探討「互相牽制」中整除問題的整數解
在這篇作品中，探討科學研習月刊中森棚教官的數學題－「互相牽制」的整除問題，此問題是指「你可以找到多少組正整數對(x, y)，讓x的平方減5為y的倍數且y的平方減5為x的倍數？」。我們除了探討原問題之外，也探討將5改為任意整數 l 的情況，我們要刻畫滿足 y | x2- l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。 首先建構生成另一組整數解的方法且推導出在 (x2+y2-l) / xy 為整數的條件下生成另一組整數解的方法。在 (x2+y2-l) /xy 為整數的條件下，可利用二階齊次線性遞迴數列及二次曲線刻畫滿足 y | x2 - l 且 x | y2- l 的所有整數解(x, y)。當上述條件不成立時，利用二次曲線試圖刻畫滿足 y | x2 且 x | y2 的所有整數解(x, y)，進一步推導出在特定條件下，可利用二次曲線刻畫滿足 y | x2且 x | y2的所有整數解(x, y)。
格子點的可見性研究
本文的主要結果有兩部分，第一部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁以原點 O為觀測點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，觀測目標為格子點陣列𝑉(𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 }，研究其中可見點的數量與機率。我們發現可見點的數量與歐拉函數及默比烏斯函數有關，可見點的機率也與黎曼𝑧𝑒𝑡𝑎函數具有關聯性。第二部分，對於固定的𝑏 ∈ 𝑁，我們在 𝑥軸與𝑦 軸上布置觀測點，以布置的觀測點為新原點，𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑏, 𝑎 ∈ 𝑄為觀測視線，研究將目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}完整觀測的布點方法與數量。得到重要成果如下，設正整數𝑚 ≥ 6且𝑇 ⊂ {1, … , 𝑚 + 1}為一個 𝐹(𝑚) −覆蓋，𝑟為大於𝑚的最小質數，對於目標點集𝑉(𝑚 × 𝑛)，建構觀測點集 𝑆2 = {(0, 0), (0, 𝑟)}∪{(𝑡, 0) | 𝑡 ∈ 𝑇}，則 𝑉(𝑚 × 𝑛)為𝑆2 −可見。並進一步研究將目標點集改為𝑉(𝑛 × 𝑚) = {(𝑖, 𝑗)|𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚}，發現其所需要的觀測點數可顯著減少。