摘要或動機

任意給定不共線相異三點A1、A2、A3，想要利用邊與其對應對角線平行的方式依序作得A4、A5、…、Am，並且再作Am+1、Am+2、Am+3重合於三點A1、A2、A3，這是一件不簡單的事！我們把這樣的多邊形稱之為平行多邊形。 為了方便探討，首先固定邊與其對應對角線長度比值固定為 1t，在複數平面上，寫成遞迴式zn+3－zn＝t(zn+2－zn+1)，可求得zn＝pαn＋qβn＋s，以此可以作出任意平行m邊形，並證明平行m邊形會內接於一橢圓或圓。 其次，探討邊與其對應對角線長度比值不為定值的平行m邊形。我們求得圓內接平行m邊形，邊與其對應對角線長度比值：若m為偶數，則比值為1－cot2πmcotα1＋cot2πmcotα 及cotαsin4πm－cos4πmcotα；若m為奇數，則只有2cos2kπm＋1一種比例。接著將任意給定的三點對直線作伸縮變換成特定的共圓狀態，作出圓內接平行m邊形的m個頂點，再反變換回平行m邊形。 對於順序三點已有解決方式，我們再利用線性組合的性質，使任意三點只要給定邊數、不共線三點之序數及其值，便可以利用zn＝pβn＋qβn＋s和zn＝pβknαtn＋qβknαtn＋s兩式分別求出等比例和不等比例的平行多邊形。 最後，探討橢圓內接面積最大的m邊形必為邊與其對應對角線長度比值固定的平行m邊形。