數學

本研究探討在給定範圍的面積下，以最省錢的方式用籬笆圍出最大的矩形土地，其中矩形的邊長為正整數，且矩形對邊使用相同單價之材質的籬笆，但相鄰邊使用不同單價之材質的籬笆。我們希望透過轉換，將單價不同的情況回歸到單價相同的情況，以便完整的解決這個問題。\r 藉由改變邊長，將 轉換成 ，使問題轉換成相鄰邊之單價相同的情況；但是經過運算找出的最佳解 轉換回 後卻不一定符合「整數邊長」的要求(即 和 不一定是整數)。為了解決這點，我們重新以不同的角度探討單價相同的情形，以找出整數的最佳解。\r 最後我們發現，若 和 切線斜率的差值大於或等於1，則 坐標愈近 的解愈佳，而在差值小於1的範圍內，我們提出一個檢驗法，可以找到整個問題的最佳解，同時讓此最佳解 轉換回 後仍符合「整數邊長」的要求，進而解決問題。

給定一個P∈(0,1),令k0=0, p0=p，定義k1為能使 的最小正整數k，而 ; 相同的，對於給定的kn-1, kn 為能使的最小正整數k, 。若存在kn 使得，則稱p∈ In; 若對於所有n 與kn ，，則稱p∈ I∞。如此區間(0,1)可分解成集合I1,I2,…,I∞。

在這篇研究報告中，我們討論的是一種方形集合圖形的數量。”多元方形鏈”約略在 60 年代被提出，衍生出一系列的問題和遊戲，例如熟知的電玩軟體 『 俄羅斯方塊 』 ，或是 『 益智積木 』 的遊戲，都是多元方形鏈的應用。在這些問題當中，最令人頭痛的難題就是 n 元方形鏈的圖形總數。為了解決這道難題，我們採用一種轉換方法將圖形轉換成序組，並且給出序組的性質，再據此寫成 C 語言的程式；反覆地修改程式以增進執行效率及速度，最後利用該程式成功地統計出圖形總數。 In this report, we discussed the amount of polyominoes, the graphs of a set of squares. “Polyominoes” has been brought up in 1960s, and later developed into a series of questions and games, such as a well-known video game — Tetrix, and the game of puzzle blocks. Both are the applications of polyominoes. Among those questions, the toughest one is the amount of n-polyominoes. To solve this problem, we used a method which transforms the graphs into sequences. By looking into the properties of those sequences, we obtain a set of rules that can be used to determine the quantity of n-polyomines. The rules are implemented into computer codes in C language with proper modifications made to speed up the efficiency of our algorithm. The computational results show that the amount has been successfully calculated.

源自於Thinking Mathematically這本書的一道題目, 關於正方形的切割問題：將一個正方形切成不重疊的正方形, 所得的個數就可被稱作NICE(好的), 問有哪些數是NICE數？ 在平面的正方形切割的問題, 透過分割技巧, 我們得出了重要的結果：除了2、3、5以外的自然數都是NICE數, 並推導出：若k為NICE數, m為自然數, 則k+3m為NICE數。我們將問題推廣至立方體：將一個正方體切成不重疊的正方體, 所得的個數就可被稱作very NICE(非常好的), 問有哪些數是very NICE數？我們也得出重要的結果：大於47的自然數皆為very NICE數, 並推導出：若 是very NICE數, 且m是自然數, 則k+7m為very NICE數。

我們先假設有一正方體及一截過正方體之平面，並設正立方體為一k*k*k 之立體。為計算平面截過之單位正立方體個數，我們必須先分別計算各層被切過之個數再將之相加，因此將各層面投影至同一平面，簡化為平面上之問題，並討論其性質／規律，計算平面截此正立方體之個數。如此，便可以一般化數學式計算平面截正立方體個數之問題。接著，用以上方法為基礎，討論各種平面切正立方體之類型，將被平面所截之單位立方體個數以電腦程式算出，觀察數字變化及其性質規則，並找出最大值發生之條件。 We initially supposed that there are a regular hexahedron consists of unitary n × n cubes and a plane which incises the regular hexahedron. To calculate the total number of the unitary cubes incised by the plane, we can first calculate them layer by layer and then sum them up. And further, we project each layer on the same plane, so the three-dimensional problem is simplified into two-dimension. By making use of the character which results from projection, we can easily calculate the number of the unitary cubes incised. Consequently, we are able to calculate them with a general equation. Afterward, we research each circumstance that the plane incises the regular hexahedron on the base of the mentioned methods. Calculate them with self-designed computer programs, and observe the regulation and change of the result. Furthermore, we can find out when it will achieve the maximum.

