2013年

本研究接續去年的研究主題”驚奇的數”，邊長為平方數的三邊形數亦為四邊形數的問題。解決這個問題後，利用Pell方程式與矩陣計算來求哪些邊長的p邊形數亦同時為四邊形數。處理方法分為兩類：第一類可以使用矩陣計算來討論，已討論出附帶方程式部分的初始解情形，並嘗試改進矩陣計算的漏解問題以及對數據做詳細分析、歸納。目前已有兩種方法：1.放寬附帶方程式初始解的限制，也就是縮小遞迴式的係數；2.伸縮雙曲線為一套固定的方法，可以解出原矩陣計算所遺漏的解。第二類無法使用矩陣計算，利用因式分解的技巧處理，發現結果與切比雪夫多項式有著密切關係。

利用電腦瀏覽圖形式資訊的時候，常受到螢幕空間大小的限制，沒有辦法在顯示圖形整體結構的同時也顯示細節部分。超廣角鏡頭是一種短焦距、大視角的相機鏡頭，鏡頭成像的時候，會有中間部分放大而周邊部分縮小的情形，藉由這個特性，我們發展出了一種新的圖形導覽介面，在瀏覽圖形式資訊的時候，有個圓形區域，該區域可隨著使用者的意願而自由移動，而區域內的圖形是以模擬超廣角鏡頭成像的方式呈現，且能夠與圓形區域外的圖形做銜接，如此，在瀏覽圖形式資訊的時候，除能夠顯示整體的結構外，也可以不開啟新視窗及無遮蔽的方式，即時地將想要觀察的部分做局部放大以展現細節。

小腦萎縮症第三型SCA3為體染色體顯性遺傳疾病。已知為CAG三核甘酸重複序列數目過多的動態突變，造成polyQ在腦部神經細胞核內形成包含體，這種蛋白在細胞內長期堆積會導致細胞退化並死亡。此外，在SCA3熱休克蛋白的表現量較低，使蛋白不正常聚集造成細胞大量釋放氧化性刺激，促使細胞走向凋亡。根據先前研究發現低劑量綠茶多酚EGCG (epigallocatechin-3-gallate) 具有抗氧化且選擇性保護神經細胞的功能，避免氧化壓力導致細胞凋亡。此研究以SCA3患者與正常人的淋巴母細胞株來研究，給予EGCG保護來觀察EGCG在患者與正常人的細胞內對H2O2氧化壓力的耐受性差異，進一步探討EGCG對SCA3熱休克蛋白的表現量，同時觀察EGCG是否影響抗凋亡蛋白的表現。

本研究主要探討傾角對面轉變的影響與面轉變的原因。當柱體由肥皂水中拉起時，泡膜圖形可分為中央膜平行與垂直底面的形式，兩種形式因高的變化而互相轉換的過程稱為面轉變。三到六角柱傾角越大，面轉變時的高越大，反之亦然；六角柱可以面轉變，且在40°到45°之間有臨界角度存在。本研究以力與能量的角度解釋面轉變．泡膜藉由改變面積以達到最低的能量、維持穩定狀態，因此本研究計算、比較不同形式的泡膜面積，以解釋面轉變。我們同時發現三角錐與四角錐都不會發生面轉換；三角錐的實驗值多大於理論值，四角錐的實驗值則多小於理論值。

Gangrene is the death of tissue of certain parts of the body. In Indonesia, people who suffer from Diabetes will also often suffer from Gangrene, which usually affects a patient’s feet. The medication for it is not affordable for everybody. I have chosen the Horseshoe Crab, simply because it’s known widely in Indonesian and can be found easily. Also, due to the fact that, among all crustaceans, the Horseshoe Crab contains the highest levels of Chitin. By using the Chitin found in the shell of the Horseshoe Crab, I shall endeavor to heal the Gangrene of Diabetic Patients.

題目緣由是數學奧林匹亞預選題的其中一題組合問題，題目探討在2^m×2^m的棋盤中(m∈N)先分割出對角線上的2^m一單位正方形，之後將剩下兩塊狀似等腰直角三角形的棋盤分割為若干個不重疊的矩形，求此棋盤被分割出的所有矩形周長和最小值。本文將原命題推廣至nn×n棋盤與m×n棋盤的情況，在2^m×2^m中達到周長最小值的矩形分割方式十分直觀，但證明過程中直接構造函數2x〖log〗_2 x以及利用琴生不等式等方法不甚直觀，於是我們在n×n部分的最後給出了另解，並說明原題為其特殊情況。 n×n的部分沿用原題之方法定義了十字分割，我們證明了利用完全十字分割可達到最小值，為4n(m+3)-2^(m+3) (其中2^m≤n

在這分作品中我們在球面上尺規作圖。目的是要完整描述球面上可作的角度。我們從平面尺規作圖的知識出發，卻遇到了困難，像是有很多平面尺規作圖的方式不能被如法炮製地運用到球面上。為了達成目標，我們著手探討在球面上和平面上作圖方式的關係，方法如下：先定義兩個重要名詞S ：球面上能作角度（弧長）的集合和P：平面上能作角度（弧長）的集合。透過向量方程式的證明我們得到S⊆P。利用我們從球面三角學公式衍生出的作圖方法，並藉由「體」證明出P⊆S。在P=S 的基礎上，我們引用伽羅瓦理論的已知結果，終於得到結論，也就是「球面上一個角度可作若且唯若其餘弦值為1經過有限次的加減乘除與開平方根運算」。最後我們也給出了球面上正4邊形、正5邊形和正17邊形的作法。

(PA)+(PC) =t為以A、C為焦點的橢圓，滿足(PA) +(PC)=(PB)+(PD) =t的P點軌跡可視為以A、C及B、D為焦點且長軸等長的橢圓在長軸變化過程中的交點軌跡，稱該曲線為EIC(AC,BD)。本研究主要討論四邊形ABCD為鳶形時，EIC(AC,BD)的代數方程式、曲線變化情形及其是否平滑。我們可將EIC曲線分為三類： 1.兩條非封閉曲線 2.一條非封閉曲線及一條封閉曲線 3.一條封閉曲線。由兩條曲線變為一條曲線的臨界條件為(BA) ̅=(BC) +(BD)，此時圖形為一條非封閉曲線及一點（B點），此時EIC(AC,BD)曲線族的包絡線為以B、D為焦點、長軸長為(AC) ̅的橢圓。另外，從代數方程式得知除了原點為奇異點，EIC曲線為平滑曲線。從圖形可發現EIC曲線與雙曲線、橢圓曲線(Elliptic Curve)、蚌線(Conchoid of de Sluze)極為相似，而其實質關聯性則有待未來研究。

Saccharomyces cerevisiae 藉由出芽生殖的方式產生子代，而執行的次數並非無所限制。酵母菌一生的分裂次數(壽命)稱為 Replicative Life Span ( RLS )，指的是母細胞在停止分裂前所產生的子代數目。本實驗將老單倍體細胞( RLS 中位數: 6代 )和年輕單倍體細胞( RLS 中位數: 20代 )透過有性生殖的方式形成合子，發現合子的 RLS ( 中位數: 10.5代 )會受到老細胞的影響而縮短，並且接近兩單倍體親代 RLS 中位數的算術平均數( 13代 )，而其 F1 子代的 RLS 卻能回復與雙倍體相似的壽命。發現單倍體親代老化導致合子短命，可進一步推測人類生殖細胞老化對受精卵的影響模式。