數學

現在手中有許多礦石及k個袋子，我們認定「一套」礦石是將n個礦石分成k份的k堆礦石。每次取一套礦石，僅改變每堆礦石對應的袋子而不改變每堆的數量，將礦石放入對應的袋子中，這個操作稱為「放一套」。本研究先探討需放入的最少套數使得每個袋子中的礦石數一樣多，後段則討論可使礦石均分在袋子中的所有套數所形成之集合，亦結合部分圖論性質以完整證明。如果改變n,k及一套中的礦石分配方式，對於所需放入的套數有何影響？我從k=2、k=3慢慢試驗，搭配程式的輔助，進而快速找出需放最少套數的方法，及可達成均分套數與礦石分配的關聯。

在先前的研究中，特定的格點多邊形如正方形與直角三角形曾經被探討過。任意格點多邊形性質被歸類於資訊研究，目的為用程式估計當範圍很廣或邊數很多時格點多邊形性質的數值解。 先前研究中，作者已針對格點多邊形的性質進行初步的探討，本研究進一步補足先前研究的缺陷：用數學化的方式探討格點多邊形的邊數最大值。研究當中探討的多邊形包含凹多邊形及凸多邊形，研究者改良先前研究中的「迂迴作圖法」，提出新的「對稱作圖法」，以「定義基本構形、先作短邊、再作中間」的順序，確保必定可在特定範圍內建構出符合最大邊數解的格點多邊形；並以數學歸納法證明當矩形範圍短邊為12單位以上時，必存在格點數與邊數相等的格點多邊形，達成重要的突破。 本研究推導出格點多邊形的邊數最大值如下式。運用本研究的結果，將有助於在有限區域或空間中依照特定規律設計最大路徑，例如遊樂場迷宮、駕訓班車道、或積體電路設計。 S(n,m)={█(4 {if n=1∨m=1}@3n+1 {if n=2∨m=2}@24 {if m=n=4}@(n+1)(m+1) {otherwise})┤

本研究針對以往跳躍數列進行1人的討論延伸至多人的跳躍數列；多人跳躍數列規則為「同一個時間點手上最多只會有一顆球回到一位小丑手中」、「需連續、規律的接及丟出球，並且無限持續下去」、「丟球前可以有準備的時間」以上三項規則，因此此研究和以往多數文獻的題目假設有所不同，也比較貼近現實可能的情況。 多人跳躍數列的討論較為複雜，因此採用有向圖的概念進行討論，該圖的點元素代表當下每一顆球在幾秒中回到手中的狀態、邊元素則為每個狀態轉移時的丟球方式；接著將有向圖轉換為鄰接矩陣，並將點元素用類似2進位的形式進行分類以便整理成規則一致的分塊矩陣，接著由Cayley–Hamilton定理及多人跳躍數列的性質得到將鄰接矩陣的n次方求跡即為多人跳躍數列方法數。最後為了將不同狀況的方法數有一個好的整理，我們採用生成函數表示方法數並得到一定的成果。

觀察2020東京奧運會徽，發現圖形是由矩形組成，且矩形可經由三種元件（30°與150°的菱形、60°與120°的菱形、正方形）的各邊中點連線而成，本研究旨在利用這三種元件，探討平面鑲嵌。首先，找出利用元件拼貼一圈的組合個數，進一步向外擴增成正十二邊形，計算面積、對角線的長度，觀察旋轉之幾何變換，藉此得出拼貼成線對稱圖形時對稱軸上元件的擺放情形。接著，探討奧徽鑲嵌背景圖中不同大小正十二邊形的面積關係，並將線段變成曲線，推廣至拼貼成正n邊形的四邊形元件探討，得出如果n為偶數，則圖中的四邊形皆為菱形，且菱形的圈數為n/2-1，種類個數為⌈n/4-1/2⌉。最後，觀察類似奧徽之非平面鑲嵌頂點相接圖，改成用正方形貼接圖形，計算出邊長有1:√2的關係。

