數學

This project aimed to study the motion which occurred from the end point on the circumference of the outermost circle by moving the center on the circumference of a preceding circle and the center of an innermost circle at origin. According to the study, when angular velocity was changed, it caused the different of loci. Based on the above information, finding the locus of the point on circumference of n-th circle that formed by moving the center of any radius circles on circumference of preceding set of circles was studied to get general equation. A set of circle and locus were created with GSP program. First, set the same radius circles on the X-axis with the first circle at origin, then found the relationship that occurred from the characteristics of locus. The result showed that if the ratios of angular velocity are 1:1:1, 2:2:2, 3:3:3, ..., …, n:n:n or 1:2:3, 2:4:6, 3:6:9, …,nw1:nw2:nw3, the characteristics of locus will be the same, while the others will be different. Finally, the equation of locus was found as follow: (x,y) = { ..........see in abstract...........} when .........see in abstract........... Where ri is the radius of i-th circle, zeta i is an angle between the radius of i-th circle and X-axis, wi is the angular velocity, t is elapsed time and alpha i is a starting angle between the radius of i-th circle and X-axis.

象棋的馬與西洋棋的騎士走法有異曲同工之妙且棋子的走法似乎有些特殊的規律，兩者的走法我們稱為同構，因此我們針對這個現象進行研究。 (圖一) 馬步與騎士 我們得到下面四個結論： 一、定理甲：動點P可經由馬步從原點(0,0)走到棋盤上的任意格子點。 二、定理乙：平面棋盤的馬步路徑皆可找到起點、終點在同一象限(含軸)，且步數相同的路徑。 三、定理丙：每一個最少步數K≥5，K所對應的總格子數f(K)，數列為公差7的等差數列。 四、定理丁：給定第一象限(含軸)任意點P(X,Y)，可求得最少步數K。

從參考資料[1]可知，將凸n+2邊形利用n-1條不相交的對角線剖分成n個三角形的圖形數量即為卡特蘭數Cn。而我利用不相交的對角線把n+2邊形剖分成數個多邊形和三角形的組合，並從此類的剖分圖形與三角剖分圖形之關聯，進而由卡特蘭數的一般式推導出此類剖分圖形數量的一般式。在本研究中可得，若到把n+2邊形剖分成一個k+2邊形和多個三角形的圖形數量是(2n-k+1 n+1) ；把n+2邊形剖分成一個k+2邊形、一個m+2邊形和多個三角形的圖形數量，當m≠k，數量為n+2/2(2n-k-m+2 n+2) ，當m=k時，數量為n+2/2(2n-2k+2 n+2) ；把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、一個k3+2邊形、和n-k1-k2-k3 個三角形的剖分圖形，當k1,k2,k3兩兩相異時，數量為(n+2)(n+3)(2n-k1-k2-k3+3 n+3) ；把n+2邊形剖分成一個K1+2邊形、一個K2+2邊形、一個K3+2邊形、一個K4+2邊形和n-K1-k2-k3-k4個三角形的剖分圖形當k1,k2,k3,k4兩兩相異，數量為(n+2)(n+3)(n+4)(2n-k1-k2-k3-k4+4 n=4)。並猜測若k1,k2,...,ki兩兩相異時，把n+2邊形剖分成一個k1+2邊形、一個k2+2邊形、…、一個ki+2邊形、和n-Σkj 個三角形的剖分圖形數量為(n+i)!/(n+1)!(2n-Σkj+i n+i) 。

An isosceles set is a collection of points in which any subset of three points forms an isosceles triangle. We want to find the upper bound for the size of isosceles sets in any n-dimensional Euclidean space. Kido has already completed the study of isosceles sets in 3 and 4-dimensional space. We study the upper bound of spherical two-distance sets, a special type of isosceles sets, to help us find the upper bound of isosceles sets. More specifically, Musin’s Linear Programming technique on spherical two-distance sets could be used to study isosceles sets if a consistent relationship between isosceles sets and two-distance sets can be characterized. We offer a conjecture of this relationship. We also offer non-trivial lower bounds of isosceles sets in dimension 5 with 17 points and dimension 7 with 30 points as examples.

