Riding around on a flat tire is no fun. It feels really bumpy. But a square wheel may be the ultimate flat tire. There's no way it can roll over a flat, smooth road without jolting the rider again and again. Here, I have constructed a bicycle with square wheels. It's a weird contraption, but you can ride it perfectly smoothly. My secret is the shape of the road over which the wheels roll. A square wheel can roll smoothly, keeping the axle moving in a straight line and at a constant velocity, if it travels over evenly spaced bumps of just the right shape. This special shape is called an inverted catenary. A catenary is the curve describing a rope or chain hanging loosely between two supports. Turn the curve upside down, and you get an inverted catenary--just like one of the bumps in my road. Make the road out of a whole bunch of those bumps all in a row, and you can take your square-wheeled bike for a quick spin. Just as a square rides smoothly across a roadbed of linked inverted catenaries, other regular polygons, including pentagons and hexagons, also ride smoothly over curves made up of appropriately selected pieces of inverted catenaries. As the number of a polygon's sides increases, these catenary segments get shorter and flatter. Ultimately, for an infinite number of sides (in effect, a circle), the curve becomes a straight, horizontal line. In the end, I conclude with possible enhancements in the project that might take us to a whole new world.

一樂隊表演，攝影師站在這樂隊的外圍拍攝。由於樂隊排列的位置，攝影師必須在外圍移動才能拍攝完整個樂隊。現在將樂隊移至直角座標中整數格子點上。攝影師依序在原點，x軸，y軸整數上的拍攝點拍攝位於平面上mxn (n→∞)的陣列。但有些點會被其他的點擋住，而無法拍攝到，討論如何用拍攝點拍攝到全部的陣列的方法探討其點數。要解決這問題需要其他的點去輔助。隨著mxn的陣列變大需要越多的拍攝點才可以看完。想要用最少的拍攝點拍攝，需要固定且有理論的方法。經過研究，找到mxn陣列(1≦m≦100, n→∞)的結果，若y軸上取一個拍攝點，其結果會使拍攝點個數都是優於先前文獻之結果。由於拍攝點點數是全新的數列，我們使用數學方式預測。由二維平面拓展到三維空間，其二維平面結果仍適用於三維空間。可探討天文望遠鏡拍攝恆星間的關係。

本研究主要是研究「電梯問題」： 令某棟建築內任兩層樓都至少有一部電梯連接的建築稱為全能建築，若某棟建築內有m部電梯，每部電梯停n層，f (m, n)為使這棟建築成為全能建築的最高層數。對於不同的m, n，f (m, n)的值為何？ 本研究一開始先以一些參考資料為基礎，試著整理出其中未完成的部份。接著，我們針對了一些個別的f (m, n)，具體求出其值。令某棟建築內任兩層樓都恰有一部電梯連接的建築稱為完美建築，我們引入了一個新的函數g (n, k)=m，得到了一個與完美建築有關的定理。另外，我們還利用一些構造方法，求出了所有g (3, k)的值。 在這次的研究中，我們成功運用了各種不同的構造手法，得到了一些相關的結果。至於是否能將這些構造方法運用在求出一般的f (m, n)之值？這是我們將繼續探究的課題。

出於對溫度在人類的生活圈和地球各高度多樣的好奇，我們在本研究中，利用福衛三號的大氣溫度資料分析「北半球平流層急劇增溫現象(SSW)」這個特殊現象，發現：此現象明顯出現在冬末春初；高度方面，低空較不易觀察，而30公里以上高空受影響的程度較大；緯度方面，北緯40度以南的地區在SSW發生時降溫，幅度較小，而北緯40度以北升溫，幅度隨緯度增加而漸大。 同時，我們比較西元2006年~2010年的資料，試著探討海陸差異和週期性，雖然海陸沒有顯著成果，但我們發現SSW在西元2009年為近年來高峰，且有類似週期性的變化；另外，我們也近一步對南半球做延伸探討，希望得到更完整的資訊。 經由此研究，我們不但更了解SSW，也更確信福衛三號在未來極有可能成為新興的氣候變化觀測依據。

