我們稱滿足遞迴關係an = aan−1 的非負整數數列為「自指數列」。本研究探討其循環性質，發現若存在某個非負整數m 使得am ̸= m+1，則數列從某一項開始會進入循環，且循環長度與am 相關。我們推導出如何根據初始條件計算數列的循環長度，並進一步引入週期與最小循環起始項的概念，定義per(s,p) 自指數列。透過研究，我們找出per(s,p) 各項滿足的充要條件，從而判定自指數列的值。最後，我們證明了一個定理，能夠從初始條件找出所有滿足條件的per(s,p) 自指數列。該定理使得求解數列各項的過程比原始方法更簡潔。此外，我們將此定理轉化為演算法，並以Python實作。

本研究使用磁場和微電流的刺激，分析不同頻率、特定頻率和不同電流強度的微電流對小球藻生長的影響。研究結果發現： 一、特定頻率微電流（7.8Hz、49Hz、528Hz）比無頻率（0Hz）微電流更具促進效果。 二、無意義頻率微電流（100Hz、200Hz、400Hz、800Hz、999.9Hz）對小球藻的影響可能因培養條件和電流強度而有不同的表現。 三、使用較大培養瓶需要較高電流強度，但太高的電流強度（1600μA和3200μA）反而抑制小球藻生長，顯示電流強度不是越大越好！ 本次研究觀察到特殊頻率和微電流對小球藻生長的促進效果，為綠色科技應用提供了新的可能性。未來可繼續探討不同頻率對不同藻種生長的影響，並朝向更大規模培育，以及太陽能微電流頻率產生器的應用設計繼續前進。

本研究探討銅銀奈米粒子的形態控制與抑菌性能。硼氫化鈉、寒天 Agar 及植物萃取液法，合成銅銀奈米粒子，TEM 分析粒徑大小和分散性，使用高效液相層析法(HPLC)檢測萃取液中的反應物質。結果顯示，銅奈米粒子在植物萃取液中穩定性較高，粒徑更小，具明顯廷得耳效應。銀奈米粒子因反應物濃度過高和穩定劑不足，容易聚集粒徑較大。奈米銅對大腸桿菌(E. coli)有顯著抑菌效果，而奈米銀抗菌性受粒徑影響較大。通過尖端放電，電擊處理過的奈米銀粒子，粒子數增加粒徑也明顯降低，使銀奈米粒子抑菌能力進一步提升。本研究為銅銀奈米粒子在抗菌應用領域提供了基礎，採用綠色化學製程所合成的奈米粒子，未來可透過合成條件的優化來進一步提升其性能。

本研究透過結合局部敏感雜湊（Locality-Sensitive Hashing, LSH）與知識圖譜（Knowledge Graph, KG）以改善檢索增強生成技術（Retrieval-Augmented Generation, RAG）在檢索的時候難以在精確度與效率之間取得平衡的問題。透過使用LSH 將資料分桶，接著利用知識圖譜進一步篩選資料，以提高檢索的精確度與效率。 實驗結果顯示，結合知識圖譜與LSH後的系統，在精確度（precision）上可達到91%，相較於VectorRAG 的84%提升約8.33%，與GraphRAG的96%則僅有5.21%的差距。此外，本系統在檢索時間上較GraphRAG降低了95.38%。由此可以證實，透過結合LSH及知識圖譜能在保持高精確度的同時，顯著提高檢索效率。

兩振幅相同，頻率非常接近的聲波，反方向進行干涉，所形成具有駐波與拍音雙重特性的合成波。我們稱之為「拍音型駐波」。我們使用三角函數的和差化積分析其數學性質，預測其行為，並使用程式模擬合成波波型。 為了觀察聲波，先進行普通肯特管的研究，對照文獻，了解保麗龍球的行為。最後擴充為雙聲源肯特管，使用MATLAB撰寫雙聲道聲波程式，準確控制2個聲源的音量、頻率與相位，頻率差可以達到0.01Hz，成功驗證拍音型駐波的性質，並發現其可在介質中有效推動粒子，具有潛在的工程學應用價值。

