH of carbonic acid solution. We also proof the new formula that create a pH measurement tool of Carbonic acid in gaseous state. The impact of human activities in Loei province found that the areas most affected by acid rain are the industrial areas, agricultural areas, tourism areas and forest areas respectively. In conclusion, when the temperature rises, it will dissolve acid solutions in the water on the earth. The loss of [H+] made the pH increases and the greenhouse gases become more atmospheric. These gases are more likely to react with atmospheric vapor. When these vapor form a cloud and condensation falls as rain, the rainfall has a lower pH, that is, global warming can result in the phenomenon of acid rain is greater.

本研究考慮的主要問題： 若非常數之連續函數f滿足∀m∈N,∃P(x)∈C[x] s.t.f(mx)=P(f(x))，其形式應為何？ (一)、若考慮函數範圍為解析函數，則f(x)的形式必為下列三者之一： (1).axn+b (2). akx^n+b (3). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k∈C、n∈N (二)、若將考慮函數範圍改為：連續函數f:[0,∞)→C，則f(x)之形式必為下列三者之一： (1).axk'+b (2). akx^n+b (3). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k,k'∈C、n∈N、Re(k' )>0 (三)、若將考慮函數範圍改為：連續函數f:(0,∞)→C，則f(x)之形式必為下列四者之一： (1).alogx+b (2).axk'+b (3). akx^n+b (4). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k,k'∈C、n∈N 在本篇的最後，我們也將N的角色以其他正實數子集取代掉以推廣結果。

三角形的布洛卡點及布洛卡角是經常被探討的主題。本研究突破過往研究中布洛卡點僅存在於三角形中的侷限性並推廣至n邊形，發現並非所有n邊形都存在布洛卡點，並得到n邊形存在布洛卡點的充要條件，這個條件各n邊(角)互相獨立地等於布洛卡角的cot值，同時這條件亦等價於所有存在正、負布洛卡點的n邊形，其頂點皆為正n 邊形的頂點在反演變換下的反形。當n=4時，即為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為一種更具數學風味的旋轉與伸縮變換，基於這種變換，發現了許多布洛卡點與外心之間的幾何性質，從而推廣至多邊形。其中美妙的結果是：從任意布洛卡n邊形出發的n條全等的等角螺線皆收斂至布洛卡點。最後，由投影的角度看，發現布洛卡n邊形是正n 邊形的投影，由布洛卡n邊形的n個邊所延伸的多邊形，其頂點是共圓錐曲線的。

圓周上相異n個點，將圓周分割成n段弧，每次每個點沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之中點，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，m的最小值為n+2。更進一步發現，m的充要條件為m≧n+2且m≠kn-1, kn, kn+1，其中k為正奇數。接著，我們將問題一般化，圓周上相異n個點，沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之p:q處，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，若p, q∈N，(p,q)=1，當變換次數r足夠大時，此n個點的位置會收斂至圓周上n等分點，同時，此n個點會在變換T=n(p+q)/(n,p)次後再次收斂至相同的位置。在這篇研究中，我們推導出任意點Pi變換r次後的點之位置坐標Ai(r)的一般式，不失一般性，我們針對P0求出A0(r)的最小極端值Lr與最大極端值Ur，在變換次數r足夠大時，透過觀察Lr與Ur對應到圓周上的收斂位置所形成的區間是否涵蓋原點，可預期P0變換r次後可否回歸。此外，我們也針對n個點具特殊初始位置座標來研究其回歸性質。

本文從一個博奕遊戲談起，探討遊戲的期望值得到一無窮級數Σn=1∞n/Cn2n 並嘗試用相關的數學概念與方法思考，首先處理問題Σn=1∞n/Cn2n 與Σn=1∞n2/Cn2n 的值，過程中利用了Σn=1∞n/Cn2n 函數與Σn=1∞n2/Cn2n 函數的性質將欲求之無窮級數轉化成積分或微分方程式的型態，再利用奧斯特洛格拉德斯基積分方法解出所求。 為了更有效率的得到相關之無窮級數，引進了微積分工具中之冪級數的概念，輔以微分方程式公式解求出了 f(x)=Σn=1∞Xn/Cn2n =√x/(4-x)3 (√x(4-x) + 4sin-1(√x/2)), x∈(-4,4), 進而推廣、延伸與其相關的一系列無窮級數，並利用導函數f'(x)求得 Σn=1∞n·2n-1/Cn2n的值。 接下來討論與f'(x)相關的無窮級數，發現可利用f(x)的高階導函數透過迭代方式得到Σn=1∞nm/Cn2n的值，其中m為任意正整數，歸納這些級數後可以應用在本文之博奕遊戲，讓獎金的選擇更富有變化性。 最後觀察f(x)與卡塔蘭數列{Cn}的倒數所構成之冪級數有所關聯，解出 Σn=1∞Xn/Cn的收斂函數後求出了Σn=1∞1/Cn的值以及{1/Cn}的偶數項與奇數項的和。

本文主要探討三角形的一個幾何定性性質的推廣，原始問題為：『點P為三角形ABC內部一點，連接直線AP、BP與CP分別交BC、CA與AB三邊於 與P1、P2、P3三點，則PP1/AP1+PP2/BP2+PP3/CP3=1成立。』我們發現此結果在正多邊形中也有相對應的推論，只是定值不再是1，我們可以表示出數個線段比值相加後之定值的一般化公式；更甚者，我們發現原問題中的點P不一定要在三角形與正多邊形的內部，而可以將之移至三角形與正多邊形的外部，並將原結論推廣成『有向線段比值和為定值』的一般化結果。此外，我們亦將原問題推廣到空間中的『任意四面體』與『正多面體』中，並發現驗證得相對應的有向線段比值和為定值。

科展源自於一個數學專欄上的問題，是關於兔子藏於圖形的某一個頂點，則在兔子位置可能變動和有所限制的射擊規則下，求出每一次最少要同時對幾個頂點開槍，才能「保證」可以獵到兔子。原始題目設定的圖形為正六面體，而我們將其擴展為不同的圖形，利用S(G)≥δ(G)+1得出路徑（Pn）、圈（Cn）的最小射擊點數，利用帶寬及|N(S)|相等的排序條件得出矩形（Pm×Pn）、長方體（Pm×Pn×Pk）、n維立方體（Qn）的最小射擊點數、利用觀察配合可行射擊策略，推測出完滿k元樹（k–treeh）的遞迴關係式並得出上界，建構可行方法，並期望算出最小射擊次數。目前研究結果為上述圖形之最小所需射擊點數及可行射擊策略。

平面上n條直線的分割區塊數R的最大值顯然為(n2+n+2)/2，最小值顯然為n+1，在Oleg A. Ivanov教授的論文[3]裏探討了可能的分割區塊數R從某個定值開始到最大值(n2+n+2)/2之間呈連續整數分布。我們進一步研究R可能的值從n+1到(n2+n+2)/2之間在哪些區間產生不連續，我們稱這個不連續的區間為「跳躍」(jump)。以下是我們得到的結果： 當n≧8，平面上n條直線可能的分割區塊數R產生的「跳躍」區間為[(n2+n+2)/2+Ci2+1, (n2+n+2)/2-Ci-12-Cn-i+12-1] ，其中i=[(2n+3-√8n-15)/2], [(2n+3-√8n-15)/2]+1, ..., n 。