本研究以蒙日定理「平面上三圓彼此的外公切線交點共線」及其對偶定理「平面上三圓彼此的內公切線交點與另一圓的圓心的連線共點」出發，探討三圓更多由內、外公切線所產生的共點共線性質，進而探討四圓以上的情形，以及正多邊形、圓錐曲線等位似圖形，並推廣至空間中的球體。正如本研究作品名稱，我們將鮮少人研究的蒙日定理萌發出新枝，在日夜中茁壯，甚至最後有驚人的發現「在空間中n個外離的球，任意1個球的球心與另n-1個球的蒙日點連線會共交一點，此點稱之為n球的蒙日點」，此「點」發現，讓人不禁對宇宙中星體之間的關係產生更多無限的想像。

在本篇研究報告中，主要討論一個關於多方塊的問題：給定一個多方塊，試找出n的最小值使得在無限大的棋盤上，可以塗上n種顏色並且使多方塊沿格線無論如何放置，都不會蓋到重複的顏色。一開始先以V形三方塊的情況開始討論，之後將單方塊至五方塊的所有情況都有系統地討論完畢。 為了給出顏色數的估計，考慮同時適用於所有k方塊的情況。也就是說，要找到一個塗上n種顏色的無限棋盤使得無論任一個被選定的多方塊怎麼被放置在棋盤上，都不會覆蓋到相同顏色的格子。本篇研究成功地給出了此問題的精確解。 除了上面一種估計之外，本篇研究也考慮了矩形多方塊的顏色數，並試圖以之給出所有多方塊所需的顏色數之上下界。最後我得到k方塊所需的顏色數至多為8(k+1)2/25.

對於集合 S={k,k+1,…,k+3n-1}，考慮其所有三元子集的劃分，我們研究在其中所有子集皆含有的一致性：鈍角三角形。文中給出了對於初始值 k 尋找 n 的方法，並證明其存在性。對於所有 k 我們都能給出 n 的範圍。在文末我們期望能夠從解析方面來對這問題進行更深的剖析，所以對於部分鈍角三角的的劃分方式給出了其必要條件的限制，並且同時作出關於全體鈍角三角形的等價類分組方式。

本作品主要在探討圖的IC-coloring ，一個由郵票問題變化出來的圖著色問題。給定一個連通圖G，想要在所有的頂點上標一個自然數，使其所有頂點所標的和為K，而且對於所有介於1和K之間的自然數k，恆存在一個G的連通子圖，其連通子圖上所有點的標號總和為k。能達到這種性質的標號，稱為圖G的一個IC-coloring，以M(G)表示所有IC-coloring中K的最大值。 有關於圖的IC-coloring過去已經有不少研究，大部分的研究是找尋M(G)值的下界。在本次研究中，我們以改進圖G為四連方陣圖(P2╳Pn)對於一般的自然數n的M(G)下界值。

會議室圓桌上有n個座位，順時針依序放有編號①、②、③、 、n，共n張名牌。將參與這場會議的人也編碼，依序為1、2、3、 、 ，假設編號1的人一定會先抵達並坐到了名牌②的位置，剩下的人則依亂序到來，先找到自己名牌的座位，如果位置是空的就坐下，如果位置被佔了就往順時針方向找到下一個空位坐下（例如3到達時，若③、④均被坐了，而⑤位置是空的，則3就坐到名牌⑤的位置)。等到一個人坐定後，另一個人再進入會議室，依此規則，最後此n人到底會有幾種不同的坐法？ 我們以遞迴手法以外的方法解決了這個的問題，並深入探討： 1.能否從入座的順序立刻得知最後坐定的位置？ 2. 能否從最後坐定的位置，找出進入會議室的順序？同時得知有幾種不同進入會議室的順序會符合同一種坐法？ 3. 每個人坐錯位置的機率為何？恰k人坐錯位置的機率為何？坐錯位置人數的期望值為何？

The purpose of this project are 1)To study the relationship between global warming and acid rain with chemical model and mathematics model from temperature changing and pH of carbonic acid. 2) To create a pH measurement tool of carbonic acid in gaseous state.3) To study the impact of human activities in Loei province that affect to the relationship between global warming and acid rain. The procedures are 1)Do an experiment for studying the relationship between temperature changing and pH of carbonic acid. 2) Proof the mathematics model by using the result of experiment, the chemical reaction equation of carbonic acid solution. 3)Create a pH measurement tool of Carbonic acid by using Arduino and sensor with new formula in the computer program. 4) Using a pH measurement tool of Carbonic acid for studying impact of human activities in Loei province including industrial area, agricultural area, tourism area and forest area. The result of the mathematical model of the relationship between temperature changing and pH of carbonic acid is in form of Cubic equation in Equilibrium state and STP state. (Standard condition for Temperature and Pressure) So, we found that in this state has pH of carbonic acid is about 5.644. When the temperature rises up the effect of rainfall has a lower pH of carbonic acid solution. We also proof the new formula that create a pH measurement tool of Carbonic acid in gaseous state. The impact of human activities in Loei province found that the areas most affected by acid rain are the industrial areas, agricultural areas, tourism areas and forest areas respectively. In conclusion, when the temperature rises, it will dissolve acid solutions in the water on the earth. The loss of [H+] made the pH increases and the greenhouse gases become more atmospheric. These gases are more likely to react with atmospheric vapor. When these vapor form a cloud and condensation falls as rain, the rainfall has a lower pH, that is, global warming can result in the phenomenon of acid rain is greater.

