數學科

將n個礦石分成m袋，每袋礦石數分別為a1,a2,……,am個，每一輪調換或不調換順序放入m袋中，放若干輪後使得各袋礦石數相等，那麼最少放幾輪即可使各袋礦石數相等？ 首先用窮舉法尋找 n,m 較小的情形，之後將其一般化，得到任意 n 個礦石分成任意m袋後，可以放的輪數，及該輪數下各袋礦石的數量。接著，將情形分為m|n及 m∤n兩種，探討在該情形下任意a1,a2,……,am 最少放幾輪相等，研究後得到至多放幾輪即可相等以及在特定條件下，能找到最少輪數。最後在研究m∤n的過程中，從重複組合的觀點，得到有趣的結論，將n個礦石分成m袋後，放 m/s 輪總共會有幾套。

皮納姆的吃餅精靈是我們偶然間發現的遊戲，此遊戲在正六邊形的棋盤上，兩位玩家輪流取一整排相連的棋，取到最後一個棋的人即獲勝。在正六邊形棋盤下，先手玩家的必勝策略是很明顯的。因此本研究之目標為在等角六邊形棋盤上，對於先手玩家獲勝的策略探討。我們在兩位玩家追求獲勝的前提下，以不同的取棋總步數類型（取棋步數必為奇數步、取棋步數必為偶數步、取棋步數為可奇可偶）來分類盤局中常出現的殘局，進而定義不同的Region Number，並定義AreaNumber來代表盤面上各類殘局數量狀況，結合兩者綜合分析各類殘局數量與取棋步數奇偶性，從而推論出先手玩家掌控取棋步數的奇偶性之策略，找出先手獲勝的方法。

在「拼組相同剪刀、剪刀組能完全開合」條件下，我們發現若4段臂兩兩等長，則能拼出直線行進剪刀組；若 軸心不在2臂中點，則能拼出弧線行進剪刀組；若4段臂不全等長，則能拼出斜線行進剪刀組。 將弧線行進剪刀組頭尾相拼，形成封閉剪刀組，當其剪刀間形的變化是三角形時，內圈會圍成正n邊形，我們能依此算出在平面中，拼成封閉剪刀組所需的剪刀數量。在彎曲臂剪刀部分，只有當彎曲臂夾角皆相等，且夾角為正n邊形一內角度數時，才能拼成封閉剪刀組，其能在平面中朝圓心、圓周作變動，但不能像直線與斜線行進剪刀組般能無限網狀拼組。 拼組、操控剪刀組能增加面積、體積或折疊縮小，將此應用在太空科技中，能節省運送太陽能板的空間。

題目源自科學研習月刊[1]，與以往討論真假金幣最大的差異在於天秤的臂長為不等臂，故不能如以往的研究，單純的採用三分法判斷金幣的真偽。 為克服不等臂天秤無法採用三分法的限制，我們提出「類三分法」和「輔幣」作法。 輔幣是配合不等臂天秤左、右盤的比值，在短臂端(本研究設為右盤)填加已確認的真幣當輔幣，使天秤達平衡的做法。 類三分法是針對不等臂天秤設計以最少輔幣需求，處理首秤之後左、右、平盤金幣的分法。 此外，我們根據輔幣供應量與輔幣需求量提出了3個輔幣判斷式。 因此「類三分法」與「輔幣判斷式」，幫助我們以不等臂天秤快速且簡單的找出分辨金幣真偽的最大值。

本研究主要推廣婆羅摩笈多定理，並探討軌跡方程式與新的不變量。圓錐曲線 內任取一定點F，且在 上以逆時針依序取點P1、P2 、…、Pn( Pk=Pk+n)，使得∠PkFPk+1=2π/n，∇k∈ ；接著於 ̅PkPk+1 分別取Mk、Hk滿足 ̅PkMk = ̅ MkPk+1 ， ̅FHk ⊥ ̅ PkPk+1 ，稱M1M2…Mn、H1H2…Hn 分別為n邊形P1P2…Pn 的中點n邊形、垂足n邊形。首先，固定一圓，一定點F，我們發現無限多個以F作出的中點n邊形、垂足n邊形的頂點分別會共一封閉曲線，並得出其方程式。第二，以圓錐曲線的焦點F任意作出的垂足n邊形H1H2…Hn的頂點會共一封閉曲線；特別當n=4時，軌跡為一圓。最後，探討垂足n邊形的不變量性質: Σnm=1 1/( ̅FHk2m)與Σni=1 1/( ̅HiHi+12r) 恆為定值，最後推廣到空間中，並得到三維廣義的婆羅摩笈多定理。

本作啟發自線上的影片「Can you solve the giant iron riddle?」，內容是在有外觀無法辨認的4顆有電與4個沒電的電池中，在一次只能取2顆電池測試的限制下，以最少的次數找到2顆有電電池的方法，結論是以分組的方式進行測試會有較佳的結果。本作先驗證影片的方法有效後再進行推廣，得到找出2顆有電電池較佳的方法為分組法或直接取法。再嘗試推廣至取3顆電池的情形，發現除了分組法與直接取法外，還可使用「X2Y1循環檢查法」。最後改良「X2Y1循環檢查法」後，不但可以有系統地測試所有可能的情形以外，能更有效地減少測試次數，提高尋找有電電池組的效率。

從撲克牌魔術中，發現了數字1~9的號碼牌利用3*3的排列方式，找出三組三位數值總和之數字和分別為9、18、27，可以藉由與9的倍數之差距猜出覆蓋的數字牌，並將此方法加以發展到數字1~6的號碼牌利用2*3及3*2的排列方式，找出其數值總和之數字和並猜出覆蓋的數字牌。

本作品將數列與直角坐標做結合，探討不同數列及不同旋轉角度的情況下，整理所畫圖形的特徵，並歸納出各組組合之間的關聯性。 總結出以下幾點： (1) 以所畫圖形為例：從原點出發，旋轉角度設定為90°，數列an除了n≡0(mod4)時某些情形無法回到原點外，其餘情形皆能畫出回到原點的圖形。 (2) 以執行的最少次數（最小執行次數）可推算出為t=(lcm(α,n))/n。 (3) 以數列的變化來說，我們發現首末項交換會使圖形位移接著旋轉或數字的顛倒排列的圖形則會有位移再以tan⁡〖((π-θ)/2)x=y〗為對稱軸進行線對稱的變化。 最後，本作品試著找出一般化公式，並期望能推廣到在得知α、θ、n後，會產生出何種漂亮的圖形。

本研究探討封閉折線在方格圖形內運動軌跡經過的最多格數，分矩形邊長為n×n、 n×(n+k)討論，再細分為n≡0,1,2,3(mod 4)及k≡0,1,2,3(mod 4)討論，並依各種情況歸納後提出最多格數之公式，使用數學歸納法證明其正確性，並且推廣導出n×n×n正立方體的最多格數之公式。