從心開始-三角形的四心到各邊距離和
此研究討論三角形𝐴𝐵𝐶的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離,並依銳角、直角及鈍角三角形,去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為: 1.用外接圓半徑𝑅及∠𝐴,∠𝐵,∠𝐶表示各心到三邊之距離。 2.設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為𝑑1, 𝑑2, 𝑑3, 𝑑4 ,其大小關係為: (1)在銳角∆中,𝑑1 ≥ 𝑑2 ≥ 𝑑4 ≥ 𝑑3,僅當正∆ 時,等號成立。 (2)在直角∆中,𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 > 𝑑3。 (3)在鈍角∆中,𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4 恆成立。𝑑3與𝑑1、𝑑2、𝑑4比較,並無絕對關係,但在等腰鈍角∆,我們給出其大小順序的臨界值。 (4)在鈍角∆中,若最大內角≥ 120° ,則𝑑3 > 𝑑1 > 𝑑2 > 𝑑4。 3.在銳角∆ 及直角∆ 中,等式𝑑2=2/3 𝑑1+1/3 𝑑3和 𝑑2+1/3 𝑑1-1/3 𝑑3-1/3 𝑑4 = 𝑅 恆成立。