數學科

鳥巢裡有n隻小喜鵲與1隻小斑鳩。小喜鵲分別編號1~n，小斑鳩編號0，這n+1隻小鳥圍成一圈，等待喜鵲媽媽的餵食。喜鵲媽媽餵食過程會遵守以下規則：當餵食完編號X的小鳥後，會順時針往下X個位置餵食下一隻，而餵食過程中若餵到小斑鳩，小斑鳩會將食物吃光。 本研究除了找出原題的三個答案外，並探討以下五個問題。 一、1隻小斑鳩和n隻小喜鵲按照0、1、2、3……順時針圍成一圈時，從哪一隻開始餵食，會讓最多的小喜鵲吃到食物？ 二、承一，吃最多份食物的小喜鵲，吃了幾份食物？ 三、重新安排小喜鵲的位置，使得每隻小喜鵲都能吃到食物。 四、承三，將小斑鳩的數量增加到m隻。 五、將研究結果運用於--值日生的安排、小組報告的順序……。

本研究從分析產生n倍等角差線的聯立方程式與參數式出發，首先從觀察圖形的變化及計算，得到不同初始條件下的圖形分類，進一步探索其漸近線、輻射點的特性，並解決文獻中的稠密性猜想。 本研究再考慮n倍等角差線經旋轉、鏡射、反演後的圖形，討論封閉圈數，並求得分割區域數。並且得到當n為有理數時，能利用圖形逆推n值。

本研究從彭羅斯瓷磚出發，將飛鏢與風箏沿對稱軸切出角度分別為108˚、36˚、36˚及 36˚、72˚、72˚的等腰三角形，將兩者的短邊設為1分別定義為 A、B元件。拿數量不等的兩種元件拼成與原本元件相似的三角形得出所有腰邊長為𝑥+𝑦𝜑的相似A元件，以及所有腰邊長為𝑥+𝑦𝜑(𝑥≠𝑦+1)的相似B元件，都有辦法利用A、B元件拼貼出來，其中𝑥、𝑦為正整數。 本研究訂定「強制匹配費氏拼法」來拼貼相似A、B元件從而建構出非週期性鑲嵌彭羅斯瓷磚。使用的拼法為後一個圖形是前兩個圖形的組合，且過程中因需符合強制匹配弧線，在拼貼相似B元件時，需將前一個圖形翻轉後再經旋轉將兩個圖形組合。本研究找出拼湊結合時，產生飛鏢與風箏數量的規律推算出總數量的遞迴關係式。

在探究騎士過城堡的棋盤格遊戲中，我們發現棋盤設計巧妙，玩家可以從任意棋盤格出發，利用西洋棋中騎士的L形走法，跳過棋盤上的每一格且僅能跳一次，最終返回起始點以通過城堡。本研究的目的是在4x4棋盤格中，找出符合遊戲規則的棋格圖形。首先探討3x3棋盤中任意兩格與其路徑圖形之間的關係，發現了路徑與圖形間的相對關係，將此發現應用於4x4棋盤，並以「路徑探戡法」通過Python程式分析生成棋盤格圖形的路徑，刪除不符合遊戲規則的圖形，合併重複、對稱和旋轉對稱圖形。最後篩選出的棋盤格圖形，依棋盤格子數量分類：8格的有1個、10格的有8個、12格的有9個、14格的有1個，總共19個符合遊戲條件的棋盤格圖形。

2023年9月數學雜誌《Crux Mathematicorum》刊登有趣的三角形內心的幾何問題，我們先證明了原命題的長度性質，再創新刻劃出有趣的面積不變量。隨後將內心推廣到旁心、垂心與外心的建構，並且證明僅此四心的建構下才有長度與面積不變量。值得一提的是，除了前述的定量項目外，我們也發現四種建構下的三線共點之定性性質，同時刻劃四種建構的關聯性是漂亮的等角結構，這是本研究亮點。推廣到多邊形，我們發現本質的幾何結構為截線的角平分線性質（內心與旁心的結合），從而將此問題轉換成一般性問題，並給出了豐富的等長、等角、等面積之性質，以及連線多邊形恆為圓外切多邊形。

本研究是將圓形蝴蝶定理推廣至四邊形，首先將四邊形分成梯形、平行四邊形、一對角線被另一對角線平分的四邊形，再推廣至任意四邊形，發現四邊形也有蝴蝶定理。而蝴蝶形的中心可以是四邊形兩對角線的交點，若一對角線被平分時，則以此對角線為蝴蝶線就有蝴蝶定理，若此對角線不被平分就有坎迪定理；若將此中心沿著另一對角線移動就有類坎迪定理，沿著原對角線移動就有坎迪延伸定理，若此對角線再被平分，就有等比例蝴蝶定理。最後利用三線共點的作圖法，成功將四邊形蝴蝶定理一般化。並透過不斷地延長多邊形不相鄰的邊，將多邊形退化成四邊形，從而得到多邊形的蝴蝶定理，只是此時蝴蝶形不一定內接在多邊形的邊上，也可能接在邊之延長線上。

本作品靈感來自於其中一題日本算額問題（Sangaku problem）。該題是將一正△ABC的三邊上依固定比例各作其內分點，並由三頂點與各邊內分點連線段，此三線段會將△ABC被分割成四個三角形（如圖二）。本研究改變其分割方式，研究題目為：在△ABC中，L、M、N分別為 ̅BC、 ̅AB、 ̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則△ABC內切圓半徑等於△LMN內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究找到△ABC各邊上三點L、M、N的相對位置，並透過二次體擴張的概念說明L、M、N三點的相對位置是能夠利用尺規作圖實現的。最後也計算當△LMN存在時，三等圓半徑（r）的上界。從上述的分割三角形的方式擴展至正n邊形時，也將原先在ABC中的分割手法延伸至正n邊形和正四面體進行研究。

本主題是研究七巧板拼凹多邊形的拼法 。 我們得到下列結果： 一、證明七巧板拼成凹多邊形的最大邊數為17。 二、七巧板拼凹四邊形的圖形分析1種情形拼法不存在。 三、七巧板拼凹五邊形的圖形分析3種情形，計算5種情形的拼法。 四、七巧板拼凹六邊形的圖形分析7種情形，計算14種情形的拼法。 五、用Excel驗證凹四至凹六邊形的情形。 六、用Python程式找出凹多邊形的拼法， n = 4有1種；n=5有5種；n=6有14種；n=7有23種；n=8有41種； n = 9有58種；n=10有89種；n=11有118種；n=12有166種；n=13有212種。

本研究主要在探討費馬點在正方形四頂點具有加權的狀況時，尋找隨著加權情況變化而移動的費馬點位置。我們從原費馬點研究三角形一般加權情況開始發想，將費馬點研究推廣至由正方形加權情況下的特殊化結果，利用加權的對稱性，來解得不同加權情況下的費馬點位置，也利用偏微分和物理觀點證明了一般正加權情況下的唯一性。最後，我們將研究推廣至負加權的情況，並找出特定加權條件下，存在費馬點的條件。

如果正整數 存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本文主要用不同方法探討質數環的存在性。在本文與文獻中，都沒有解出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，證明對於特定值的質數環存在性，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本文的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字間的關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本文提出不需要使用孿生質數的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題更一般化。