2024年

這份報告延伸上一份作品，要探討三角形中，假設以其中一頂點為起點， 欲利用一半徑為 r 的探測器，完整掃描三角形中每個邊以及邊上的每個點，最後再回到起點，試找出該路徑之最小值，以及該路徑與三角形之間的關係。在這份報告中，我們新增了在任意三角形中最短路徑的證明。 性質一，證明 D、E 兩點的存在性及唯一性。性質二，證明當四點共線時，會有最小值的發生。性質三，證明從直角或鈍角頂點出發的路徑為最小 值。性質四，證明從較小銳角頂點出發的最短路徑大於從直角或鈍角出發的最短路徑。性質六，證明任意三角形中最短路徑皆由最大角出發。 最後，我們將此問題延伸到四邊形，猜測從最大角頂點出發並回到起點的路徑為最小值，雖然我們發現了反例，但同時也證明了當最大角與第二大角差距夠大時，此猜測仍是正確的。

對於一個連通簡單圖G，由點v作為出發點，每次皆以機率均等的原則選擇一條邊移動，在點跟邊都可以重複使用的情況下，移動的過程將依序形成一條道路，當第一次走回v時，則形成特殊的封閉道路，本文的研究是探討這種特殊封閉道路的邊數期望值。考量移動的過程中能否立即回頭，我將問題區分為兩種類型的期望值，利用矩陣解聯立方程組的概念，提供了演算法來求解。此外，我也進一步探討兩個期望值之間的相關性，並利用圖的總邊數以及點度數來刻畫期望值。我亦試著修改機率均等的原則，將選擇邊的機率一般化，探討期望值的特殊性質，從中刻畫出充分必要條件。

騎士巡遊是一個著名的圖論問題，指的是給定一特定大小的棋盤，讓騎士透過日字型移動看是否能不重複的通過每一個點，若最後回到原點，則稱為哈密頓迴圈(閉循環)，若否，則為哈密頓路徑(開循環)。而這兩種問題前人都已經研究出了成立條件，因此我決定研究當騎士不再透過日字型的移動會發生什麼事，並探討能否透過特定移動方式，讓騎士能夠在無限大的棋盤上，不重複的通過每個格子點形成開循環。 而我的想法是先透過尋找騎士能走出來的單位圖形(矩形等能夠拼接成無限大平面的圖案)，如此，我的目標是著重在找出他們的單位圖形並想辦法拼接。

本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。

此題出處為 Crux Mathematicorum, Vol. 44(4), Apr 2018[1]。已知H為△ABC 的垂心，自A、B與C往對邊̅BC、̅CA與̅AB 作三高，得三垂足為 D、E 與F，從△ABC的三邊往外作矩形，使其寬與三邊上的高成比例，再將這三個矩形相臨的頂點連起來，形成三組三角形。證明這三個三角形的中線會三線共點。事實上這點就是外心。 我將原題延伸為四種建構方法，從△ABC 的三邊往外作平行四邊形，分別連三個外接三角形，考慮其中線、角平分線、中垂線與高，以及三角形的五心。分析三線共點的情形。 本研究最特別之處是在四種建構96種情形中，共有69種共點。其中有7 種情形，當任意點J 配上三中線共點於P時，此時J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=2 :1。當任意點J與垂心重合時，三中線共點於外心，此時這條直線即歐拉線。另外有 11 種情形，當任意點J配上三中線共點於P時，此J、重心G與P點三點共線，且̅JG :̅GP=1: 2。當任意點J與外心重合時，三中線共點於垂心，此時這條直線即歐拉線。且當f1(J,m)=P1，f2 (J , m)=P2，此時P2、P1、重心G與J共線。最特別的是當J與外心重合時， P1 是九點圓的圓心。

