Σn=1∞(n/(Cn2n))=√(x/(4-x)3) (√x(4-x) + 4sin-1(√x/2))與其相關的無窮級數
本文從一個博奕遊戲談起，探討遊戲的期望值得到一無窮級數Σn=1∞n/Cn2n 並嘗試用相關的數學概念與方法思考，首先處理問題Σn=1∞n/Cn2n 與Σn=1∞n2/Cn2n 的值，過程中利用了Σn=1∞n/Cn2n 函數與Σn=1∞n2/Cn2n 函數的性質將欲求之無窮級數轉化成積分或微分方程式的型態，再利用奧斯特洛格拉德斯基積分方法解出所求。 為了更有效率的得到相關之無窮級數，引進了微積分工具中之冪級數的概念，輔以微分方程式公式解求出了 f(x)=Σn=1∞Xn/Cn2n =√x/(4-x)3 (√x(4-x) + 4sin-1(√x/2)), x∈(-4,4), 進而推廣、延伸與其相關的一系列無窮級數，並利用導函數f'(x)求得 Σn=1∞n·2n-1/Cn2n的值。 接下來討論與f'(x)相關的無窮級數，發現可利用f(x)的高階導函數透過迭代方式得到Σn=1∞nm/Cn2n的值，其中m為任意正整數，歸納這些級數後可以應用在本文之博奕遊戲，讓獎金的選擇更富有變化性。 最後觀察f(x)與卡塔蘭數列{Cn}的倒數所構成之冪級數有所關聯，解出 Σn=1∞Xn/Cn的收斂函數後求出了Σn=1∞1/Cn的值以及{1/Cn}的偶數項與奇數項的和。
圓周上跳躍回歸問題之研究
圓周上相異n個點，將圓周分割成n段弧，每次每個點沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之中點，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，m的最小值為n+2。更進一步發現，m的充要條件為m≧n+2且m≠kn-1, kn, kn+1，其中k為正奇數。接著，我們將問題一般化，圓周上相異n個點，沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之p:q處，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，若p, q∈N，(p,q)=1，當變換次數r足夠大時，此n個點的位置會收斂至圓周上n等分點，同時，此n個點會在變換T=n(p+q)/(n,p)次後再次收斂至相同的位置。在這篇研究中，我們推導出任意點Pi變換r次後的點之位置坐標Ai(r)的一般式，不失一般性，我們針對P0求出A0(r)的最小極端值Lr與最大極端值Ur，在變換次數r足夠大時，透過觀察Lr與Ur對應到圓周上的收斂位置所形成的區間是否涵蓋原點，可預期P0變換r次後可否回歸。此外，我們也針對n個點具特殊初始位置座標來研究其回歸性質。