數學

An isosceles set is a collection of points in which any subset of three points forms an isosceles triangle. We want to find the upper bound for the size of isosceles sets in any n-dimensional Euclidean space. Kido has already completed the study of isosceles sets in 3 and 4-dimensional space. We study the upper bound of spherical two-distance sets, a special type of isosceles sets, to help us find the upper bound of isosceles sets. More specifically, Musin’s Linear Programming technique on spherical two-distance sets could be used to study isosceles sets if a consistent relationship between isosceles sets and two-distance sets can be characterized. We offer a conjecture of this relationship. We also offer non-trivial lower bounds of isosceles sets in dimension 5 with 17 points and dimension 7 with 30 points as examples.

隨機漫步是數學、物理學、化學、經濟學上常需要涉及和探討的問題，其中探討回到原點的方法數和機率是常見的研究方向。本研究嘗試列出不同維度之間回到原點的方法數遞迴關係，發現不同維度移動相同次數時，回到原點方法數為特定的多項式。 參考了文獻Counting Abelian Squares後，本研究證明了特殊的對應關係，得到了多維空間中回到原點方法數的漸近式。儘管並沒有直接以其他較困難的數學探討方法計算，但依據本研究之結論，已可算出多維度下回到原點之方法數 至於在有限空間中回到原點的方法數，本研究僅完成二維平面下，超出邊界不同次數各種情況的討論，並經由程式檢驗公式的正確性。

This project aimed to study the motion which occurred from the end point on the circumference of the outermost circle by moving the center on the circumference of a preceding circle and the center of an innermost circle at origin. According to the study, when angular velocity was changed, it caused the different of loci. Based on the above information, finding the locus of the point on circumference of n-th circle that formed by moving the center of any radius circles on circumference of preceding set of circles was studied to get general equation. A set of circle and locus were created with GSP program. First, set the same radius circles on the X-axis with the first circle at origin, then found the relationship that occurred from the characteristics of locus. The result showed that if the ratios of angular velocity are 1:1:1, 2:2:2, 3:3:3, ..., …, n:n:n or 1:2:3, 2:4:6, 3:6:9, …,nw1:nw2:nw3, the characteristics of locus will be the same, while the others will be different. Finally, the equation of locus was found as follow: (x,y) = { ..........see in abstract...........} when .........see in abstract........... Where ri is the radius of i-th circle, zeta i is an angle between the radius of i-th circle and X-axis, wi is the angular velocity, t is elapsed time and alpha i is a starting angle between the radius of i-th circle and X-axis.

本研究從原始畢氏數組數函數探討質數在整數間的分布密度，我利用質因數個數、通式、座標軸上面積導出原始畢氏數組數函數(最小數字不大於自變數的原始畢氏數組數，我視(A,B,C)和(B,A,C)為相同的原始畢氏數)，參考其他文獻之後，我得到組數函數可以寫成以下形式:f(x)=c∙x∙ln⁡x+O(x)c∈R ，此推測將在此研究中進行證明。因此我可以依此計算π函數近似值，在進行初步計算後，我亦利用差分法算出較為準確的c值，並以此c值估算更為準確的π函數近似值。

平面上，P點為△ABC內部任意一點，(AP) ⃡、(BP) ⃡、(CP) ⃡分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形，則¯(PA')/¯PA⋅¯(PB')/¯PB⋅¯(PC')/¯PC≥8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n維n -單體A_1 A_2...A_(n+1)內任意一點，(A_1 P) ⃡、(A_2 P) ⃡、…、(A_(n+1) P) ⃡分別與n維n -單體P-A_2 A_3...A_(n+1)、P-A_1 A_3...A_(n+1)、…、P-A_1 A_2...A_n的外接n維球交於A_1'、A_2'、…、A_(n+1)'，滿足∏_(k=1)^(n+1)▒¯(PA_k')/¯(PA_k )≥n^(n+1)，等號成立時若且唯若¯(PA_k')/¯(PA_k )=n，k=1,2,...,n+1，其中n≥2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到∑_(k=1)^(n+1)▒((A_k P)┴⃑)/(A_k A_k')┴⃑ =1，此時P點為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。

