在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，在這篇作品中，主要探討圓及橢圓x^2+sy^2=m上的格子點個數，並且此個數以連乘積表達式呈現，其中s為黑格納數，此時虛二次體Q[√(-s)]的整數環為唯一分解整環(簡稱UFD)，由此性質可得到虛二次體的整數環中任一元素的分解有唯一表示法。 首先探討質數p在虛二次體Q[√(-s)]的整數環中的分解性，是根據分解性分成四類，再由四類決定m的不可約元分解，進一步推導出x+y√s i,x-y√s i可能的唯一表示法，再由唯一表示法來計數圓及橢圓上的格子點個數。

本文旨在探討三角形周界中點的幾何問題，以及周界中點與旁切圓的相關性質。在討論三角形問題的過程中，注意到許多關於周界中點的延伸性質，起初很難發現旁切圓之間的關聯性，後來決定以三角形周界中點為主軸，找出其與旁切 圓的幾何特性。發現延伸的圖形後，除了上網查詢相關資料，我們更利用幾何繪 圖軟體進行幾何問題的實驗與論證，透過觀察、提出假說，並運用已知的定理推 得研究結果。 我們發現了許多性質，其中包括：畫出三角形並分別做出三邊的旁切圓，各 邊切點即為該邊的周界中點，而三角形頂點與對邊周界中點連線共點即為界心(納格爾點𝑁𝑎)，此點和三角形的重心 G、內心 I共線，且(GNa) ̅=2(GI) ̅；而三邊旁切圓圓 心會共圓，其圓心和三角形三個周界中點的外接圓圓心以及𝑁𝑎也會共線等等。 透過此次研究，讓我們對數學有更深入的瞭解，也期許未來能有更多的發現。

陽光晒到皮膚，人體會感覺到刺痛以避免過強紫外線的曝露。但皮膚為何會有刺痛的感覺呢?過去對光的生體受器著重於眼睛錐及桿狀細胞(Opsin 1/2)，但它們在背根神經元 (DRG，周邊神經末端主體細胞)的表現並不多。TRP channels表現在皮膚及神經。TRPV1是一種痛覺受器，活化時會有鈣離子通透，Dr. Julius因它得到2021諾貝爾獎。TRPV1/A1可受溫度、酸度等活化，但DRG細胞表現的TRPV1/A1，是否會因紫外線(UVB)照射而影響，並導致鈣通透，目前並不清楚。我以不同強度UVB照射人類角質細胞或大鼠DRG，以螢光顯微鏡及流氏細胞儀測量TRPV1/A1蛋白質表現，以實時影像來作動態鈣離子分析。結果顯示UVB在10 mJ/cm2可增加DRG的TPRA1/V1表現，但UVB在5mJ/cm2照射DRG細胞後，只增加TRPA1而不是TPRV1的表現。在皮膚的角質細胞，不管是使用螢光顯微鏡或是流氏細胞儀，UVB在20mj/cm2以上的能量強度會造成角質細胞的毒性，以10mJ/cm2 UVB照射角質細胞，則會增加角質細胞的TPRA1及TRPV1表現，其中又以TRPA1的增加較明顯。惟UVB照射對細胞鈣離子通透的實時影響不大。我的結論是，UVB照射增加角質細胞及DRG的TRPA1/V1表現(特別是TRPA1)，這些改變可能與光照引起之麻痛有關。

癌症治癒方式成效有限，在iPSC中找出具有潛力的蛋白製成大腸直腸癌疫苗是本研究目的。 實驗先以C57BL/6小鼠之股骨及脛骨骨髓中造血幹細胞分化成為未活化的樹突細胞。放入安慰劑、CpG佐劑、CpG+MC38、CpG+iPSC等抗原物來進行免疫細胞活化測試，流式細胞儀分析結果驗證能否減緩小鼠大腸直腸癌的腫瘤生成。接著，利用質譜儀及大數據分析從iPSC中找出促使樹突細胞活化的抗原物蛋白成分，選出3個候選，透過西方墨點法確認其專一性。查詢候選蛋白TTW1、2、3在The Human Protein Atlas 網站對大腸直腸癌之表現數據。 結果 iPSC的抗原物促使樹突細胞的MHC1標記物活化，助於毒殺性 CD8+T細胞的產生進而透過免疫系統預防大腸直腸癌的產生。TTW1只有在iPSC細胞株表現出專一性，同時資料庫顯示TTW1在大腸直腸癌中具有高表現量。 目前未有文獻探討抗原疫苗的應用，團隊未來專注合成iPSC中TTW1蛋白，進一步開發成大腸直腸癌疫苗。

本研究結合奈米技術及生物醫學，創新以牛血清蛋白為載體，以一步法合成全新CuxFe3-xO4@BSA-IR780(CFO@BSA-IR780)多功奈米複合材料。材料鑑定由TEM、UV-Vis等儀器進行組成及性質分析。 材料中BSA賦予其優異水溶性；鐵離子有益在腫瘤觸發內源性H2O2產生活性極高的氫氧自由基，進行化學動力治療(CDT)。且光敏劑（IR780）讓材料呈紅色螢光，在近紅外光照射兼具光熱(PTT)與光動力治療(PDT)特性。 然而腫瘤內源性穀胱甘肽(GSH)過量會消除自由基，限制CDT/PDT效果。因此材料摻雜銅離子，藉氧化數變化增強療效。 後續更將CFO@BSA-IR780實際運用於细胞測試、螢光顯影與MRI檢測，確認低毒性、治療效果佳，並率先結合兩種診斷。成功發展具CDT、PDT、PTT及腫瘤顯影之多功奈米複合材料，以多種方式提升效率並降低傷害，提供醫學新興之藥物材料。

