數學

本研究接續去年的研究主題”驚奇的數”，邊長為平方數的三邊形數亦為四邊形數的問題。解決這個問題後，利用Pell方程式與矩陣計算來求哪些邊長的p邊形數亦同時為四邊形數。處理方法分為兩類：第一類可以使用矩陣計算來討論，已討論出附帶方程式部分的初始解情形，並嘗試改進矩陣計算的漏解問題以及對數據做詳細分析、歸納。目前已有兩種方法：1.放寬附帶方程式初始解的限制，也就是縮小遞迴式的係數；2.伸縮雙曲線為一套固定的方法，可以解出原矩陣計算所遺漏的解。第二類無法使用矩陣計算，利用因式分解的技巧處理，發現結果與切比雪夫多項式有著密切關係。

In this project, we defined a mid-tangent point with respect to a fixed point X and a tangent at a point Y on a planar curve C as a point on the tangent that is equidistant from X and Y. We studied the locus of mid-tangent points of conic sections. We found that the locus of mid-tangent points of most conic sections are non-linear curves. However, we observed and proved by using Euclidean geometry that the locus of mid-tangent points of circles are straight lines. The mapping defined by mid-tangent points was studied further. The similarity between a mid-tangent mapping and a stereographic projection was displayed as a one – to – one correspondence function. We also extended the concept of mid-tangent points to three dimensional space and found that the similarity with the stereographic projection was retained in higher dimensions. Finally, we studied the locus of mid-tangent points of a sphere to create a mapping of the sphere to a plane.

本文主要在探討幾何中的兩個重要結果—三角形中的『孟氏定理』與『西瓦定理』推廣到平面上任意的『凸 邊形』與『凹 邊形』的相對應結果，甚至於我可以將『凸凹 邊形』換成『 條直線』，我發現亦可以得到類似的結果。在完成平面上的圖形推廣之後，我也試著思考其在立體空間中是否也有類似的推論，很幸運地也發現有類似平面多邊形的結果，目前已完成空間中任意『 個頂點多面體』的『孟氏共面定理』；此外，我也證明了空間中任意四面體的『西瓦共點定理』，同時以實例驗證空間中的『西瓦共點定理』在四角錐中的形式，進而找到『 個頂點多面體』的『西瓦共點定理』之形式，並已驗證其正確性。

在沙灘賣冰問題中，假設遊客平均分布在長度為1的沙灘上，並且沙灘上的攤販不論品質或價格都相同。因此遊客只會依據距離遠近選擇攤販；攤販則會為了擁有最大客源而不斷移動，直到任何移動皆不會使利益增加為止，這就是所謂的奈許均衡。 已知兩個攤販會集中在沙灘正中央，而三個攤販時無法達到均衡，四家或五家攤販會形成唯一一種均衡，若有六家以上的攤販則可能有不只一種均衡。由五家攤販的例子我們觀察到，若是選擇在1/2處固定不動，當其他四家攤販達成均衡時，就可以分得最大的利益範圍。因此，我們試著在三個攤販的情形中固定其中一家攤販的位置，發現若其中一個攤販在1/4的位置固定不動，則剩餘兩個攤販會集中在3/4形成均衡。此時固定攤販可以分得1/2，其餘兩家則各得1/4。於是在接下來的研究中，我們試著將此發現推廣至一般性。 我們研究發現，固定攤販的設攤位置，可以決定奈許均衡的存在性──使沒有均衡的例子產生均衡，或者破壞原本有的均衡；亦可以影響均衡的型態。最後我們提出了一個保證獲利的策略，使得採取適當的固定位置必定得到優於平均的利益。同時也證明了此策略為固定攤販獲利最大值(Max Minimum)，成功的將固定攤販利益最大值的情形推廣至一般化，並歸納出固定攤販位於各範圍時所形成的均衡以及利益範圍。

題目緣由是數學奧林匹亞預選題的其中一題組合問題，題目探討在2^m×2^m的棋盤中(m∈N)先分割出對角線上的2^m一單位正方形，之後將剩下兩塊狀似等腰直角三角形的棋盤分割為若干個不重疊的矩形，求此棋盤被分割出的所有矩形周長和最小值。本文將原命題推廣至nn×n棋盤與m×n棋盤的情況，在2^m×2^m中達到周長最小值的矩形分割方式十分直觀，但證明過程中直接構造函數2x〖log〗_2 x以及利用琴生不等式等方法不甚直觀，於是我們在n×n部分的最後給出了另解，並說明原題為其特殊情況。 n×n的部分沿用原題之方法定義了十字分割，我們證明了利用完全十字分割可達到最小值，為4n(m+3)-2^(m+3) (其中2^m≤n