The proposed project involves a new water-fueled hybrid car prototype that integrates various technologies, including photovoltaic (PV) panels, electrolysis, a fuel cell, a metal hydride tank, and a battery. The car is equipped with PV panels on its surface, such as the roof or hood, which convert solar energy into electricity. This electricity powers a DC motor that propels the vehicle. Excess electricity can be stored in a battery or used in an electrolysis system to split water into hydrogen and oxygen. The hydrogen is stored in a metal hydride tank for later use. Metal hydrides are materials capable of absorbing and releasing hydrogen gas, providing a safe and compact storage solution. The fuel cell converts hydrogen into electricity to power the DC motor when sunlight is not available. This hybrid system allows for direct solar-powered operation while also storing excess energy as hydrogen. Experimental tests were conducted on a prototype of this water-fueled car, with the fuel cell serving as a backup power source to ensure continuous operation even without solar energy. This concept offers several advantages, including the use of renewable solar energy, zero emissions during fuel cell operation, and the ability to store and utilize excess energy.

In2013,Adamsintroducedthen-crossingnumberofaknotK,denoted by cn(K).Inequalities between the 2-, 3-, 4-, and 5-crossing numbers have been previously established.We prove c9(K)≤c3(K)−2 for all knots Kthat are not the trivial, trefoil, or figure-eightknot.Weshowthisinequalityisoptimalandobtainpreviouslyunknownvalues for c9(K).

美國環保署指出美國民眾 90%的時間待在室內，人們常用空氣清淨機改善不良的室內空氣品質，所以空氣清淨機效能對於健康影響至關重要。市面空氣清淨機常宣稱使用 HEPA濾材，但其厚度未必是理想的乾淨空氣輸送率(CADR)。目前僅有最佳CADR濾材厚度的理論，尚未有實驗資料佐證。本研究以實驗方式研析濾材厚度與最佳 CADR 厚度之關係。實驗使用自製空氣清淨機含離心風扇和不同厚度之濾材，測試四種濾材品牌及四種風扇功率，以 SMPS 測量上游及下游顆粒濃度來判定過濾效率，用單通法計算 CADR。結果顯示，隨著濾材厚度增加過濾效率與CADR 提升，但超過最佳濾材厚度後，厚度增加反而造成 CADR 降低。最佳 CADR 濾材厚度約出現在 0.1 微米顆粒有約 20-40%過濾效率時。若以最易穿透粒徑為參考點，則過濾效率約在 10- 30%。欲發揮空氣清淨機最大效益並延長使用期限，濾材厚度應約略小於最佳 CADR 濾材厚度。

本研究旨在運用自然語言處理技術，建立辨識惡意程式的模型。首先在資料集方面，分為 PE資料集與 ELF資料集，均包含良性及惡意執行檔，且蒐集惡意程式時採用多種不同之惡意程式家族。接著對資料集進行反組譯及前處理。使用反組譯後的組合語言檔作為文本，訓練模型以區分良性和惡意程式。研究比較詞袋模型、序列模型、BERT 以及不同 n-gram對模型的影響。 研究結果顯示。詞袋模型以使用multi-hot編碼表現最佳，PE資料集之F1-score為96.87%；序列模型則是有位置編碼的 Transformerencoder 表現最優。在不同 n-gram 的比較，multi-hot詞袋模型與 TF-IDF 詞袋模型，分別在 2-gram 及 5-gram 有最高的 F1-score。

對稱與密鋪圖形是數學美學的表現，廣泛應用於藝術與工程設計中，本研究利用 Python 語言及其套件，依據平面設計的法則，撰寫十七種平面對稱圖形的程式碼，程式碼可透過Replit 平台的雲端共享功能促進跨領域專業人士之間的合作與改良。此外，針對一般群眾本研究透過定義函數和變數開發出｢幾何設計｣專案讓使用者能夠透過座標設計，輕鬆原創出具有對稱性和密鋪性的幾何圖案。本研究在幾何教學、平面設計和 3D 建模等方面都展現了其應用和優勢。我們也收集了使用者測試的反饋和數據，並提供了將平面圖形轉換成 3D 模型的過程和示例。