本研究以功能性近紅外光頻譜儀，探討雙側主要運動皮質(M1)、前運動皮質(PMC)及聯合動作皮質(SMA)等動作相關腦區，以實際執行(ME)、動作心像(MI)、動作觀察(MO)及鏡像動作(MVF)等模式執行上肢功能性前伸動作(Arm reaching)時，腦部之活化情形。研究結果發現「實際執行」、「動作心像」與「鏡像動作」執行時，動作相關腦區皆顯著活化，包含M1、SMA及PMC。且可觀察到執行「動作心像」、「鏡像動作」時之大腦活化模式與「實際執行」呈現相同趨勢。此結果可應用於臨床復健訓練中，對於上肢偏癱患者(如中風患者)，建議使用「鏡像動作」模式訓練，而對於雙側皆有動作障礙之患者(如頸部脊髓損傷)，可使用「動作心像」作為替代治療。

前人研究發現在乾旱與高鹽的非生物逆境下，水稻體內的離層酸濃度上升，進而活化RePRP基因的表現，以減少水分散失渡過環境逆境。而同樣會活化RePRP基因表現的茉莉酸，是植物在對抗生物逆境時重要的激素。因此實驗中以萵苣及稻熱病菌為植物排他與植物防禦的刺激者，測試水稻的RePRP基因表現實驗，結果發現RePRP基因大量表現株會抑制萵苣的胚根及幼苗生長，推測與他種植物共同栽培時，會誘導RePRP基因表現，使水稻進行排他作用。另一方面發現當水稻被稻熱病菌感染後，RePRP基因抑制株的幼根與幼苗長度較短，而以不同濃度的MeJA處理後，RePRP基因過表現株其根部幾丁質酶的分解能力較佳，且當MeJA的濃度越高，幾丁質酶的濃度也隨之增加。因此推測真菌感染後，會誘導RePRP基因表現，造成幾丁質酶濃度增加，協助水稻抵抗真菌感染。

Brahmagupta n-gons是邊長為整數的圓內接多邊形，其對角線長與面積亦為整數，半徑為有理數。而作者發現參考文獻[2,3]建構的完美多邊形其實就是Brahmagupta n-gons經過適當伸縮後，使得外接圓半徑為整數時的圓內接多邊形。 參考文獻「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2] 與「建構三種以上相異整數邊長的圓內接多邊形」[3]是我2020年的作品，我建構了多類兩種以上相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。因為我的建構方法會使得外接圓半徑很大，故本研究先討論在單位圓上邊長為有理數的圓內接多邊形，再將其適當地伸縮後，即可得邊長為整數的圓內接多邊形。 在n倍角公式的研究方法也由隸美弗定理改成使用柴比雪夫多項式做更深層的刻畫，完整的找出多種相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形的一般式。

本研究源於 2016 年數學雜誌 Crux Mathematicorum 的三角形定性問題[1]，我們將這個問題由四個方向進行推廣——多邊形邊數、頂點連線方式、等腰三角形角度、全等多邊形的夾角，再創新探討其定量與定性性質。首先，我們將任意全等的三角形與任意四邊形夾角為任意實數下的衍伸圖形之定量與定性性質進行完整刻劃，利用測量師公式分別針對不同連線情形下的兩個衍伸圖形的有向面積之和與有向面積之差進行完整討論，再巧妙利用平移不變性處理行列式級數和而給出面積不變量關係式。第二，透過向量、矩陣運算與純幾何方式探討面積不變量的幾何意義，並給出衍伸圖形之間的全等、相似、透視、對稱、共線、平行、退化等優美的定性性質。最後，我們系統性推廣到平面上任意封閉多邊形，嘗試以較高的觀點切入，透過矩陣變換給出其幾何結構，並且發現許多實質有趣的定性與定量統一結果。

由於經濟需求，人們對於農藥的使用量增加，若善後工作處理不當，易使汙染落入環境中，造成生態汙染及食安疑慮，因此本研究製作二硫化鉬奈米片作為選擇性的二維吸附材料，在過程中產生結構上的缺陷，進行化學反應吸附環境中的毒性硫化物。並使其摻混於氣凝膠中，應用於水溶液中去除常見的農藥—得恩地。 透過合成以二硫化鉬為基材的氣凝膠，在定溫定壓及pH值範圍恆定的前提下，我們分別以吸附時間、起始濃度作為操作變因，研究其奈米級二維材料與其氣凝膠之移除率、最大吸附量和恆溫吸附模式，並與活性碳比較後，發現二硫化鉬奈米片具有特異性之有效吸附，氣凝膠易於回收並可增進其吸附量之優勢，進而達到去除汙染物的目的。