數學科

(一)數學課本第九章第八單元「四邊形」的內容說：「四邊形各邊長度固定，它的形狀和大小會改變。」於是心中產生一個疑問：「四邊形的形狀和大小的改變跟什麼有關係呢？」(二)再讀到第九單元「四邊形和三角形的面積」，知道四邊形面積等於分成兩個三角形面積的和，求得像正方形面積＝一邊 × 一邊，長方形面積=長 × 寬，平行四邊形面積=底 × 高，等腰梯形面積＝（上底＋下底） × 高 ÷ 2 ，發現四邊形的面積似乎跟對角線沒有關係，於是心裏想：「四邊形的對角線與面積沒有關係嗎？」

我們發現15種按照規律的轉法會使魔術方塊轉回原位，並且深入的研究其中一種轉法。藉由同餘數步數的方塊會在同一個位置上的原理，能由步數推算圖形，反之亦然。在步數與圖形互相推算的同時，發現餘數的10個特性、由除數、餘數推算被除數的算法以及最大公因數的求法還有3個等式的猜測---x、y互質時的關係。最後我們將餘數應用到日常生活當中，製造了星海羅盤。在製造的過程中，我們發現了第三個迴圈---翻轉迴圈，所以做了翻轉迴圈、餘數迴圈、方塊軌跡迴圈的探討，發現這三個迴圈有部分整數的特性。

一、首先，由撲克牌的猜數字遊戲著手。撲克牌中有十三個號碼，並假設號碼不重複出現。在研究過程中，我們列出從撲克牌中找出2、3、4、6 張牌的最少次數及方法。二、利用第四冊數學課本所教的排列組合，及我們的轉位法、分組法、二分法，推廣到從N個數字中找出M 個數字排列數的最少次數及方法。

民國七十年初，一股智慧性的旋風席捲歐美，進入台灣，這就是“魔術方塊” ，它是由廿六個小立方塊很巧妙的砌合在一起，使我們能夠把其中任一層沿著適常的方向自由轉動。它有六種顏色，當我們隨意轉動幾次之後就很難將它轉回原來每面同色的型態。當時我們年紀還小，鵪了很久的一段日子，也只能轉出一面同色而已，無法再突破。那時電視上更舉辦魔術方塊的復原比賽 · 有人居然能在極短的二分鐘內迅速的完成六面同色，真令人羨慕！如今它無聲無息了，正像一股旋風，過後煙消霎散，但它卻深印在我們心中。署假時，幸運地參加學校的數學研習營，它又活生生的出現在我們眼前，三天的研習活動，使我們對它有更深一層的認識。尤其是研習營結束前老師的幾句話，更激發我們更上一層樓的決心。老師說：數學是一種很有用的工具，很多事物都能以數學模式來解釋，甚至於能由數學應用演變成日常生活的應用。魔術方塊的解法原理，或許也能用數學模式去探討，希望同學們能利用漫長的暑假，多讀些書，去思考如何建立起魔衛方塊的數學模式，經過半年時間的砌磋研究，我們很到一些心得，現在我們把它報告如下：

你玩過”鬼腳圖”抽籤的遊戲嗎？有一次我們五位同學分配工作，就玩了一次“畫鬼腳圖決定工作”的遊戲。 什麼是鬼腳圖呢？例如：甲、乙、丙、丁、戊 5 人要做 l 、 2 、 3 、 4 、 5 個工作，他們役辦法決定誰做什麼工作，於是就畫一個鬼腳圖來決定：方式如下： 說明 先畫直線 5 條（ 5 人）直線與直線間各畫橫線若干， l 、 2 、 3 、 4 、 5 的工作寫在各直線上端，下端則是抽籤的人選填。 假如 5 人選擇填後如下： 求法 每人從直線的下端向上移動，逢橫線就轉彎，但只能轉向上或轉向左、或轉向右而不能轉向下，直達工作的位置。 上圓所抽籤結果是甲負責 4 的工作；乙負責 5 的工作；丙負責 2 的工作；丁負責 3 的工作；戊負責 l 的工作。 很奇怪的是： 1.每個人所抽到的答案，怎麼都會不同呢？ 2.中間的橫線有什麼作用呢？ 3.能不能依照我們的需要安排誰做什麼工作呢？ 這些都令人感興趣，於是便做了這個研究，研究有什麼奧妙的地方。 注意：下列情況是不可出現的畫法。 舉例說明 如甲向上移，上轉右、右轉上，此時上轉向左或轉向右呢？ 這條穿過直線的橫線就是錯誤的畫法了。

