2012年

本研究主要是研究「電梯問題」： 令某棟建築內任兩層樓都至少有一部電梯連接的建築稱為全能建築，若某棟建築內有m部電梯，每部電梯停n層，f (m, n)為使這棟建築成為全能建築的最高層數。對於不同的m, n，f (m, n)的值為何？ 本研究一開始先以一些參考資料為基礎，試著整理出其中未完成的部份。接著，我們針對了一些個別的f (m, n)，具體求出其值。令某棟建築內任兩層樓都恰有一部電梯連接的建築稱為完美建築，我們引入了一個新的函數g (n, k)=m，得到了一個與完美建築有關的定理。另外，我們還利用一些構造方法，求出了所有g (3, k)的值。 在這次的研究中，我們成功運用了各種不同的構造手法，得到了一些相關的結果。至於是否能將這些構造方法運用在求出一般的f (m, n)之值？這是我們將繼續探究的課題。

一樂隊表演，攝影師站在這樂隊的外圍拍攝。由於樂隊排列的位置，攝影師必須在外圍移動才能拍攝完整個樂隊。現在將樂隊移至直角座標中整數格子點上。攝影師依序在原點，x軸，y軸整數上的拍攝點拍攝位於平面上mxn (n→∞)的陣列。但有些點會被其他的點擋住，而無法拍攝到，討論如何用拍攝點拍攝到全部的陣列的方法探討其點數。要解決這問題需要其他的點去輔助。隨著mxn的陣列變大需要越多的拍攝點才可以看完。想要用最少的拍攝點拍攝，需要固定且有理論的方法。經過研究，找到mxn陣列(1≦m≦100, n→∞)的結果，若y軸上取一個拍攝點，其結果會使拍攝點個數都是優於先前文獻之結果。由於拍攝點點數是全新的數列，我們使用數學方式預測。由二維平面拓展到三維空間，其二維平面結果仍適用於三維空間。可探討天文望遠鏡拍攝恆星間的關係。

任意給定不共線相異三點A1、A2、A3，想要利用邊與其對應對角線平行的方式依序作得A4、A5、…、Am，並且再作Am+1、Am+2、Am+3重合於三點A1、A2、A3，這是一件不簡單的事！我們把這樣的多邊形稱之為平行多邊形。 為了方便探討，首先固定邊與其對應對角線長度比值固定為 1t，在複數平面上，寫成遞迴式zn+3－zn＝t(zn+2－zn+1)，可求得zn＝pαn＋qβn＋s，以此可以作出任意平行m邊形，並證明平行m邊形會內接於一橢圓或圓。 其次，探討邊與其對應對角線長度比值不為定值的平行m邊形。我們求得圓內接平行m邊形，邊與其對應對角線長度比值：若m為偶數，則比值為1－cot2πmcotα1＋cot2πmcotα 及cotαsin4πm－cos4πmcotα；若m為奇數，則只有2cos2kπm＋1一種比例。接著將任意給定的三點對直線作伸縮變換成特定的共圓狀態，作出圓內接平行m邊形的m個頂點，再反變換回平行m邊形。 對於順序三點已有解決方式，我們再利用線性組合的性質，使任意三點只要給定邊數、不共線三點之序數及其值，便可以利用zn＝pβn＋qβn＋s和zn＝pβknαtn＋qβknαtn＋s兩式分別求出等比例和不等比例的平行多邊形。 最後，探討橢圓內接面積最大的m邊形必為邊與其對應對角線長度比值固定的平行m邊形。

Riding around on a flat tire is no fun. It feels really bumpy. But a square wheel may be the ultimate flat tire. There's no way it can roll over a flat, smooth road without jolting the rider again and again. Here, I have constructed a bicycle with square wheels. It's a weird contraption, but you can ride it perfectly smoothly. My secret is the shape of the road over which the wheels roll. A square wheel can roll smoothly, keeping the axle moving in a straight line and at a constant velocity, if it travels over evenly spaced bumps of just the right shape. This special shape is called an inverted catenary. A catenary is the curve describing a rope or chain hanging loosely between two supports. Turn the curve upside down, and you get an inverted catenary--just like one of the bumps in my road. Make the road out of a whole bunch of those bumps all in a row, and you can take your square-wheeled bike for a quick spin. Just as a square rides smoothly across a roadbed of linked inverted catenaries, other regular polygons, including pentagons and hexagons, also ride smoothly over curves made up of appropriately selected pieces of inverted catenaries. As the number of a polygon's sides increases, these catenary segments get shorter and flatter. Ultimately, for an infinite number of sides (in effect, a circle), the curve becomes a straight, horizontal line. In the end, I conclude with possible enhancements in the project that might take us to a whole new world.

