數學

本研究旨在研究費馬多邊形數定理(任意非負整數必可表成k個k邊形數的和)的一般化情況，也就是說，任意非負整數是否能表成給定的二次多項式數列中所選取的γ項和。以數學模型敘述，就是探討對一個已知的二次多項式an2+bn+c，是否可找到一正整數γ，滿足∀x∈N∪{0},∃α1,α2,…αγ,使得x=∑γi=1(aαi2+bαi+c)。 本作品主要探討若此探究模型存在，那麼數列〈an 〉的一般式an2+bn+c與γ值之間會存在什麼關係，並期望能運用一個簡潔明瞭又一般化的數學式表示。本文亦提供另一個數學模型，探討γ值與某些特殊係數a,b,c之間的關聯性。而本文探尋[a/2]n2+[b/2]n+1,a∈N,b∈Z,a+b≡0(mod 2)(此為本文主要探討的二次式)，求得此二次式所對應之γ值的方法為先令p=[2a/(a+b)]+2，再藉由所建立的模型二，求出[(p-2)/2] n2+[(4-p)/2] n的γ值，接著再用所建立的模型一來求得[a/2]n2+[b/2]n+1的γ值，進而依循此方法最後得出任意形如[a/2]n2+[b/2]n+1的二次式之γ值。

本研究主要透過不同的向度與規則，延續之前的研究。我們證明了頂點組態僅含有單一種秩數的 勻稱分割共有5種；頂點組態中含有兩種不同秩數的 勻稱分割，其 的最大值為5，共有13種；頂點組態中含有三種不同秩數的 勻稱分割，其 的最大值為4，共有3種；而頂點組態中含有 種不同的秩數的 勻稱分割在 時無解；最後，我們透過GSP軟體將所有解的圖形繪製出。

Parameters of traffic, road availability, and fare were integrated into a web-based application for determining the best public transport routes within Metro Manila in order to assist commuters in their travel planning, whether for business or for pleasure. A user-friendly interface was developed to obtain a user’s place of origin and destination, as well as preferences in travel time, mode of transportation, and cost of journey. By accessing the traffic roadway network of the metropolis, a real-time situation of road availability was obtained, and used in a modified Dijkstra’s shortest-path algorithm to produce a model of a real-time adaptive transport network of Metro Manila. From the model, an optimal route that considers the user’s preferences can be determined. This project will be immensely useful in helping both businessmen and tourists in planning their routes that will save on time and money.

本研究主要解決的問題為：在任意多邊形上填入特定範圍的正整數，使得相鄰兩邊上的數差1，求符合以上條件的填數字方法數。 為了解決問題，本研究做了兩項突破。第一項是題目的轉變，將問題轉變成路徑問題。第二項則是將路徑數計算的方式（加法原理）之逆運算，求出從原點前往含直線y=－x及其右半平面上的任意格子點之捷徑數，並搭配巴斯卡三角形中的組合數列，成功地推導、證明此問題方法數的公式。 接著本研究將原題延伸，推廣至討論任相鄰兩邊上的數之差為固定某一正整數的情形，也成功地推導、證明其方法數公式。最後，本研究討論原題目的生成函數並成功導出。

任意三角形我們可以從其中一個頂點作分割線將其分割為兩個三角形，若分割三角形的兩個（子）內切圓面積和與原三角形的內切圓面積相等，我們稱此分割法為分切解。以直角三角形為例，很明顯的，對斜邊作高的分割方式為一分切解，更進一步的研究，我們發現將其子三角形的內切圓位置互換，其所得依然為一合法的解(稱為交換解)。有了這樣的經驗，我們試圖將問題推廣至更一般性的情況，對於任意三角形，我們證明了以一頂點分割至多存在二分切解，進而，在這樣不失一般性的假設之下，我們推導出簡潔的判別式以判斷針對一頂點是否存在分切解；更甚，我們證實了交換解對任一三角形依然成立。最後我們也發展出針對直角三角形之分切解的尺規作圖法。

