數學科

我們對內切圓研究一開始是從四邊形出發再延伸到多邊形，而研究的方向有兩個，其中一個是探討圓外切多邊形與圓內接多邊形（即圓與切線交點之切點多邊形）之間的關係。首先得到凸多邊形內切圓的成立條件，依據圓外切多邊形的邊角關係、邊長關係，得到不同的結論；接下來對圓外切四邊形與切點四邊形的關係做分類，並討論這兩種四邊形的面積公式後，進而觀察這兩種四邊形的面積與周長比值的關係，最後衍伸至n邊形，因而得到凸多邊形之面積與周長比值的關係。另一個方向則是由圓外切四邊形與切點四邊形的對角線交點，以及兩四邊形之邊長延伸線的交點、內外頂點延伸線的交點，去探討其共點共線的關係。

此研究探討在正角柱及正角錐上一刀斬後分割成二部份而形成截面時，觀察其所形成的截面變化，並利用Geogebra、Desmos等電腦軟體模擬繪製，藉此來計算正角柱及正角錐分割成的截面周長與面積，進而推導出其公式及觀察截面大小之變化，以及其與側稜線長的關係。

會議室圓桌上有𝑛個座位，順時針依序放有號碼1、2、3、⋯、𝑛，共𝑛張名牌。參加這場議會的人都有自己的編號，依序為1、2、3、⋯、𝑛，假設編號1的人一定先進入並坐到號碼2的位子，剩下的人則為亂序進入，先找到自己名牌的位子，如果自己的位子是空的，就直接坐下，如果位子被佔了，則順時針或逆時針找最近的空位入坐，若順時針與逆時針最近的空位距離相等，則順時針入坐(例如編號2到達時，發現自己的位子被坐，順時針距離最近的空位是號碼3，逆時針距離最近的位子是號碼1，則編號2坐到號碼3)。等到前一個人坐下後，下一個人再進入會議室。 依此規則，探討其坐法循環規律、坐法分布、坐法總數，並找出有幾種入座順序對應相同的坐法，以及坐錯位子人數的期望值。

本作品主要探討在網格上進行全等切割的方法數，並分析其擁有性質，於研究過程中發現當方形網格邊長達到6時，切割路徑會產生「回繞」的複雜情形。因此本次研究由「回繞數」為0的切割路徑討論起，並給予網格分層的定義，依序探討正方形網格、長方形網格、三角形網格及六邊形網格切割成不同等分時的方法數，而後我們再進一步討論正方形網格「回繞數」為1時的全等切割，並利用遞迴式得出切割方法數。 此外在研究中，我們透過排列組合計算出長方形網格在不受回繞限制下的一般式，並嘗試討論立體網格的情形，在增加對「懸空數」的限制下，經計算得出了有趣的結果。

本文探討雙圓軌跡繞行函數𝑆𝑎,𝑏,𝑟(𝑡)≔(cos 𝑎𝑡+𝑟cos 𝑏𝑡,sin 𝑎𝑡+𝑟sin 𝑏𝑡) 的圖形特徵及拓樸性質，利用GeoGebra繪圖觀察圖形模式，並使用微積分等分析學的手法進行證明。 本文主要分為兩個部分進行探討，分別研究變動𝑎,𝑏和變動𝑟造成的現象。第一部分關於𝑎,𝑏的討論發現當𝑎/𝑏為有理數時，圖形將有明顯的週期性結構，因此我們定義並討論此函數的代數週期及幾何週期。當𝑎/𝑏為無理數時，圖形將不再有週期結構，然而其圖形卻會在一環狀區域𝐷𝑟中稠密，並且圖形的補集也會在𝐷𝑟中稠密。第二部分關於𝑟的討論，發現當𝑟在某些特定值時，圖形將產生尖點，並且此尖點可作出通過原點的圖形切線。

