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數學科

雙偶幻方之研究與破解

本研究主要在探討雙偶幻方的解法,我們一開始使用數列交叉擴展法來解雙偶幻方,但後來發現這個方法受到兩個數一組的限制,所以只適用於2n階幻方。為了能涵蓋更多的雙偶幻方,我們試著把改變數字交叉擴展法並與羅伯法結合,創造出一個可以破解所有雙偶幻方的解法,並進行一般式的證明,最後利用斜排特性構造出更多種4n階幻方解法。

從正方形內接四十五度的三角形談起

本研究源於一道常見的正方形內接三角形的動態幾何問題。我們考慮對角線,先刻劃出兩個動態的△𝐴𝐸𝐹與△𝐴𝑀𝑁之面積比值恆為定值,並且巧妙構造輔助線,利用純幾何方式證明共圓的動態四邊形 𝐸𝐹𝑀𝑁 的圓心軌跡為等軸雙曲線。為了一般化推廣,我們依序設定了等長、半角等條件去探討,實驗了長方形、菱形、直角箏形等,有趣的是,我們發現其兩個三角形面積比為定值的幾何結構是兩組四點共圓,並非等長或半角。值得一提的是,為了刻劃一般化的箏形中的圓心軌跡,我們先建立了菱形的模型,再給出箏形與菱形的對應模型,成功證明其圓心軌跡也是雙曲線。本研究將常見的幾何問題循序漸進地深化,刻劃出內在結構且給出獨特且有趣的成果。

對應編號入坐的圓桌錯位問題之研究

會議室圓桌上有𝑛個座位,順時針依序放有號碼1、2、3、⋯、𝑛,共𝑛張名牌。參加這場議會的人都有自己的編號,依序為1、2、3、⋯、𝑛,假設編號1的人一定先進入並坐到號碼2的位子,剩下的人則為亂序進入,先找到自己名牌的位子,如果自己的位子是空的,就直接坐下,如果位子被佔了,則順時針或逆時針找最近的空位入坐,若順時針與逆時針最近的空位距離相等,則順時針入坐(例如編號2到達時,發現自己的位子被坐,順時針距離最近的空位是號碼3,逆時針距離最近的位子是號碼1,則編號2坐到號碼3)。等到前一個人坐下後,下一個人再進入會議室。 依此規則,探討其坐法循環規律、坐法分布、坐法總數,並找出有幾種入座順序對應相同的坐法,以及坐錯位子人數的期望值。

平分天下──網格全等切割之方法數

本作品主要探討在網格上進行全等切割的方法數,並分析其擁有性質,於研究過程中發現當方形網格邊長達到6時,切割路徑會產生「回繞」的複雜情形。因此本次研究由「回繞數」為0的切割路徑討論起,並給予網格分層的定義,依序探討正方形網格、長方形網格、三角形網格及六邊形網格切割成不同等分時的方法數,而後我們再進一步討論正方形網格「回繞數」為1時的全等切割,並利用遞迴式得出切割方法數。 此外在研究中,我們透過排列組合計算出長方形網格在不受回繞限制下的一般式,並嘗試討論立體網格的情形,在增加對「懸空數」的限制下,經計算得出了有趣的結果。

免死金牌變因下的汰留問題進階探討

偶然接觸Knuth 具體數學[1]、九死一生[2]與我要活下去[3]後,發現汰留問題實為約瑟夫問題的變形。而科學教育月刊的「免死金牌變因下之約瑟夫問題初探」[5]中引進「免死金牌」設定,提升約瑟夫問題的複雜度與趣味性,勾起我們的好奇心,其中的約瑟夫問題實為汰留問題,且利用遞迴關係遞迴至免死金牌持有者的編號為1號和2號。其中編號1號的規律佳,但編號2號的規律複雜。我們換個方向思考,當免死金牌持有者的編號為奇數時,依淘汰順序來討論;編號為偶數時,利用遞迴關係遞迴至奇數,找出最後存活者編號的方法與通式。進一步在汰留問題及免死金牌汰留問題,找出倒數第k位存活者的編號規則,並將問題推至兩面免死金牌也得到很好的結果。

雙圓繞行軌跡性質探討

本文探討雙圓軌跡繞行函數𝑆𝑎,𝑏,𝑟(𝑡)≔(cos 𝑎𝑡+𝑟cos 𝑏𝑡,sin 𝑎𝑡+𝑟sin 𝑏𝑡) 的圖形特徵及拓樸性質,利用GeoGebra繪圖觀察圖形模式,並使用微積分等分析學的手法進行證明。 本文主要分為兩個部分進行探討,分別研究變動𝑎,𝑏和變動𝑟造成的現象。第一部分關於𝑎,𝑏的討論發現當𝑎/𝑏為有理數時,圖形將有明顯的週期性結構,因此我們定義並討論此函數的代數週期及幾何週期。當𝑎/𝑏為無理數時,圖形將不再有週期結構,然而其圖形卻會在一環狀區域𝐷𝑟中稠密,並且圖形的補集也會在𝐷𝑟中稠密。第二部分關於𝑟的討論,發現當𝑟在某些特定值時,圖形將產生尖點,並且此尖點可作出通過原點的圖形切線。