若從一個三角形的外接圓上取一點，作其對三角形三邊的垂足，我們知道這三點共線，是為西姆松線。\r 那麼當此點不在圓周上的情形呢？自平面上一點對一三角形的三邊分別做垂線，得到三垂足，並作此三垂足的外接圓，我定義其為：此點對此三角形的西姆松圓。這篇作品主要成果便是對西姆松圓的研究。透過不斷的研究，發現了許多關於西姆松圓的神奇性質，並得到了一些結果，主要的研究方向：討論共點、共圓、相似。\r 這篇報告是循序漸進的，後面的結果常用到前面的知識為基礎。此篇另一特點是：全篇的證明皆是自已給出的，採用方法皆為一般幾何證明，而沒有用到解析證明。\r 在研究過程中也得到關於著名的費爾巴哈定理及大上茂喬定理的另一種證明。

本報告的目的在：電腦Cabri 3D 軟體上模擬出「類球狀多面體」（圖1-8），\r 並實作其模型（圖9）與它們的星體（圖10）。「類球狀多面體」的定義如下：\r 可由「正多面體」切出之多面體，且需滿足以下性質：（1） 除「正多邊形」外，\r 其餘皆是「六邊形」。（2）鳥瞰每個「正多邊形」時，形狀皆保持不變。（3）\r 等長的稜數最多。\r 以「正十二面體」切出之「類球狀多面體」為例，（圖1）中兩個「正五邊形」\r 相距一個「六邊形」簡稱A1。（圖2-4）依序為A2、A3 與A5。正二十面體可切\r 得（圖5-6），正六面體可切得（圖7-8），......等。（圖9）為A2 的實體模型，\r （圖10）為A2 的星體模型。

在學校科研營的教材中，有一個題目，其內容相當於:「在一列格子中 放入黑棋與白棋。白棋不可連續放置，而黑棋不受此限，請問共有幾種可能的排列方式?，在此規則下，若將格子推廣為m列n行的棋盤，那又如何呢?我們對此好奇不已。

滿足之M點是否為重心之探索

滿足之M 點，我們稱之為Pi(i=1…n)的均值點。當n=3，M 恰為△P1P2P3 的重心 (G); n=4 時，M 亦為三角錐P1P2P3P4 的重心！因此不免引人遐思：滿足之M 點是否皆為其重心？ 我們藉由電腦幾何作圖軟體GSP 協助觀察，掌握了圖形變化間之不變性，再配合向量解析及推理，得以發現均值點、多邊形的重心、以至多面體的重心、及平行多邊形的一般性作法。附帶又發現：任意相鄰三頂點即可決定一平行n 邊形。並進而證實：平行四邊形為四邊形M＝G 的充要條件。但當n≧5 時，平行n 邊形只是n 邊形M＝G 的充分非必要條件！一般而言，具有對稱中心O 的n 個點所構成的圖形必可使M 與G 重合於O 點上。 The point M satisfying is called “the mean point of Pi(i=1…n)”. As n=3, M is the center of gravity (G) of the △P1P2P3. If n=4, then M is also the center of gravity of the triangular pyramid P1P2P3P4. Therefore, I began to wonder if the following assumption stands: The point M that satisfies is always a center of gravity. By using the computer software GSP (The Geometer’s Sketchpad) to observe figures. It is found that when a figure is changing there is still constancy. Furthermore, supported by the analysis based on vectors, general constructions can be established concerning the mean point, the center of gravity of polygon, the center of gravity of polyhedron, and the parallel polygon. Also, I find that any three neighboring vertexes decide a parallel polygon. And thus it is verified that the parallelogram is the sufficient and necessary condition for quadrilateral M=G. As n≧5, the parallel n-sides shape is the sufficient, not necessary condition, for n-sides shape M=G. In general, a central figure of n points having the center of symmetry O can make M and G meet on O.