數學

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

此研究在探討「給定一圓及多個已知點，求作各邊或其延長線上恰含有前述已知點中之一點的圓內接多邊形」之作圖方法及圖形的性質。 研究當中，以反演的幾何變換結合代數方程式並透過遞迴關係，除了找到該問題之解的個數與條件外，並求得有唯一解之點的軌跡方程式，從中發現其軌跡圖形為一圓錐曲線，且隨著給定點在圓外個數的奇偶性，會有或為橢圓或為雙曲線之不同的圖形變化。同時也發現給定點本身使得滿足條件的圓內接多邊形存在之個數將決定該軌跡圖形與給定圓間之切點個數等的有趣性質。

每個人都有需要幫助的時候，當你遇到一個需要幫助的人，你會如何反應呢？有些人總是樂於助人，有些人選擇獨善其身，有些人則是會先觀察對方是什麼樣的人再做決定。這些不同的決定會交織成出什麼樣的故事呢？ 我們假設社會上有三種人： 總是願意幫助別人的Cooperators、永遠不幫助別人的Defectors、依據人們過往的行為來決定是否幫助對方的Discriminators；由於cooperator和defector的行為是固定的，顯然discriminator的助人行為會有決定性的影響，因此我們從學者Berger的論文出發，修改discriminator決定是否幫助他人的判斷準則，架構了兩種間接互助模型並與Berger(2011)的工作做比較，觀察這些改變的影響，計算三種人的比例與彼此幫助率的關係。 Discriminator遇到不同的人會有不同的決定，隨著時間的推進，Berger在論文中已證明了他們的行為會趨於一致，並提出一種演化機制，探討三種族群之間的流動。那麼在我們提出的兩種模型中，discriminator的行為是不是也會趨於一致呢？因此我們證明了discriminator助人行為的收斂，也提出了一個新的演化機制，試圖用不同的觀點詮釋三種族群間的流動。 在我們的互助模型中，當使用Berger(2011)的演化機制時，演化行為只受discriminator佔全體比例的大小影響；然而若使用我們提出的演化機制，不論discriminator的比例為何，演化行為只會由 cooperator與defector 的比值決定。如此，我們便能刻劃出：可以使模型中所有的人至終演化成為 cooperators，理想中大同世界的範圍。

本文從一個博奕遊戲談起，探討遊戲的期望值得到一無窮級數Σn=1∞n/Cn2n 並嘗試用相關的數學概念與方法思考，首先處理問題Σn=1∞n/Cn2n 與Σn=1∞n2/Cn2n 的值，過程中利用了Σn=1∞n/Cn2n 函數與Σn=1∞n2/Cn2n 函數的性質將欲求之無窮級數轉化成積分或微分方程式的型態，再利用奧斯特洛格拉德斯基積分方法解出所求。 為了更有效率的得到相關之無窮級數，引進了微積分工具中之冪級數的概念，輔以微分方程式公式解求出了 f(x)=Σn=1∞Xn/Cn2n =√x/(4-x)3 (√x(4-x) + 4sin-1(√x/2)), x∈(-4,4), 進而推廣、延伸與其相關的一系列無窮級數，並利用導函數f'(x)求得 Σn=1∞n·2n-1/Cn2n的值。 接下來討論與f'(x)相關的無窮級數，發現可利用f(x)的高階導函數透過迭代方式得到Σn=1∞nm/Cn2n的值，其中m為任意正整數，歸納這些級數後可以應用在本文之博奕遊戲，讓獎金的選擇更富有變化性。 最後觀察f(x)與卡塔蘭數列{Cn}的倒數所構成之冪級數有所關聯，解出 Σn=1∞Xn/Cn的收斂函數後求出了Σn=1∞1/Cn的值以及{1/Cn}的偶數項與奇數項的和。

假設G為簡單圖，令V(G)、E(G)分別為G的頂點與邊所形成的集合，|V(G)|與|E(G)|分別代表G的頂點集合與邊集合的元素個數。若u, v∈V(G)且u, v有邊相連，則將此邊記為uv∈E(G)。對於給定的填單圖G，若存在函數f: V(G)∪E(G)→{1, 2, 3,…, m}，其中m=|V(G)|+|E(G)|且函數f滿足下列兩個條件： (1)f為1-1且映成函數： (2)對於每個邊uv∈E(G)，f(u)+f(v)+f(uv)恆為定值T， 則稱函數f為圖G的一個『魔函數』，G為一個具有『魔和』為T的『魔圖』。 在此次研究中，我們證明了下列的結果： 1.任意圈Cn為具有魔和[(5n+4)/2]或[(7n+3)/2]的魔圖； 2.長度為奇數n的圈Cn，其中n≠5，為具有魔和(5n+5)/2的魔圖； 3.長度為n=4t+2(t≧1)的偶圈Cn，為具有魔和(5n+6)/2的魔圖； 4.長度為奇數n的圈Cn外加兩個相鄰的懸掛邊所成為的圖為一個魔圖； 5.三個具有共同端點的n-路徑所形成的圖為一個魔圖。