在本篇研究報告中，主要討論一個關於多方塊的問題：給定一個多方塊，試找出n的最小值使得在無限大的棋盤上，可以塗上n種顏色並且使多方塊沿格線無論如何放置，都不會蓋到重複的顏色。一開始先以V形三方塊的情況開始討論，之後將單方塊至五方塊的所有情況都有系統地討論完畢。 為了給出顏色數的估計，考慮同時適用於所有k方塊的情況。也就是說，要找到一個塗上n種顏色的無限棋盤使得無論任一個被選定的多方塊怎麼被放置在棋盤上，都不會覆蓋到相同顏色的格子。本篇研究成功地給出了此問題的精確解。 除了上面一種估計之外，本篇研究也考慮了矩形多方塊的顏色數，並試圖以之給出所有多方塊所需的顏色數之上下界。最後我得到k方塊所需的顏色數至多為8(k+1)2/25.

本研究以蒙日定理「平面上三圓彼此的外公切線交點共線」及其對偶定理「平面上三圓彼此的內公切線交點與另一圓的圓心的連線共點」出發，探討三圓更多由內、外公切線所產生的共點共線性質，進而探討四圓以上的情形，以及正多邊形、圓錐曲線等位似圖形，並推廣至空間中的球體。正如本研究作品名稱，我們將鮮少人研究的蒙日定理萌發出新枝，在日夜中茁壯，甚至最後有驚人的發現「在空間中n個外離的球，任意1個球的球心與另n-1個球的蒙日點連線會共交一點，此點稱之為n球的蒙日點」，此「點」發現，讓人不禁對宇宙中星體之間的關係產生更多無限的想像。

對於集合 S={k,k+1,…,k+3n-1}，考慮其所有三元子集的劃分，我們研究在其中所有子集皆含有的一致性：鈍角三角形。文中給出了對於初始值 k 尋找 n 的方法，並證明其存在性。對於所有 k 我們都能給出 n 的範圍。在文末我們期望能夠從解析方面來對這問題進行更深的剖析，所以對於部分鈍角三角的的劃分方式給出了其必要條件的限制，並且同時作出關於全體鈍角三角形的等價類分組方式。

會議室圓桌上有n個座位，順時針依序放有編號①、②、③、 、n，共n張名牌。將參與這場會議的人也編碼，依序為1、2、3、 、 ，假設編號1的人一定會先抵達並坐到了名牌②的位置，剩下的人則依亂序到來，先找到自己名牌的座位，如果位置是空的就坐下，如果位置被佔了就往順時針方向找到下一個空位坐下（例如3到達時，若③、④均被坐了，而⑤位置是空的，則3就坐到名牌⑤的位置)。等到一個人坐定後，另一個人再進入會議室，依此規則，最後此n人到底會有幾種不同的坐法？ 我們以遞迴手法以外的方法解決了這個的問題，並深入探討： 1.能否從入座的順序立刻得知最後坐定的位置？ 2. 能否從最後坐定的位置，找出進入會議室的順序？同時得知有幾種不同進入會議室的順序會符合同一種坐法？ 3. 每個人坐錯位置的機率為何？恰k人坐錯位置的機率為何？坐錯位置人數的期望值為何？

本作品主要在探討圖的IC-coloring ，一個由郵票問題變化出來的圖著色問題。給定一個連通圖G，想要在所有的頂點上標一個自然數，使其所有頂點所標的和為K，而且對於所有介於1和K之間的自然數k，恆存在一個G的連通子圖，其連通子圖上所有點的標號總和為k。能達到這種性質的標號，稱為圖G的一個IC-coloring，以M(G)表示所有IC-coloring中K的最大值。 有關於圖的IC-coloring過去已經有不少研究，大部分的研究是找尋M(G)值的下界。在本次研究中，我們以改進圖G為四連方陣圖(P2╳Pn)對於一般的自然數n的M(G)下界值。