任意進位制下計數問題的公式解
對於任意正整數m和大於1的正整數p，將集合{m,m+1,...,pm-1}中的每一個元素用p進位制表示。令h為介在1到p-1的正整數，將上述集合在p進位制下有i個h的元素個數記為fh,i(m,p)。本文引進一個創新的想法，讓函數 fh,i(m,p)公式解的推導變得可行且簡單。 再者，當 p=2 時，令 fi(m)= f1,i(m,2)，由公式解可以推得對怎樣的正整數n，原像集合the preimage fi-1({n})之元素個數為1。
從心開始-三角形的四心到各邊距離和
此研究討論三角形𝐴𝐵𝐶的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1.用外接圓半徑𝑅及∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶表示各心到三邊之距離。 2.設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑑4 ，其大小關係為： (1)在銳角∆中，𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ 𝑑4 ≥ 𝑑3，僅當正∆ 時，等號成立。 (2)在直角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 > 𝑑3。 (3)在鈍角∆中，𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 恆成立。𝑑3與𝑑1、𝑑2、𝑑4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 (4)在鈍角∆中，若最大內角≥ 120° ，則𝑑3 > 𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4。 3.在銳角∆ 及直角∆ 中，等式𝑑2=2/3 𝑑1+1/3 𝑑3和 𝑑2+1/3 𝑑1-1/3 𝑑3-1/3 𝑑4 = 𝑅 恆成立。
AI時光機-利用照片轉換技術重溫在地歷史
目前網路上流傳許多使用人工智慧修復照片的網站或應用軟體。然而,由於這些訓練資料多數來自國外,導致修復中式建築照片的效果欠佳。此外,許多老舊照片因氧化、潮濕而泛黃,使得修復程序比起修復純黑白相片更加困難。因此,本研究旨在建🖂一個專門修復中式建築物的機器學習模型,主要分為以下三個部分:首先,使用機器學習模型對老舊照片進行修復,包括著色、去模糊化和降噪;其次,分析使用不同比例之有色調照片(模擬泛黃照片)訓練模型的效果;最後,研究不同的修復順序(著色、去模糊化、降噪)和模型執行次數對照片修復效果的影響,發現「著色、去噪、去模糊化」的順序修復效果最佳。此外，許多老舊照片因為受損等原因，只剩下極少的特徵，因此本研究採用機器學習模型，以延伸重建原始照片。透過這種方法，我們能夠重新建構當時建築物周圍可能的場景和情境。