歐德斯—史特勞斯猜想又稱為 4/n 問題，其內容為對於所有正整數n皆滿足 4/n=1/a+1/b+1/c ，其中a, b, c為正整數。於19世紀提出並在當代引起討論熱潮，至今此問題仍沒有完善的證明方法。經過查閱文獻資料後，我們發現他人研究重點著眼於如何將正整數n以同餘分類，且並未獲得一個系統性的研究結論。研究內容多執著於如何解決此猜想而非探討問題本身的規律性及各項性質。 此外，他人研究少有討論正整數n的解數者。因此本研究將方向設定在n, a, b, c的可行解數量。透過特例解切入n, a, b, c的表示方式，使問題簡化而較易於討論。以求對證明此猜想有所貢獻。

本研究保持社交距離為發想，探討從一維到多維空間的支配數。我們從使得三個同色單位方格不相連的二維情況，拓展至m個同色單位方格不相連的一維、二維、三維情況。本研究從The Domination Number of Grids這篇論文中汲取靈感，其中”Domination Number”也是「支配數」此名詞的由來。我們定義L_nt={(x_1,x_2,…,x_n)|x_1+x_2+⋯+x_n≡t (mod m),x_1∈[1,l_1 ],x_2∈[1,l_2 ],……,x_n∈[1,l_n ]}，此處的l_n是邊長。對於一維情形的任意m，其支配數|A_1m |=⌊l_1/m⌋；對於二維情形且m=3時，我們經由列舉和畫圖證明其支配數|A_2 |=⌊(l_1 l_2)/3⌋。同樣的二維和三維情況在m=任意數時的支配數也可求得，不過在此我們改變了研究的方法，我們應用集合與同餘進行運算，除了減少窮舉將花費的時間，也可一次討論m=任意數的情況。

圓內接四邊形有一個幾何定理：若圓內接四邊形的兩對角線相互垂直，則連接對角線交點與一邊垂足點的連線過對邊的中點，稱為婆羅摩笈多定理。 我們嘗試將圓內接四邊形推廣至圓內接多邊形的情形，定義其多邊形中若滿足對邊建構原則：「連接兩垂直對角線交點與一邊垂足點的連線過對邊的中點，同時連接同一邊中點的連線垂直於對邊」，則稱此多邊形為婆羅摩笈多多邊形，簡稱B-多邊形。另外定義在圓內接多邊形中，兩相互不垂直的對角線交點若滿足對邊建構原則，則稱為特定多邊形。 本作品中，深入探討婆羅摩笈多定理推廣至圓錐曲線內接四邊形的情形，先推導出圓錐曲線內接正方形的建構條件，顯然此正方形必為B-正方形，此曲線包含七種。接著利用直徑性質推導出拋物線內接四邊形作圖，進而推導出圓錐曲線內接四邊形的二種建構條件，此曲線包含十一種。

在第 屆科展作品（中華民國第 屆中小學科學展覽會換心手術）有給定了一個新的名詞(頂心三角形)：平面上給定△ABC及一點D，分別以A、B、C三頂點為圓心，¯DA、¯DB、¯DC為半徑畫圓，三圓交於三點E、F、G，再以三交點E、F、G為頂點作△EFG，則新△EFG稱為△ABC在D點的頂心三角形，本篇作品主要探討原三角形與其頂心三角形邊長與面積比例關係，並試著利用這些關係求出頂心線以及其他相關性質。 在我們的作品中，我們求出頂心三角形的三邊長為2¯AD sin⁡∠ CAB、2¯BD sin⁡∠ ABC、2¯CD sin⁡∠ BCA，也就是說在原三角形為任意三角形，可以得出頂心三角形的邊長與原三角形之間的邊長關係，我們再進一步利用邊長關係求出頂心三角形對原三角形的面積以及面積比例。我們還發現，當D點在原三角形的外接圓上時，頂心三角形會退化為一直線，稱為頂心線，而此頂心線會通過原三角形的垂心是本篇作品最重要的發現。

本研究由科教館的網站上科學研習月刊第54卷第3期探索數學專欄─「周休二日」進行發想。我們進行一般化的問題描述：假如在連假k天當中，任意連續m天之中，剛好要讀n天書，則在連假k天當中的讀書日最多有幾天？以及最少有幾天？本研究嘗試從相關文獻帶入原來的題目規則中，延伸至二維空間並找到其應用，卻意外地發現它其實是一個集合覆蓋的問題。於是，我們便著手進行將一維問題延伸至平面上格子點，以期能提出最佳化的結果，並找出其規律。