本作品探討和為1的埃及分數最優解問題，限制分母小於100，項數固定，找出最大分母的最小值。 在研究的過程中，我們發現並没有一個簡潔的公式，可以立即迅速地找出最優解，而是經由不斷地嘗試與比較後，方能得到答案。本研究最後將推導過程歸納為流程圖，試圖建立未來可能演算法的基礎。 本研究主要使用的工具為拆分法，這個方法簡單可行，但容易陷入混亂的情境，有時必須加上巧思，才能獲得進展。在拆分法的基礎上，進一步發展出併合與置換等技巧。策略採取逐項推進，在確定n項的最優解後，再利用拆分或併合或置換，得到n+1項的最優解。 最終，在經由不斷地失敗與再次努力後，完成了項數不超過42的所有解。

本研究旨在探討不同邊長比的方形上，改變路徑出發角度、改變路徑出發的起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點次數之關係。首先在方形長：寬=m：n，路徑從方形的左下角出(入)口為起始點，以角度tanθ=1、tanθ=2和tanθ=3之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，進而延伸推論當以角度tanθ=y/x之方向出發時路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式，接著在方形長：寬=m：n，從方形左下角出(入)口向右移動1格、向右移動2格為起始點，以角度tanθ=1之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，延伸推論從方形左下角出(入)口向右移動h格為起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式。

皮納姆的吃餅精靈是我們偶然間發現的遊戲，此遊戲在正六邊形的棋盤上，兩位玩家輪流取一整排相連的棋，取到最後一個棋的人即獲勝。在正六邊形棋盤下，先手玩家的必勝策略是很明顯的。因此本研究之目標為在等角六邊形棋盤上，對於先手玩家獲勝的策略探討。我們在兩位玩家追求獲勝的前提下，以不同的取棋總步數類型（取棋步數必為奇數步、取棋步數必為偶數步、取棋步數為可奇可偶）來分類盤局中常出現的殘局，進而定義不同的Region Number，並定義AreaNumber來代表盤面上各類殘局數量狀況，結合兩者綜合分析各類殘局數量與取棋步數奇偶性，從而推論出先手玩家掌控取棋步數的奇偶性之策略，找出先手獲勝的方法。

在m×n的矩形方格街道加上二元一次不等式的邊界條件，若甲從左下到右上，乙從右上到左下，各自沿格線走捷徑前進，探討兩人相遇的機率。過程中發現碰撞次數會影響機率，而碰撞次數則與卡塔蘭數的乘積有關，透過生成函數的卷積將此乘積記為c(n,k)，經由文獻探討找到計算的方法。為了容易看出碰撞次數，我們將c(n,k)透過變數變換定義T(n,k)，創建斧頭定理並就邊界是否通過原點及終點是否在邊界上分項討論，以表列方式呈現定理，大幅簡化機率的計算。最後將實際問題以分區概念應用上述定理，成功解決矩形的邊界問題。為了探討斜率大於1的邊界問題，我們找到L(n,r,k)的文獻，發現在r=1時與c(n,k)、T(n,k)有關，進而推廣至整數r>1的斧頭定理。而Fuss-Catalan numbers也與L(n,r,k)公式相似，可得相同推論。

在「拼組相同剪刀、剪刀組能完全開合」條件下，我們發現若4段臂兩兩等長，則能拼出直線行進剪刀組；若 軸心不在2臂中點，則能拼出弧線行進剪刀組；若4段臂不全等長，則能拼出斜線行進剪刀組。 將弧線行進剪刀組頭尾相拼，形成封閉剪刀組，當其剪刀間形的變化是三角形時，內圈會圍成正n邊形，我們能依此算出在平面中，拼成封閉剪刀組所需的剪刀數量。在彎曲臂剪刀部分，只有當彎曲臂夾角皆相等，且夾角為正n邊形一內角度數時，才能拼成封閉剪刀組，其能在平面中朝圓心、圓周作變動，但不能像直線與斜線行進剪刀組般能無限網狀拼組。 拼組、操控剪刀組能增加面積、體積或折疊縮小，將此應用在太空科技中，能節省運送太陽能板的空間。