本實驗研究螺線圈數、擴大倍率對黃金螺線與阿基米德螺線交點數的影響，並預測交點座標。研究發現： 1.透過趨勢線預測圈數變化時的交點數，分別使用第一至第四象限預測，發現四個象限各別形成的趨勢線預測值總和會有較高的準確率。另外，我們也利用兩螺線圈數來推導出預測交點數的公式。 2.透過趨勢線預測兩螺線比例變化時的交點數，當黃金螺線和阿基米德螺線擴大倍率的比值越大，交點數越多。 3.前25個交點距離、夾角及圍成三角形面積所形成的趨勢線，用以預測第26個交點之後的數據，誤差率在5.16 %以內。 4.預測交點座標第26點以後，發現預測越接近x軸的交點，y座標偏差率越高，x座標偏差率越低，反之亦然。

「六角星拼圖摺紙遊戲」是一個將平面的六角星拼圖摺成一個正四面體，且使其中的三面連接起來是一隻完整羊的摺紙遊戲。本研究以能摺出正四面體的23個圖格組合模組為基底，以展開圖作為平面圖形到立體形體的媒介，成功解構六角星拼圖圖格的選取與摺法。除了得出解謎密技外，也證明了謎底圖格與摺法的唯一性。此外，應用解構六角星拼圖所得之定理，將研究擴展至設計多隻羊拼圖以及摺出正八面體的多角星拼圖探討，並將之應用在創意園遊會闖關活動上。 （本作品之所有照片或圖片均由作者拍攝或繪製）

本研究從探討平面上任點對任意三角形所鏡射出之三角形的心，與原三角形的心是否具有關聯性開始。鏡射三角形即是平面上任一點分別對三角形的三邊延長直線做鏡射後，所得到三點形成的三角形。在特定情況下，鏡射三角形的心與原三角形的心之間有所關聯。之後進一步觀察不同點對固定角度之三角形作出之鏡射三角形的各個心之間的關係，以及這些鏡射點的連線與原點連線間的關係，也利用固定角度之三角形所推出的規律，繼續探究任意角度的三角形的各個心，與鏡射三角形的心之間的關聯。

本研究探討特定四面體中費馬點之存在條件與其坐標表示式。本研究以邊長為2 之正四面體為例，利用幾何對稱與空間向量運算，證明其費馬點唯一，並求得其座標為[1,√3/3,√6/6]。進一步探討具特定對稱性之四面體，底面為任意三角形ABC，且使ΔABC與ΔABD全等，設 ̅EF為 ̅CD與 ̅AB中點連線，探討費馬點落在線段 ̅EF上之情形。透過空間幾何分析，推得若特定四面體的費馬點落在 ̅EF上，則c1=0.5b1。進而，當費馬點p落在 ̅EF上時，其費馬點P(p1,p2,p3)坐標表示式如下： p1=0.5b1，p2=0.5b1/(b1+√2(c22-c2d2))*(c2+d2)，p3=0.5b1d3/b1+√2(c22-c2d2) 此外，利用費馬點唯一性及平面四邊形費馬點性質，說明此點亦為四邊形IJAB之費馬 點，研究成果將平面幾何中費馬點概念成功推廣至特定四面體，並提出當不滿足此條件時，費馬點坐標的一般化推廣仍有待後續探究。

我們為了解若將手機解鎖的九宮格圖形改成圓形圖形是否會有更多不一樣的解法且更不容易被破解，於是，我們先在圓形圓周上標示若干個點，取任一點作為起點，再經過其他不重複的二點、三點、四點……形成一條連續線段所組成的圖形，這裡簡稱圓形一筆畫圖形，探討此類圖形的種類與路徑。我們除了利用圖示法詳列外，還利用樹狀法、列舉法佐證，除此之外，我們也從文獻中發現部分樹狀法，跟我們的研究似乎同出一轍，最後依據尋找規律歸納通式，並比較傳統九宮格一筆畫圖形與圓形一筆畫圖形在解鎖上的優缺點。