任意給定不共線相異三點A1、A2、A3，想要利用邊與其對應對角線平行的方式依序作得A4、A5、…、Am，並且再作Am+1、Am+2、Am+3重合於三點A1、A2、A3，這是一件不簡單的事！我們把這樣的多邊形稱之為平行多邊形。 為了方便探討，首先固定邊與其對應對角線長度比值固定為 1t，在複數平面上，寫成遞迴式zn+3－zn＝t(zn+2－zn+1)，可求得zn＝pαn＋qβn＋s，以此可以作出任意平行m邊形，並證明平行m邊形會內接於一橢圓或圓。 其次，探討邊與其對應對角線長度比值不為定值的平行m邊形。我們求得圓內接平行m邊形，邊與其對應對角線長度比值：若m為偶數，則比值為1－cot2πmcotα1＋cot2πmcotα 及cotαsin4πm－cos4πmcotα；若m為奇數，則只有2cos2kπm＋1一種比例。接著將任意給定的三點對直線作伸縮變換成特定的共圓狀態，作出圓內接平行m邊形的m個頂點，再反變換回平行m邊形。 對於順序三點已有解決方式，我們再利用線性組合的性質，使任意三點只要給定邊數、不共線三點之序數及其值，便可以利用zn＝pβn＋qβn＋s和zn＝pβknαtn＋qβknαtn＋s兩式分別求出等比例和不等比例的平行多邊形。 最後，探討橢圓內接面積最大的m邊形必為邊與其對應對角線長度比值固定的平行m邊形。

2011年3月11日，日本發生規模9.0的地震，同時引發海嘯。太空科學家發現海嘯會引起電離層中總電子含量TEC（Total Electron Content）的擾動。雖然海嘯引起之電離層TEC變化以及海嘯模擬結果已被公布，但兩者之關係尚未被探討。因此，我們比對海嘯模擬與當天電離層TEC變化，確認此電離層TEC擾動是由海嘯所引起的。我們進一步研究電離層TEC的擾動大小和海嘯高度的關係，發現兩者之間具有極高之相關性，且到達的時間差約為±10分鐘，而1公尺高的海嘯約會造成12.8TECu（即TEC之單位，1TECu=1016el/m2）之總電子含量變化。希望將來能利用地面GPS觀測到的電離層TEC資料，在地震後迅速確認海嘯之發生與否，並於到達岸邊前訂定其位置，同時推估高度。藉此，建立海嘯預警輔助系統，以降低海嘯對人類生命和財產的威脅與損害。

William Johnston 和Joe Kennedy首先以切割重組的方式提出了任意三角形的面積為第 組同向切割線所得到中央三角形面積的7倍(即 )。本研究將此方法性質加以推廣，我們證明了任意三角形其 ，而在推廣至任意四邊形時，由於公式十分龐大複雜，無法化簡，因此我們退而求其次，證明了任意梯形第 組與第 組同向切割線所切割出的面積與線段比例特性。最後，我們也分析探討任意梯形當 時(即平行四邊形)以及任意正 邊形其第 組同向切割線之性質。

利用路易士酸催化環狀2,3-環氧化-6-炔-1-醇進行分子內合環反應，合成出螺旋環狀化合物結構。當使用溶劑為二氯甲烷，催化劑使用六水合三氯化鐵時，可以得到合環反應的最佳結果。此反應是藉由三氯化鐵催化促使起始物中環氧環狀結構開環：接著参鍵上的π電子攻打三級碳陽離子以及進行［1,5］氫陰離子轉移後，建構出螺旋［4,5］癸烷的羰基衍生物；利用更進一步的氘化實驗可以証實此反應機構。利用核磁共振研究以及X-ray繞射分析可證明此螺旋環狀化合物的結構。我們現在的實驗方法使用無毒、較為經濟的藥品，相對於大部分文獻中所找到的方法而言具有很大的優勢；而此方法將會應用於合成現在已知具有生物活性的螺旋化合物結構。

本為主要探索「平面上任三點不共線的n個點是否存在n條線使其各線恰經過上述n點中之一點，並交出一正n邊形。」再則探究其對偶命題「任兩線不平行，任三線不共點的n條直線上，是否存在各線恰有一點，使其各點為一正n邊形之頂點。」 文中論及解的存在性及其一般解，並推廣至 個同心圓及 條平行線的情形。

本次研究的靈感來自於能力競賽中，一道證明由六邊形內部一點P所導致的面積比值為1的問題(詳見第6頁)。這份報告主要的目的，在探討推廣到正2n邊形內部時的情況，求出將P點移至外部時任一點的面積比值，並進一步討論面積多次方之問題。 這次研究利用GSP協助了解圖形的性質，並善用解析幾何和輔助線作圖。報告中的許多證明，可以用「各個三角形的高相加」的觀念搭配三角函數運算做出結論。 文中結果顯示，除了證明：當P點在正2n邊形內部時，必滿足面積比值為1外，並提供了當P點在正2n邊形外部時，面積比值的各種可能性。其證明方法，可作為解決正2n邊形面積問題的重要參考。