本文主要探討：在頂角為 ∠A、腰長為 AB＝l 的等腰三角形 ABC 中，給定 t，滿足 (PA²－l²)／(PB×PC)＝±t 的所有 P 點的軌跡方程式及圖形，我們得知： 一、t＝1 時，其圖形為直線 BC 與 △ABC 外接圓的聯集。 二、0＜t＜csc(A／2)，但 t≠1 時，其圖形為兩圓：圓 C1、圓 C2。若設圓 C 是以 A 為圓心、l 為半徑的圓，則圓 C1 對圓 C 的反演是圓 C2。 三、t＝0 或 t＝csc(A／2) 時，其圖形為一圓。 四、(PA²－l²)／(PB×PC)＝t 對圓 C 的反演為 (PA²－l²)／(PB×PC)＝－t。 再者，我們研究等腰梯形的情況，其圖形為圓與形似「德．斯路斯蚌線」的聯集。我們說明等腰三角形是等腰梯形的極限狀況。 更一般地，我們探討任意三角形，得知其圖形為圓與雙曲線的聯集。

在圖論中，以G=(V,E)表示一個圖，其中G的頂點集合記作V(G)、邊集合記作E(G)。令k是一個正整數，若能在G的每個邊上各給一個非零整數{±1,±2,±3,...,±(k−1)}的標號，且每個頂點所連出的邊標號總和為0，則稱圖G有零和k流，當k有最小值時，稱k為圖G的零和基數，記作F(G)。 零和流（zero-sum flow）是由無零流（nowhere-zero flow）演化而來的問題，亦是一種邊上加權的問題。在2009年S. Akbari等人提出零和流猜想，猜測所有滿足零和的圖其零和基數皆不大於6。 在本作品，我們設計雙色標籤與圖形變換的方法，成功刻劃出尤拉圖（每個頂點都連出偶數個邊的連通圖）零和基數為3的充要條件，並將其變換的技巧與結果，應用於判斷其它圖形的零和基數。

我們將三浦摺疊運用在紙管上，發現能摺出「單位管」的條件為：8個全等平行四邊形（內角不為90度）相拼成V字形；邊長為1、內角為60度的平行四邊形拼成單位管，我們求出其最大體積約為1.5；而改變平行四邊形邊長與角度之間的關係，當單位管側面沿摺痕壓平摺疊後，能摺出3種不同樣貌。將N個相同的單位管洞連接起來，形成「N-單位管」2個相同的N-單位管共有4種拼組方式，拼組後能正面與側面壓平摺疊；我們用數個N-單位管相拼，發現能做出負重點朝上和洞朝上的負重結構，分別最少需用4個2-單位管垂直相拼和8個N-單位管水平相拼；若數個N-單位管拼組後只能側面壓平摺疊，則只需3個N-單位管水平相拼，就能做出洞朝上的負重結構。

本研究旨在利用組合數來分析第二類斯特靈數在模質數下的性質。研究分為五階段：第一階段我們參考O-Yeat Chan等人的論文，並改良了其證明過程，得到一個同餘組合數。第二階段利用第一階段的奇偶性定理發現(3n n)與𝑆(2𝑛,𝑛)同餘mod2並改良論文證明，使得證明更易推廣。第三階段我們更推廣到更一般的結論：滿足𝑆(𝑝𝑛, 𝑛)≡(p'n n)(𝑚𝑜𝑑2)時，p與p'是線性關係。第四階段與第五階段繪製熱圖時，我們發現圖中存在謝爾賓斯基三角形，對此進行了研究，並成功證明斯特靈數三角形在模2與模3下具有碎形結構與謝爾賓斯基三角形，這是文獻中都沒有探討過的。

將n個礦石分成m袋，每袋礦石數分別為a1,a2,……,am個，每一輪調換或不調換順序放入m袋中，放若干輪後使得各袋礦石數相等，那麼最少放幾輪即可使各袋礦石數相等？ 首先用窮舉法尋找 n,m 較小的情形，之後將其一般化，得到任意 n 個礦石分成任意m袋後，可以放的輪數，及該輪數下各袋礦石的數量。接著，將情形分為m|n及 m∤n兩種，探討在該情形下任意a1,a2,……,am 最少放幾輪相等，研究後得到至多放幾輪即可相等以及在特定條件下，能找到最少輪數。最後在研究m∤n的過程中，從重複組合的觀點，得到有趣的結論，將n個礦石分成m袋後，放 m/s 輪總共會有幾套。