本研究考慮的主要問題： 若非常數之連續函數f滿足∀m∈N,∃P(x)∈C[x] s.t.f(mx)=P(f(x))，其形式應為何？ (一)、若考慮函數範圍為解析函數，則f(x)的形式必為下列三者之一： (1).axn+b (2). akx^n+b (3). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k∈C、n∈N (二)、若將考慮函數範圍改為：連續函數f:[0,∞)→C，則f(x)之形式必為下列三者之一： (1).axk'+b (2). akx^n+b (3). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k,k'∈C、n∈N、Re(k' )>0 (三)、若將考慮函數範圍改為：連續函數f:(0,∞)→C，則f(x)之形式必為下列四者之一： (1).alogx+b (2).axk'+b (3). akx^n+b (4). acos⁡(kxn)+b ，其中a,b,k,k'∈C、n∈N 在本篇的最後，我們也將N的角色以其他正實數子集取代掉以推廣結果。

圓周上相異n個點，將圓周分割成n段弧，每次每個點沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之中點，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，m的最小值為n+2。更進一步發現，m的充要條件為m≧n+2且m≠kn-1, kn, kn+1，其中k為正奇數。接著，我們將問題一般化，圓周上相異n個點，沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之p:q處，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，若p, q∈N，(p,q)=1，當變換次數r足夠大時，此n個點的位置會收斂至圓周上n等分點，同時，此n個點會在變換T=n(p+q)/(n,p)次後再次收斂至相同的位置。在這篇研究中，我們推導出任意點Pi變換r次後的點之位置坐標Ai(r)的一般式，不失一般性，我們針對P0求出A0(r)的最小極端值Lr與最大極端值Ur，在變換次數r足夠大時，透過觀察Lr與Ur對應到圓周上的收斂位置所形成的區間是否涵蓋原點，可預期P0變換r次後可否回歸。此外，我們也針對n個點具特殊初始位置座標來研究其回歸性質。

本研究旨在探討由法里數列生成的福特圓、以及與其有相似性，但是三維(或更高)的福特球的相關性質，我們分成三個部分來探討。一、首先我們驗證福特圓的衍生方式是否與法里數列相符合，並發想出另一種福特圓的衍生方法；二、以類似福特圓的方式，定義三維中的福特球、推導出以三顆球衍生第四顆球的公式、且限制其衍生的範圍，爾後由同一方向(以最新三顆球作衍生)、固定某一個球(固定某顆球，以最新兩顆球和固定球衍生)等方式衍生，並且利用空間中的索迪公式，對其半徑倒數與配合半徑倒數化繁後的x、y分子的遞迴關係式作探討；三、在高維度中，同樣定義出福特球(並非球體，只是敘述上方便的統稱)，利用索迪公式對同一方向衍生的半徑倒數數列的遞迴關係式來探討。

科展源自於一個數學專欄上的問題，是關於兔子藏於圖形的某一個頂點，則在兔子位置可能變動和有所限制的射擊規則下，求出每一次最少要同時對幾個頂點開槍，才能「保證」可以獵到兔子。原始題目設定的圖形為正六面體，而我們將其擴展為不同的圖形，利用S(G)≥δ(G)+1得出路徑（Pn）、圈（Cn）的最小射擊點數，利用帶寬及|N(S)|相等的排序條件得出矩形（Pm×Pn）、長方體（Pm×Pn×Pk）、n維立方體（Qn）的最小射擊點數、利用觀察配合可行射擊策略，推測出完滿k元樹（k–treeh）的遞迴關係式並得出上界，建構可行方法，並期望算出最小射擊次數。目前研究結果為上述圖形之最小所需射擊點數及可行射擊策略。

本研究在探討過原點且通過特定格子區域中格子點的直線數，利用縱向或橫向方式來計算。不論哪一種方式皆從正方形區域探討，得到其格子直線數與歐拉函數有關，特別是在橫向方式中增加上高斯符號與高斯符號協助計算，得到正方形、長方形、三角形及圓形區域的直線數及其上下界，及探討上下界的特定區域。此外，將原點移動到任意點，探討過任意點且通過特定格子區域中格子點的直線數，得到一些有趣的性質。 接下來，從正方形區域推廣至高維度的超立方體區域中的直線數，並推導出三個歐拉函數的推廣式，其中一種是約當囿互質函數，使用這些函數不僅能簡化計算，更能拓寬歐拉函數的視野。另外二種皆是利用幾何結構推導出來，其中一種是用第二類史特林數來表示。 最後我們使用此歐拉函數的推廣三式推導出高維度的超立方體、超長方體、單體 (即高維度中廣義三角形區域)及角錐柱中的格子直線數及其上下界，特別是利用橫向方式獲得公式的更為精簡。