A projectile refers to any body that is thrown in space and falls under the influence of gravity and the motion of such a body is called projectile motion. In this context we will ignore the effects of air resistance to make calculations easier. Through the usage of trigonometric ratios and vectors it is possible to accurately predict the position of a body after a certain time, the maximum height attained by it and the horizontal distance it covers from the point of projection. Horizontal displacement or range of a projectile is the main index of performance in many cases of projectile motion. If air resistance is negligible, there is no net force in the horizontal direction (ΣF = 0; ax = 0) Through this topic we aim to explain the science behind the performed actions and movements in sports such as Golf, Football, Basketball and Javelin throw. Factors Affecting Distance traveled by a projectile: 1. Relative height of release 2. Speed of Release 3. Angle of release Projectile Motion: Theory v/s reality Theoretically optimal angle is about 45° however taking air resistance into consideration the angle reduces to about 42°. Long jumpers use angles of 17-23°. This is because when traveling at ~10 m/s, there is not enough time to generate a large takeoff angle. The game of Golf is based on the trajectory followed by the golf ball as it moves through the air and in this sport we have addressed issues such as the required club face angle and swing speed for the ball to go in the hole. For instance if we have a ten degree driver it will carry the ball lower than a 60 degree wedge and hence it can be deduced from the above statement that a greater angle of the club face launches the ball at a greater angle. Effects of Air resistance can be very large in case of golf. Therefore, the golf ball has dimples on its surface to negate the effect of air resistance. To depict the application of projectile motion in football, we have shot a video on our school’s football field showing the trajectory followed by a football and have addressed issues like horizontal and vertical velocity required depending on the nature of the kick. In the sport of Basketball we shot a video showing a student shooting a 3 pointer. Furthermore with the help of charts, we have calculated the velocity required for a basketball to go inside the hoop at different angles of projection such as 30, 45 and 60 degree. Finally we have included a question to determine whether a ball hit by Sachin Tendulkar will be a six or not using kinematical equations as well as equations related to projectile motion. Hence by shedding light on this wonderful topic we attempt to reveal how an athlete’s brain functions and through years and years of practice and hardwork he is able to accurately predict distances and achieve his goals.

William Johnston 和Joe Kennedy首先以切割重組的方式提出了任意三角形的面積為第 組同向切割線所得到中央三角形面積的7倍(即 )。本研究將此方法性質加以推廣，我們證明了任意三角形其 ，而在推廣至任意四邊形時，由於公式十分龐大複雜，無法化簡，因此我們退而求其次，證明了任意梯形第 組與第 組同向切割線所切割出的面積與線段比例特性。最後，我們也分析探討任意梯形當 時(即平行四邊形)以及任意正 邊形其第 組同向切割線之性質。

2011年3月11日，日本發生規模9.0的地震，同時引發海嘯。太空科學家發現海嘯會引起電離層中總電子含量TEC（Total Electron Content）的擾動。雖然海嘯引起之電離層TEC變化以及海嘯模擬結果已被公布，但兩者之關係尚未被探討。因此，我們比對海嘯模擬與當天電離層TEC變化，確認此電離層TEC擾動是由海嘯所引起的。我們進一步研究電離層TEC的擾動大小和海嘯高度的關係，發現兩者之間具有極高之相關性，且到達的時間差約為±10分鐘，而1公尺高的海嘯約會造成12.8TECu（即TEC之單位，1TECu=1016el/m2）之總電子含量變化。希望將來能利用地面GPS觀測到的電離層TEC資料，在地震後迅速確認海嘯之發生與否，並於到達岸邊前訂定其位置，同時推估高度。藉此，建立海嘯預警輔助系統，以降低海嘯對人類生命和財產的威脅與損害。

光動力療法為一個新興癌症治療方式，包含三大要件:光、光敏劑、氧氣。其概念為利用合成的錯合物嵌入細胞核DNA，藉由特定光激發後，將能量傳遞給氧及水分子形成自由基，進而毒殺癌細胞，達到治療惡性腫瘤的目的。 本研究利用NNO-Schiff base，成功合成出一系列的二價銅錯合物，針對不同的配位基及共配位基、濃度、光波長利用DNA裂解、細胞毒性測試，探討結構活性的關係與作用機制，以利研發相關藥物的研究，另外，錯化合物吸收波長可延伸至可見光─藍光，進而大大提升其應用的價值。

本次研究的靈感來自於能力競賽中，一道證明由六邊形內部一點P所導致的面積比值為1的問題(詳見第6頁)。這份報告主要的目的，在探討推廣到正2n邊形內部時的情況，求出將P點移至外部時任一點的面積比值，並進一步討論面積多次方之問題。 這次研究利用GSP協助了解圖形的性質，並善用解析幾何和輔助線作圖。報告中的許多證明，可以用「各個三角形的高相加」的觀念搭配三角函數運算做出結論。 文中結果顯示，除了證明：當P點在正2n邊形內部時，必滿足面積比值為1外，並提供了當P點在正2n邊形外部時，面積比值的各種可能性。其證明方法，可作為解決正2n邊形面積問題的重要參考。

本為主要探索「平面上任三點不共線的n個點是否存在n條線使其各線恰經過上述n點中之一點，並交出一正n邊形。」再則探究其對偶命題「任兩線不平行，任三線不共點的n條直線上，是否存在各線恰有一點，使其各點為一正n邊形之頂點。」 文中論及解的存在性及其一般解，並推廣至 個同心圓及 條平行線的情形。