本文主要在探討幾何中的兩個重要結果—三角形中的『孟氏定理』與『西瓦定理』推廣到平面上任意的『凸 邊形』與『凹 邊形』的相對應結果，甚至於我可以將『凸凹 邊形』換成『 條直線』，我發現亦可以得到類似的結果。在完成平面上的圖形推廣之後，我也試著思考其在立體空間中是否也有類似的推論，很幸運地也發現有類似平面多邊形的結果，目前已完成空間中任意『 個頂點多面體』的『孟氏共面定理』；此外，我也證明了空間中任意四面體的『西瓦共點定理』，同時以實例驗證空間中的『西瓦共點定理』在四角錐中的形式，進而找到『 個頂點多面體』的『西瓦共點定理』之形式，並已驗證其正確性。

題目緣由是數學奧林匹亞預選題的其中一題組合問題，題目探討在2^m×2^m的棋盤中(m∈N)先分割出對角線上的2^m一單位正方形，之後將剩下兩塊狀似等腰直角三角形的棋盤分割為若干個不重疊的矩形，求此棋盤被分割出的所有矩形周長和最小值。本文將原命題推廣至nn×n棋盤與m×n棋盤的情況，在2^m×2^m中達到周長最小值的矩形分割方式十分直觀，但證明過程中直接構造函數2x〖log〗_2 x以及利用琴生不等式等方法不甚直觀，於是我們在n×n部分的最後給出了另解，並說明原題為其特殊情況。 n×n的部分沿用原題之方法定義了十字分割，我們證明了利用完全十字分割可達到最小值，為4n(m+3)-2^(m+3) (其中2^m≤n

這份研究所探討的主題源自於1976年USAMO第一大題：將一4×7矩形方格表的每格塗色黑色或白色，欲使所有能構成矩形頂點的四個方格皆不全為同色。試證明其塗色必定失敗、或給出滿足的塗色方式。此研究從上述題目延伸，增加可填入的顏色數量、改變方格表的長寬，甚至將方格表改為三角格子表。研究過程主要運用鴿籠原理、組合數量之計算及柯西不等式來分析。我們已幾乎完整討論完矩形方格表中填入2色、3色，及三角格子表中填入2色的所有情況；並且對於矩形方格表，我們找到了一條判別式，可以判斷一般化的某情況下塗色是否必定失敗，但有部分必定塗色失敗的情況無法由此判別式判斷，需藉由其他方式討論。此外，我們也嘗試從滿足的塗色方式中找尋規律並建立構造的規則。

(PA)+(PC) =t為以A、C為焦點的橢圓，滿足(PA) +(PC)=(PB)+(PD) =t的P點軌跡可視為以A、C及B、D為焦點且長軸等長的橢圓在長軸變化過程中的交點軌跡，稱該曲線為EIC(AC,BD)。本研究主要討論四邊形ABCD為鳶形時，EIC(AC,BD)的代數方程式、曲線變化情形及其是否平滑。我們可將EIC曲線分為三類： 1.兩條非封閉曲線 2.一條非封閉曲線及一條封閉曲線 3.一條封閉曲線。由兩條曲線變為一條曲線的臨界條件為(BA) ̅=(BC) +(BD)，此時圖形為一條非封閉曲線及一點（B點），此時EIC(AC,BD)曲線族的包絡線為以B、D為焦點、長軸長為(AC) ̅的橢圓。另外，從代數方程式得知除了原點為奇異點，EIC曲線為平滑曲線。從圖形可發現EIC曲線與雙曲線、橢圓曲線(Elliptic Curve)、蚌線(Conchoid of de Sluze)極為相似，而其實質關聯性則有待未來研究。

在這分作品中我們在球面上尺規作圖。目的是要完整描述球面上可作的角度。我們從平面尺規作圖的知識出發，卻遇到了困難，像是有很多平面尺規作圖的方式不能被如法炮製地運用到球面上。為了達成目標，我們著手探討在球面上和平面上作圖方式的關係，方法如下：先定義兩個重要名詞S ：球面上能作角度（弧長）的集合和P：平面上能作角度（弧長）的集合。透過向量方程式的證明我們得到S⊆P。利用我們從球面三角學公式衍生出的作圖方法，並藉由「體」證明出P⊆S。在P=S 的基礎上，我們引用伽羅瓦理論的已知結果，終於得到結論，也就是「球面上一個角度可作若且唯若其餘弦值為1經過有限次的加減乘除與開平方根運算」。最後我們也給出了球面上正4邊形、正5邊形和正17邊形的作法。