本文藉由動手操作撲克牌遊戲--時鐘接龍的無數經驗中，發現到遊戲中獲勝與失敗的充分必要條件在於四張K的翻出（與開始牌堆的牌數變化量有關）。接著簡化遊戲的牌堆數，發現到計算遊戲牌組所有情形的方法。並將原先時鐘面式的翻牌流程轉換為直線型位置流程圖，進而推算出遊戲結束剩餘n張牌的機率與期望值。最終推廣至不固定張數之牌堆討論。我們也驗證了在時鐘接龍中，我們所猜測的控制固定13張牌與12張牌便能獲勝的方法，並論證出要獲勝遊戲的特殊固定張數至少要12張牌。最後我們並說明了Kunth所發現的獲勝的充分必要條件為外圈12張底牌構成13點樹的情形。

在一次偶然的機會下，看到水泥工人在砌牆，他堆疊磚頭的方式和我想的不同？為甚麼他不把磚頭堆疊整齊(圖a)？而是刻意把磚頭錯開(圖b)？我好奇的問工人，他說…。聽完他的解釋後，引發我另外的想法，於是我用自製的長方形積木當作磚頭，試著排出一個矩形，且這個矩形中的積木要錯開，即在矩形中不能有分割線(圖c)。我們共做了十三種大小不同的積木，用這些積木實際操作，並記錄結果。探究記錄結果後，發現了積木的長、寬與矩形長、寬之關係。此外經由探討及拼排的過程中，也發現可利用積木長、寬的差，有技巧的將積木錯開，而找到一種可排成我們想要的矩形之方法。最後配合積木尺寸，釘了幾種不同的外框，做出有趣的益智玩具(圖d)。

(一)在五上課本裡「三角形中任意兩邊的和大於第三邊」，我們用竹籤三根實際操作理解了！「三根相等的竹籤可以排成什麼圖形？我們用火柴棒作為代替同長的三邊去圍圖形！ (二)在排圖形中，我們以為一個等長的火柴棒，排出來的正方形，可以連成兩個正三角形，結果成了「」這樣有趣的現象！ (三)下課後，我們隨意排出許多相等的正三角形，並與同學比賽，誰排得多，誰排得快！「同樣的正三角形數」，用乘法公式去數，很方便！ (四)對了！公式！公式！我們何不利用排火柴棒去找數學公式呢？

國語日報上有時候會刊載著一種由線段組成的圖形，要我們只用一筆畫，就把這個圖形畫好。每當看到這種題目，斑上同學就比賽，看誰畫得對、畫得快。結果我們都能把那些圖形用一筆畫成，但是畫法不一定和報上公佈的「標準答案」完全相同，而且有很多種的畫法。 例如： 74 年 9 月 12 日的題目及我們的畫法如下表。 \r \r 報上每次刊出的圖形，我們都能用一筆畫成，這使我們產生了幾個疑問？ (一)是不是任何圖形都可以一筆畫成？ (二)可以一筆畫的圖形，有沒有秘訣可以很快的畫好？ (三)那些圖形可以一筆畫好？那些不能？ (四)不能以一筆畫好的圖形，至少需幾筆才能畫好？ 在老師的指導下，我們對上面的問題分別做了研討。

在國中數學選修上冊，我們學到三角形的重心，我們不禁想問：「 平面的圖形在物理學上並無相對的重量存在，何以會有重心呢？」但仔細想想在日常生話中我們所能接觸到的事物都不是學理上的“理想平面”，也就是說，這些事物都有厚度；再換句話說，我們可以見到許多的多邊形體，那麼這些物體就有重心囉！如果我們要找的是一個厚度均勻的物體的重心，必須先從面積著手，所以只要我們能找到多邊形的“重心”，那麼要找多邊形體的重心就不困難了。