數學科

「莫比烏斯環」是由德國數學家莫比烏斯和約翰•李斯丁在1858年發現的。將一般的紙環剪斷後，將其中一邊翻轉一次(翻轉180度)再黏合，會形成一種單面單邊體。本研究將從莫比烏斯環的結構及特性出發，並測試不同翻轉次數，以及不同的裁切方式所產生的影響。最後嘗試找出翻轉及裁切兩種變因不同時的規律，進一步推論出在其他翻轉次數或是裁切方式所產生的結果。

本作品取自國際數學奧林匹亞2022年第一題，我們給出完整的解答，不需要使用中學以上的數學知識，而且利用本作品的方法，將原題探討的兩種硬幣，推廣到m≧3種。

本研究主要推廣婆羅摩笈多定理，並探討軌跡方程式與新的不變量。圓錐曲線 內任取一定點F，且在 上以逆時針依序取點P1、P2 、…、Pn( Pk=Pk+n)，使得∠PkFPk+1=2π/n，∇k∈ ；接著於 ̅PkPk+1 分別取Mk、Hk滿足 ̅PkMk = ̅ MkPk+1 ， ̅FHk ⊥ ̅ PkPk+1 ，稱M1M2…Mn、H1H2…Hn 分別為n邊形P1P2…Pn 的中點n邊形、垂足n邊形。首先，固定一圓，一定點F，我們發現無限多個以F作出的中點n邊形、垂足n邊形的頂點分別會共一封閉曲線，並得出其方程式。第二，以圓錐曲線的焦點F任意作出的垂足n邊形H1H2…Hn的頂點會共一封閉曲線；特別當n=4時，軌跡為一圓。最後，探討垂足n邊形的不變量性質: Σnm=1 1/( ̅FHk2m)與Σni=1 1/( ̅HiHi+12r) 恆為定值，最後推廣到空間中，並得到三維廣義的婆羅摩笈多定理。

先設定△作為外圖形，在其內作內△。利用內△等分點做塞瓦線，透過相鄰內△塞瓦線交點及其頂點探討產生之不同圓錐曲線圖形的關係，並做相關推論及證明。之後，改變外圖形邊數，利用外圖形相鄰邊夾角與內△的關係研究出「萬花三角芒星」規則，並藉由製作多邊形的圓錐曲線，並在確認外圖形邊數及內角角度的條件下直接推出對應圓錐曲線關係。

本研究是將數學遊戲進行變形，其原本是在線段上分金幣，而我們改成在圓盤上分金幣，規則如下：在圓盤圓周上等距取𝑛個點，依序在點上放置金幣袋，每一袋的金幣數都比前一袋多一枚，每枚金幣皆相等(等值)，金幣總數為1+2+3+⋯+𝑛。兩人各丟一隻飛鏢在圓盤的相 異點上(不可丟在圓周上)，離袋子最近的飛鏢拿到它所有的金幣，若金幣袋距離兩支飛鏢等 距，則平分此袋內的金幣；我們想要觀察要如何丟飛鏢能讓分得的金幣數量最接近？並找出 一般化的平分手法。我們證明了在兩支飛鏢的情況下任意𝑛袋金幣都可被平分、第一支飛鏢落在圓盤上的任意點皆能找到對應點來使圓盤上的金幣被平分、飛鏢的數量進行變動後依舊能找到平分法及規律。

本作啟發自線上的影片「Can you solve the giant iron riddle?」，內容是在有外觀無法辨認的4顆有電與4個沒電的電池中，在一次只能取2顆電池測試的限制下，以最少的次數找到2顆有電電池的方法，結論是以分組的方式進行測試會有較佳的結果。本作先驗證影片的方法有效後再進行推廣，得到找出2顆有電電池較佳的方法為分組法或直接取法。再嘗試推廣至取3顆電池的情形，發現除了分組法與直接取法外，還可使用「X2Y1循環檢查法」。最後改良「X2Y1循環檢查法」後，不但可以有系統地測試所有可能的情形以外，能更有效地減少測試次數，提高尋找有電電池組的效率。

本研究旨在探討「帕隆多悖論」，將兩個容易賠錢的賽局遊戲A與B遊戲合在一起進行，卻能變成容易賺錢的賽局(遊戲C)，這是違反常人直覺的現象，因此我們想探究其中的機制、原因和成立條件。 我們以「執行遊戲A和B之特殊組合」、「執行遊戲A和B之機率」和「遊戲A和B的賺錢機率」為實驗變項，應用Excel和Scratch模擬各情況之期望值，來探討帕隆多悖論成立的條件。最後，將研究發現結合專家訪談，找出在市場機制中的實際案例。 發現遊戲執行組合的影響最為關鍵，而且在執行遊戲A的機率為41%時會有最高的期望值。最後，我們找出帕隆多悖論在三種以上賽局成立的情形與必要條件，也歸納出各變項對於獲利影響程度 差異 及賺錢的關鍵週期 。

本研究探討n個邊長分別為1、2、…、n的正方形鍊接成平行封閉結構的存在性與方法透過「 任意值矩形頂點配對法」可成功鍊接；任意數列的正方形組也可成功，最快速的是「最大值矩形頂點配對法」。 推廣至正多邊形正偶邊形透過「對角線重合法」，正奇邊形透過「對角線重合法」搭配「對角線與邊重合法」，每邊可互相平行；將n個正多邊形放置在對角線連線成的平行四邊形，利用n值特性「4k、4k+1、4k+2、4k+3」分類頂點位置結合「單向複雜形平行結構」邊長和的差為1或2可透過對角線「中心」或「端點」出發的「最大值平行四邊形頂點配對法」鍊接 。 最後得到最大及最小完全覆蓋矩形鍊接法，並推得鍊接正方形內部封閉面積公式。

「鳩佔鵲巢」的題目中將喜鵲餵食的規則寫了出來，我們列出不同的狀態後確實找到所有答案，接著我們進一步將「鳩佔鵲巢」題目進行擴充，使題目中五隻喜鵲擴充到所有正整數，我們發現餵食的順序可以同餘來計算，進而研究找出其所有的答案，之後又加以研究總共吃到的喜鵲數量。

本研究是將圓形蝴蝶定理推廣至四邊形，首先將四邊形分成梯形、平行四邊形、一對角線被另一對角線平分的四邊形，再推廣至任意四邊形，發現四邊形也有蝴蝶定理。而蝴蝶形的中心可以是四邊形兩對角線的交點，若一對角線被平分時，則以此對角線為蝴蝶線就有蝴蝶定理，若此對角線不被平分就有坎迪定理；若將此中心沿著另一對角線移動就有類坎迪定理，沿著原對角線移動就有坎迪延伸定理，若此對角線再被平分，就有等比例蝴蝶定理。最後利用三線共點的作圖法，成功將四邊形蝴蝶定理一般化。並透過不斷地延長多邊形不相鄰的邊，將多邊形退化成四邊形，從而得到多邊形的蝴蝶定理，只是此時蝴蝶形不一定內接在多邊形的邊上，也可能接在邊之延長線上。