本研究源自三角形的重心及其外接圓所構作的線段比值的古老幾何性質，我們不但推廣原命題，還創造新命題：給定△ABC與其外接錐線Γ，令直線AG, BG, CG分別交Γ 於 A', B', C' 點，再取任意k值，探討P點集合的性質。 Γ3, k={P|AA'/PA' + BB'/PB' +CC'/PC'=k} (1)Γ3,k為二次曲線系，其橢圓、拋物線、雙曲線之形態不因k值而改變，而是被外接錐線Γ所決定。 (2)發現△ABC重心 G、Γ中心O、Γ3,k 中心O3,k 的共線性及比例常數。 (3)完整劃分 Γ3,k的非退化與退化型態，並發現只有Γ3,k 為橢圓時，k 值有跳躍現象。 (4) 發現錐線Γ上取相異六點而生成兩個錐線Γ3,k、Π3,k重合的充分條件。 最後，我們以「錐線 Γ 上取一點、兩點到多點」的線性組合手法，推廣多邊形與其外接錐線的生成錐線Γn,k之性質。

三角形的布洛卡點及布洛卡角是經常被探討的主題。本研究突破過往研究中布洛卡點僅存在於三角形中的侷限性並推廣至n邊形，發現並非所有n邊形都存在布洛卡點，並得到n邊形存在布洛卡點的充要條件，這個條件各n邊(角)互相獨立地等於布洛卡角的cot值，同時這條件亦等價於所有存在正、負布洛卡點的n邊形，其頂點皆為正n 邊形的頂點在反演變換下的反形。當n=4時，即為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為一種更具數學風味的旋轉與伸縮變換，基於這種變換，發現了許多布洛卡點與外心之間的幾何性質，從而推廣至多邊形。其中美妙的結果是：從任意布洛卡n邊形出發的n條全等的等角螺線皆收斂至布洛卡點。最後，由投影的角度看，發現布洛卡n邊形是正n 邊形的投影，由布洛卡n邊形的n個邊所延伸的多邊形，其頂點是共圓錐曲線的。

本研究以蒙日定理「平面上三圓彼此外公切線交點共線，以及彼此內公切線交點與另一圓的圓心的連線共點」出發，在數量、形狀及維度上進行一系列問題的推廣。正如本研究作品名稱「道同」互相為「蒙」，發現對於任意N維空間中的n個圖形，只要圖形互相「位似」，均有蒙日點、蒙日圓或蒙日形等蒙日定理性質。同時，透過蒙日點與各圖形位置及大小的關係，可發現更多共點共線及共圓的有趣性質，其中最令人驚豔的是「分堆的（廣義）蒙日點共線」性質：「k圓蒙日點、n-k圓蒙日點及n圓蒙日點共線」。此外，本研究提出的工具方法及觀點，可應用至許多方面，如「蒙日圓」與Desargues、Pascal和Brianchon等定理的關聯，亦可解釋光學中的薄透鏡成像公式，更將蒙日定理連結Menelaus、Ceva定理，進而能重新詮釋共點共線的幾何定理。

本研究作品主要在探討「平面上各種曲線內關於相鄰等角割線段的新的不變量」與「空間中特殊圓錐曲面的特殊等角割線段的新的不變量」。 若圓錐曲線、蚶線等曲線中有相鄰等角的 條割線段，則這n條割線段之m次方和為定值。在圓錐曲線中這些割線段的交點可以是焦點、曲線內任意點，在蚶線中則為基點。甚至經由反演，還能將此性質推廣至直線上。 研究最後擴及至空間，先考慮特殊橢圓、拋物、雙曲球面，其一焦點為F，將正N面體VN之重心G與F重合，使得VN以F為旋轉中心任意旋轉，此時由F對VN之各頂點做射線交圓錐曲面於 PN，則FPN之倒數m次方和為定值，其中u=1,...,n，N=4, 6, 8, 12, 20 。