本研究發想自常見的競賽解題工具「雞爪定理」──三角形內心與三頂點構成的子三角形之三個外心落在其外接圓上。我們將條件更換為垂心和外心，關注連心線三角形，驚喜發現外心與垂心構圖具有巧妙關聯性！值得一提的是，其本質是三圓交於一點，隨後再將三圓交於一點進行一般化，利用此工具解決了2024 年加拿大數學雜誌的一道題目。我們將外心、垂心推廣成任意等角共軛點，利用反演變換證明七圓交於一點，此交點恆在原三角形的外接圓上，再利用連心線與公弦互換，給出四個連心線三角形的關聯性──相似與透視。最後迭作連心線三角形，得出其循環相似性質。整體而言，我們創新了研究項目，循序漸進刻劃出獨特且有趣的結果。

本研究以拿破崙定理為出發點，探討特殊三角形與其所構成的外接特殊圖形之間的幾何對應關係。我們關注三角形的外心、內心與重心所構成的「群心三角形」並進行其分析。 過程中，我們使用GGB進行圖形建構，建立不同類型的特殊三角形與四邊形所構成群心三角形。透過觀察與計算，分析兩個三角形之間是否具有關係並比較其面積比值。進一步地，探討旋轉角度對結果的影響，當外接的圖形發生變化時，群心三角形的結構性質亦會產生對應變化，並成功歸納出具規律性的關係式。 本研究加深了對三角形幾何的理解，也建立群心三角形在幾何理論探討中的新視角。此成果可作為幾何圖形研究的新起點，有潛力應用於生活上為未來幾何學的研究與教學提供了豐富的延伸空間。

台灣發生「土石流」頻繁，所以興建防砂壩已經是常態，然而，大量的泥砂使得防砂壩儲砂空間飽和，降低攔阻效能。因此，本研究的目的，希望找出影響調整型鋼管壩儲砂空間的因素並提出調整模式，以因應 台灣多變的氣候環境。經研究結論如下：一、壩後淤滿時，透過反覆調整鋼管壩開口，可以增加儲砂空間率，壩體的再攔阻率也會提升14.2%；二、建議枯水期調整橫桿或縱材，利用豐水期增加壩後的儲砂空間；三、壩後巨礫+粗礫逐漸提高，不利於增加儲砂空間率；四、壩後淤滿有漂流木，會造成儲砂空間率大幅降低；五、我們提出調階段性調整鋼管壩，第(一)、拆除中央橫桿、第(二)、拆除縱材、第(三)、拆除加深模式，可以增加儲砂空間並減緩土石流的衝擊。 >

本研究開發了一個基於多項人工智慧技術的多模態失語症溝通系統，旨在提供失語症患者能提升表達自我和參與社交的能力的工具。系統以iOS App作為主體，接收環境影像、語音、唇語、手勢及情緒等多模態資訊後，透過大型語言模型產生完整敘述，再以語音合成播放。研究創新開發AphasiaSim-LLM生成高度擬真的模擬失語症語料，並以量化評估取代主觀評分，證實Gemini 2.5 Flash於語句還原表現最佳；此外亦建構了輕量級手勢辨識模型，並以ORB演算法優化關鍵幀提取；透過異步處理、FFmpeg影片取幀及輕量Flux文生圖模型等優化策略，最終完成能有效輔助失語症患者進行流暢溝通之系統。

本研究試圖探索如何將資訊熵應用於Nerdle Maxi，Nerdle Maxi是一款數學益智遊戲，類似於Wordle，但要求玩家猜測出一個數學等式。遊戲的核心在於考驗玩家以有限的猜測次數，通過猜測獲得的回饋，縮小可能等式的範圍，最終猜出答案。此問題涉及對資訊的處理，讓我們聯想到資訊理論中關於不確定性的研究。根據Shannon的資訊理論，資訊熵可以用來衡量一個系統中不確定性，從而幫助我們找出減少不確定性的最佳策略。參考文獻後，我們發現有尚無人嘗試的作法，並實作、壓縮了猜測次數，保證我們能在六次內猜重。再將其與文獻中用在Wordle的做法融合後，壓縮平均猜測次數至3.38次。