數學科

本作啟發自線上的影片「Can you solve the giant iron riddle?」，內容是在有外觀無法辨認的4顆有電與4個沒電的電池中，在一次只能取2顆電池測試的限制下，以最少的次數找到2顆有電電池的方法，結論是以分組的方式進行測試會有較佳的結果。本作先驗證影片的方法有效後再進行推廣，得到找出2顆有電電池較佳的方法為分組法或直接取法。再嘗試推廣至取3顆電池的情形，發現除了分組法與直接取法外，還可使用「X2Y1循環檢查法」。最後改良「X2Y1循環檢查法」後，不但可以有系統地測試所有可能的情形以外，能更有效地減少測試次數，提高尋找有電電池組的效率。

鳥巢裡有n隻小喜鵲與1隻小斑鳩。小喜鵲分別編號1~n，小斑鳩編號0，這n+1隻小鳥圍成一圈，等待喜鵲媽媽的餵食。喜鵲媽媽餵食過程會遵守以下規則：當餵食完編號X的小鳥後，會順時針往下X個位置餵食下一隻，而餵食過程中若餵到小斑鳩，小斑鳩會將食物吃光。 本研究除了找出原題的三個答案外，並探討以下五個問題。 一、1隻小斑鳩和n隻小喜鵲按照0、1、2、3……順時針圍成一圈時，從哪一隻開始餵食，會讓最多的小喜鵲吃到食物？ 二、承一，吃最多份食物的小喜鵲，吃了幾份食物？ 三、重新安排小喜鵲的位置，使得每隻小喜鵲都能吃到食物。 四、承三，將小斑鳩的數量增加到m隻。 五、將研究結果運用於--值日生的安排、小組報告的順序……。

如果正整數 存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本文主要用不同方法探討質數環的存在性。在本文與文獻中，都沒有解出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，證明對於特定值的質數環存在性，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本文的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字間的關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本文提出不需要使用孿生質數的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題更一般化。

本研究針對在圓形棋盤上玩三子連線棋進行探討，發現棋盤必須平分成偶數等分，且最少要八等分才能進行遊戲。當在八等分單圈圓形棋盤上玩三子連線棋，玩家選擇雙活路型、包圍型、遠水型等3種布棋策略，可以贏棋。 根據樹狀圖的路徑分析，發現最快只要進行三回合，玩家就能分出勝負。整體來說，八等分單圈圓形棋盤三子連線棋遊戲對先手較有利；第1步先手要選擇不往圓心、改往旁邊移動，才是對先手較有利的贏棋方式，這和玩井字棋時要先佔據中央交叉位置的策略不同。 當更動棋子最初的擺放位置、增加平分單圈圓形棋盤的等分數、更改棋盤為雙圓圈形式都會增加遊戲的變化性，值得日後進一步探討。

2023年9月數學雜誌《Crux Mathematicorum》刊登有趣的三角形內心的幾何問題，我們先證明了原命題的長度性質，再創新刻劃出有趣的面積不變量。隨後將內心推廣到旁心、垂心與外心的建構，並且證明僅此四心的建構下才有長度與面積不變量。值得一提的是，除了前述的定量項目外，我們也發現四種建構下的三線共點之定性性質，同時刻劃四種建構的關聯性是漂亮的等角結構，這是本研究亮點。推廣到多邊形，我們發現本質的幾何結構為截線的角平分線性質（內心與旁心的結合），從而將此問題轉換成一般性問題，並給出了豐富的等長、等角、等面積之性質，以及連線多邊形恆為圓外切多邊形。