在一期校內的階城盃中，我發現一個有趣的問題，在一個正多邊形，甲走一圈花 分鐘，乙走一圈花 分鐘，請問第一次甲乙在何時、何點相遇？當我寫下這題目特定解時，突然發現還有許多有趣且可延伸的可能，因此開始研究；本篇研究透過求出甲乙相遇的每一個地點連接形成一個圓形，再藉由此圓形與題目中的正多邊形的點所畫的圓形的頂點相對位置，找出甲乙何時何地第一次相遇在正多邊形的頂點上，並導出通解並期望在未來可以找到不限定人數等等的延伸。

本研究主要探討一群帶原者在城市間的隨機移動。假設城市總共是有限多個、每次移動只跟當前城市有關，與總移動次數、移動到當前城市的過程無關。本研究假設每次移動時間為一天。在上述條件下，我去思索帶原者是否必定會到達特定的都市。此時加入了任意城市均與此特定都市連通的條件。 關於數學推導的部分，先證明當移動次數趨近無限大時，帶原者到達首都的機率趨近於1。再來由轉移矩陣具穩定狀態的性質，證明期望值與變異數的收斂。最後，利用矩陣的極限與隨機變數兩種方式，解得期望值與變異數的關係式，將極限問題轉換成解線性方程式。 在模型實作方面，我收集了CDC五月的資料，並經過平均、換成感染相對比率後形成機率矩陣。運用拉格朗日參數法求最小值條件後，藉由大量的隨機撒點以牛頓法迭代求得最適轉移矩陣，以評估疫情變化。並利用自助抽樣法求得6月感染相對比率的95%信賴區間，繪圖進行比較。

本研究探討隨機生成數列的長度期望值。一個籤筒中有n支籤，編號分別為1,2,3,…,n，每抽出一支籤，就將抽取的編號寫在紙上，形成一個數列。數列只能向左右兩端添加項，不能從中插入。抽出的籤若大於目前數列的最大項，則將抽出的數寫在目前數列右邊；抽出的籤若小於目前數列的最小項，則將抽出的數寫在目前數列左邊；抽出的籤若介於目前數列的最小與最大項之間，則操作結束。基於此想法，研究者將數列依照添加項的方向分為「單向數列」與「雙向數列」兩類。顧名思義，單向數列只能向一端延伸（本研究不失一般性討論往右延伸），雙向數列代表可以向左右兩端延伸。此外，研究者又將數列分為「嚴格遞增減」和「非嚴格遞增減」兩類。在生成原理上，嚴格遞增減等價於「抽後不放回」；非嚴格遞增減等價於「抽後放回」。在這樣的規則下，本研究探討了n支籤抽完放回與不放回時，單雙向隨機生成數列的長度期望值之通解，並成功證明了一些恆等式及性質。

本文研究了一個信息完全公開的組合遊戲，探討當一群人被完全隨機的分配到模型裡時，其初始位置與特定位置所形成的包圍關係，並探討最佳的人力分配。本研究通過座標解析與不等關係的代數運算等方法，成功找出獲勝條件對於遊戲雙方的限制，並進一步解決問題。在研究的過程中，也將結論擴展到不同模型，探討不同模型對於遊戲造成的影響，並比較其結論有何區別。

本研究從2022年APMO第五題的代數題目出發，題目為a1,a2,a3,a4∈ℝ，(4∑k=1)ak2=1，試求出(a4-a1)(3∏k=1)(ak-ak+1)的最小值。我們希望將原問題的四個未知數，希望推廣到n個未知數的通解。我們首先用算幾不等式及其他幾何性質算出了n=2~4的解，其中包括了偏微分求切平面的方法。在研究n的未知數的通解時，我們利用實數的完備性說明最小值一定存在，接著我們利用舉例以及反證法，發現到n個未知數時其最小值會小於0，以及最小值成立時各項相加會等於0，我們運用這些特別的性質，並且使用了各種不等式得出n=2(mod4)的通解。最後我們用拉格朗日乘數可以求出n=k(mod2k)的局部最小值，還有部分相加與相減的關聯性，未來希望能求出絕對的最小值和最大值。

本研究要探討在兩同心圓，大圓的內接大正五邊形和中心在小圓上移動的小正五邊形在固定邊長、圓半徑的情況下，不論小正五邊形在圓上如何移動，其對應頂點的距離平方和、四次方和為定值以及頂點至對應邊的距離的總和、平方和為定值並試著推廣至正n 邊形並找出它們的定值為何 。