這份研究所探討的主題源自於1976年USAMO第一大題：將一4×7矩形方格表的每格塗色黑色或白色，欲使所有能構成矩形頂點的四個方格皆不全為同色。試證明其塗色必定失敗、或給出滿足的塗色方式。此研究從上述題目延伸，增加可填入的顏色數量、改變方格表的長寬，甚至將方格表改為三角格子表。研究過程主要運用鴿籠原理、組合數量之計算及柯西不等式來分析。我們已幾乎完整討論完矩形方格表中填入2色、3色，及三角格子表中填入2色的所有情況；並且對於矩形方格表，我們找到了一條判別式，可以判斷一般化的某情況下塗色是否必定失敗，但有部分必定塗色失敗的情況無法由此判別式判斷，需藉由其他方式討論。此外，我們也嘗試從滿足的塗色方式中找尋規律並建立構造的規則。

(PA)+(PC) =t為以A、C為焦點的橢圓，滿足(PA) +(PC)=(PB)+(PD) =t的P點軌跡可視為以A、C及B、D為焦點且長軸等長的橢圓在長軸變化過程中的交點軌跡，稱該曲線為EIC(AC,BD)。本研究主要討論四邊形ABCD為鳶形時，EIC(AC,BD)的代數方程式、曲線變化情形及其是否平滑。我們可將EIC曲線分為三類： 1.兩條非封閉曲線 2.一條非封閉曲線及一條封閉曲線 3.一條封閉曲線。由兩條曲線變為一條曲線的臨界條件為(BA) ̅=(BC) +(BD)，此時圖形為一條非封閉曲線及一點（B點），此時EIC(AC,BD)曲線族的包絡線為以B、D為焦點、長軸長為(AC) ̅的橢圓。另外，從代數方程式得知除了原點為奇異點，EIC曲線為平滑曲線。從圖形可發現EIC曲線與雙曲線、橢圓曲線(Elliptic Curve)、蚌線(Conchoid of de Sluze)極為相似，而其實質關聯性則有待未來研究。

在這分作品中我們在球面上尺規作圖。目的是要完整描述球面上可作的角度。我們從平面尺規作圖的知識出發，卻遇到了困難，像是有很多平面尺規作圖的方式不能被如法炮製地運用到球面上。為了達成目標，我們著手探討在球面上和平面上作圖方式的關係，方法如下：先定義兩個重要名詞S ：球面上能作角度（弧長）的集合和P：平面上能作角度（弧長）的集合。透過向量方程式的證明我們得到S⊆P。利用我們從球面三角學公式衍生出的作圖方法，並藉由「體」證明出P⊆S。在P=S 的基礎上，我們引用伽羅瓦理論的已知結果，終於得到結論，也就是「球面上一個角度可作若且唯若其餘弦值為1經過有限次的加減乘除與開平方根運算」。最後我們也給出了球面上正4邊形、正5邊形和正17邊形的作法。

本研究旨在探討轎車四輪關係。藉由車體結構的限制:左右互相平行，其距離為輪寬w，後輪沿車身延長輪距d，會碰到當時刻的前輪位置，以此做為發想，發展出前推後、後推前、左推右及右推左四種推論方式，最後得到結論。 研究最後將結論應用於許多方面，如應用於刑事鑑定方面，此外亦將程式寫於MATLAB以利修改跑跑卡丁車只留下了後輪軌跡之程式不足。

This project aims to create the polar equations from the relation of the points on the centre line of the water twisted from Butterfly sprinkler heads. The water path includes inner rim, outer rim and centre line laying in the middle of the water path is used Rhombus’s property. The diagonals are perpendicular bisectors of each other to create the centre line. Then we create the polar equation of the centre line of water that twists from 4 types of the Butterfly sprinkler heads: edge frame, curve frame, STL and STL rotary. The polar equation of outer rim and inner rim is created by adding and removing the “ f ” value ( ; is the distance between the outer rim and the centre line, and is the geometric sequence that is ) of the coefficient (a) of the polar equation respectively. The results show that the formal equation of the centre line is which can explain the different properties of Butterfly sprinkler heads. If “ f ” value is increasing the water path and the blade will be wider that affects droplets distributing thoroughtly. Furthermore the relationship between the volume of water and the radius of water distribution can be processed to find the least time that can increase the appropriate moisture level of soil.