本研究是將圓形蝴蝶定理推廣至四邊形，首先將四邊形分成梯形、平行四邊形、一對角線被另一對角線平分的四邊形，再推廣至任意四邊形，發現四邊形也有蝴蝶定理。而蝴蝶形的中心可以是四邊形兩對角線的交點，若一對角線被平分時，則以此對角線為蝴蝶線就有蝴蝶定理，若此對角線不被平分就有坎迪定理；若將此中心沿著另一對角線移動就有類坎迪定理，沿著原對角線移動就有坎迪延伸定理，若此對角線再被平分，就有等比例蝴蝶定理。最後利用三線共點的作圖法，成功將四邊形蝴蝶定理一般化。並透過不斷地延長多邊形不相鄰的邊，將多邊形退化成四邊形，從而得到多邊形的蝴蝶定理，只是此時蝴蝶形不一定內接在多邊形的邊上，也可能接在邊之延長線上。

科學研習月刊上有一道數學問題，將編號1至5的鵲與1隻鳩(編號0)任意排成一圈，鵲媽媽由k號鵲開始餵，下一次順時針數k隻鳥後，餵第二隻r號鵲，再順時針數r隻鳥後餵第三隻，依此類推且鳩吃不到食物，我們成功找出原題不讓鳩吃到食物的解。但隨著鵲與鳩的增加，直接討論餵食順序與位置關係越趨困難，所以用鵲(n隻)不重複餵食進行討論得出成功餵食順序，也推出鵲鳩圍成一圈的排列位置。因此，我們證明出n鵲m鳩成功餵食的有解條件，並用排列組合與對稱性算出成功餵食順序的方法數。最後，我們也改變餵食方法，採餵食後跳過不數的方式，發現成功餵食順序的方法數不會隨著鳩數增加而改變，皆為編號1至n的鵲的直線排列數n!。

在這次的研究中，我們在書上看到了一個問題，是一道有關於在棋盤上，貓和老鼠不能看到對方的問題。我們先研究這個題目中棋盤大小、貓和老鼠數量的規律，我們從1×1一路研究到了8×8，並且試著找出在不同棋盤大小的遊戲中，要有幾隻貓才能讓老鼠的平均數量接近2隻，之後我們將 題目設計成對戰的遊戲。 我們首先設計了一個棋盤大小是6×6的桌上型遊戲，並且修改過幾次規則。後來學習了程式設計，把遊戲改到電腦裡遊玩，我們使用scratch寫程式來製作遊戲，並且把原本6×6的棋盤擴大改成了8×8的棋盤。我們在試玩的過程中，又再次把一些不公平的遊戲規則修改了一下，最後我們和同學一起試玩遊戲，製作出了屬於我們的「貓鼠終極戰」。

本研究的結果如下：一、對於1xn方格表，快速排法為每格填0其可填1的個數最大值=0。對於mx1方格表，快速排法為每格填0其可填1的個數最大值=0 。 二、當m>1，n>1時，2xn方格表快速排法為一半方格填1，一半方格填2，如圖5-2-5在2xn方格表可填1的個數最大值=n，對於mx2方格表，快速排法可以將表格旋轉90度，再用2xn方格表的快速排法 即可達成，則mx2方格表可填1的個數最大值=m 。三、在探究原始問題4x5方格表填入最多1的方格數量方法上，推得最佳策略行數=(4n-2m)除以3此最佳策略行數可應用於：mxn方格表，m=3k+1，n=3t+2且3k+1<3t+2<2(3k+1) 。四、對於mxn(m不小於3且n不小於3)的方格表，分成六種類型，推導出可填入最多1的方格數量之快速排法與計數公式的六個定理。

玩昆托遊戲時，如能在給定九宮格中以符合要求條件(連塊數量)方式合成目標值，就可破關。依據排列可知固定九宮格數字下，共120個昆托九宮格。透過翻轉與比較，只需討論其中6個昆托九宮格，其他情況相同。 我們先以不同連塊放入固定九宮格中找到目標值公式。接著在改變數字位置的方式下，將6個昆托九宮格形成循環，分別為九宮格1到6。我們發現只要根據九宮格1的5種數字結合規律，就可以推論出其他5個九宮格目標值分布的情況，並找到昆托目標值的集合種類，進而推出另外4個不同的循環，找出30個昆托九宮格的連結關係。另外，從九連塊目標值公式延伸發現只需要變數集合與紀錄矩陣，可快速記下產生目標值公式。