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向線段比例常數。最後，我們再探討角度與長度同時可變動的三個外西瓦線共點情形。

b進位的n位數字x，數字x各位數字由大到小排列為p，由小到大排列為q，定義Kaprekar變換T(b,n)(x)=p-q，例如T(10,3)(x)= 954-459。當T(b,n)(x)= x，稱x為Kaprekar常數。 Tk(b,n)( x)=T(b,n)( Tk-1(b,n)( x))= x, k >1時，稱x為k階Kaprekar循環數。本文解答了以下問題： 1. b進位的數字不包含數字b-1的Kaprekar常數的形式。 2. 3,4,5,6進位的Kaprekar常數的一般形式。 3. 對於2,3進位的情形，我們引入三元非負整數的形式來討論Kaprekar變換，轉換成Kaprekar數對(p,q)，再進一步，由來探討比值p/q，將Kaprekar變換轉成Kaprekar函數g(x)，解決 Kaprekar 循環數的所有形式及解。 最後我們得到Tl(b,n)( x)必是Kaprekar循環數。

隨機漫步是數學、物理學、化學、經濟學上常需要涉及和探討的問題，其中探討回到原點的方法數和機率是常見的研究方向。本研究嘗試列出不同維度之間回到原點的方法數遞迴關係，發現不同維度移動相同次數時，回到原點方法數為特定的多項式。 參考了文獻Counting Abelian Squares後，本研究證明了特殊的對應關係，得到了多維空間中回到原點方法數的漸近式。儘管並沒有直接以其他較困難的數學探討方法計算，但依據本研究之結論，已可算出多維度下回到原點之方法數 至於在有限空間中回到原點的方法數，本研究僅完成二維平面下，超出邊界不同次數各種情況的討論，並經由程式檢驗公式的正確性。

平面上，P點為△ABC內部任意一點，(AP) ⃡、(BP) ⃡、(CP) ⃡分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形，則¯(PA')/¯PA⋅¯(PB')/¯PB⋅¯(PC')/¯PC≥8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n維n -單體A_1 A_2...A_(n+1)內任意一點，(A_1 P) ⃡、(A_2 P) ⃡、…、(A_(n+1) P) ⃡分別與n維n -單體P-A_2 A_3...A_(n+1)、P-A_1 A_3...A_(n+1)、…、P-A_1 A_2...A_n的外接n維球交於A_1'、A_2'、…、A_(n+1)'，滿足∏_(k=1)^(n+1)▒¯(PA_k')/¯(PA_k )≥n^(n+1)，等號成立時若且唯若¯(PA_k')/¯(PA_k )=n，k=1,2,...,n+1，其中n≥2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到∑_(k=1)^(n+1)▒((A_k P)┴⃑)/(A_k A_k')┴⃑ =1，此時P點為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。

在歐氏幾何和射影幾何中，相異五點可決定一圓錐曲線。若給定任意四邊形，是由四邊形的四個頂點及異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形。 圓冪定理是一個圓內接四邊形的幾何定理，包含相交弦定理、割線定理、切割線定理等三個定理，我們將圓冪定理推廣至圓錐曲線內接四邊形。首先由圓錐截痕推廣圓內兩交弦定理，是考慮兩垂直交弦，進而推導出圓冪定理推廣一式及區分圓錐曲線種類。接著利用圓錐曲線的方向直徑、邊或對角線斜率及平行邊的切線長推導出圓冪定理推廣二式、三式及四式，推廣式是採統一與歸納方式呈現。 其次，由解析幾何推導另一種圓冪定理推廣式(推廣五式)，加上圓錐曲線直徑性質，論證出二種圓錐曲線及其内接四邊形的作圖及其判定條件。最後也證明圓錐曲線內接四邊形判定定理及有趣的錐線中心軌跡圖形。

在理想狀態下，由一個圓形且開口面平行於地面的水龍頭開口中流出的水柱會呈現一以 z 軸對稱、切面積往 z 軸負向遞減的圓形疊合曲面。此曲面形狀受到下列三種物理量值影響： 一、水流在水龍頭開口瞬間速度(在此稱之為初速度) v0 二、水龍頭圓形開口半徑(在此稱為初半徑) r0 三、重力加速度 g 為了更清楚瞭解此曲面性質及在不同狀況下(三種物理量值改變情況下對曲面的影響)，故提出下列問題在研究中探討： 一、這三種物理量值，對曲面形狀的影響為何？ 二、這三種物理量值，對曲面曲率影響為何？