本研究旨在探討轎車四輪關係。藉由車體結構的限制:左右互相平行，其距離為輪寬w，後輪沿車身延長輪距d，會碰到當時刻的前輪位置，以此做為發想，發展出前推後、後推前、左推右及右推左四種推論方式，最後得到結論。 研究最後將結論應用於許多方面，如應用於刑事鑑定方面，此外亦將程式寫於MATLAB以利修改跑跑卡丁車只留下了後輪軌跡之程式不足。

This project aims to create the polar equations from the relation of the points on the centre line of the water twisted from Butterfly sprinkler heads. The water path includes inner rim, outer rim and centre line laying in the middle of the water path is used Rhombus’s property. The diagonals are perpendicular bisectors of each other to create the centre line. Then we create the polar equation of the centre line of water that twists from 4 types of the Butterfly sprinkler heads: edge frame, curve frame, STL and STL rotary. The polar equation of outer rim and inner rim is created by adding and removing the “ f ” value ( ; is the distance between the outer rim and the centre line, and is the geometric sequence that is ) of the coefficient (a) of the polar equation respectively. The results show that the formal equation of the centre line is which can explain the different properties of Butterfly sprinkler heads. If “ f ” value is increasing the water path and the blade will be wider that affects droplets distributing thoroughtly. Furthermore the relationship between the volume of water and the radius of water distribution can be processed to find the least time that can increase the appropriate moisture level of soil.

本研究旨在研究費馬多邊形數定理(任意非負整數必可表成k個k邊形數的和)的一般化情況，也就是說，任意非負整數是否能表成給定的二次多項式數列中所選取的γ項和。以數學模型敘述，就是探討對一個已知的二次多項式an2+bn+c，是否可找到一正整數γ，滿足∀x∈N∪{0},∃α1,α2,…αγ,使得x=∑γi=1(aαi2+bαi+c)。 本作品主要探討若此探究模型存在，那麼數列〈an 〉的一般式an2+bn+c與γ值之間會存在什麼關係，並期望能運用一個簡潔明瞭又一般化的數學式表示。本文亦提供另一個數學模型，探討γ值與某些特殊係數a,b,c之間的關聯性。而本文探尋[a/2]n2+[b/2]n+1,a∈N,b∈Z,a+b≡0(mod 2)(此為本文主要探討的二次式)，求得此二次式所對應之γ值的方法為先令p=[2a/(a+b)]+2，再藉由所建立的模型二，求出[(p-2)/2] n2+[(4-p)/2] n的γ值，接著再用所建立的模型一來求得[a/2]n2+[b/2]n+1的γ值，進而依循此方法最後得出任意形如[a/2]n2+[b/2]n+1的二次式之γ值。

本研究主要透過不同的向度與規則，延續之前的研究。我們證明了頂點組態僅含有單一種秩數的 勻稱分割共有5種；頂點組態中含有兩種不同秩數的 勻稱分割，其 的最大值為5，共有13種；頂點組態中含有三種不同秩數的 勻稱分割，其 的最大值為4，共有3種；而頂點組態中含有 種不同的秩數的 勻稱分割在 時無解；最後，我們透過GSP軟體將所有解的圖形繪製出。

本研究主要解決的問題為：在任意多邊形上填入特定範圍的正整數，使得相鄰兩邊上的數差1，求符合以上條件的填數字方法數。 為了解決問題，本研究做了兩項突破。第一項是題目的轉變，將問題轉變成路徑問題。第二項則是將路徑數計算的方式（加法原理）之逆運算，求出從原點前往含直線y=－x及其右半平面上的任意格子點之捷徑數，並搭配巴斯卡三角形中的組合數列，成功地推導、證明此問題方法數的公式。 接著本研究將原題延伸，推廣至討論任相鄰兩邊上的數之差為固定某一正整數的情形，也成功地推導、證明其方法數公式。最後，本研究討論原題目的生成函數並成功導出。