數學科

本研究由一題三角形內心與其旁心三角形頂點連線交外接圓所構成三角形面積問題出發，藉由相似形的觀察發現可透過連接頂點與內心作中垂線作圖而成，以此為靈感開始定義點心中垂三角形，創新探究其他形心所構造的點心中垂三角形性質以及與原三角形的面積比，過程中發現三角形五心之間心與心互換的關係，讓我們聯想到如果繼續疊作中垂線，三角形有外、內、垂心共點與共線性質，接著我們延伸至四邊形與多邊形，發現層層之間的圖形有彼此相似與對應邊 平行…等共點、共線性質存在。

本研究主要探討正多邊形的換點問題。 在平面上給定一正𝑛邊形，在不重複經過任意點的情況下，一筆畫經過所有點並回到起始點形成圖𝐴。透過相同做法得到圖𝐵，最後將圖𝐴透過有限次的換點得到圖𝐵，找出換點次數最少的路徑。 本研究中證明了所有符合規則的圖形都能透過有限次換點得到，也探討了換點在鄰接矩陣上的意義，並透過排列矩陣定義出換點運算以及圖形的旋轉及翻轉運算矩陣，接著找出了圖𝐴換點到圖𝐵有捷徑步數的充要條件，並解決過程中使用到的基本運算。然後得出從正𝑛邊形換點路徑的唯一性以及尋找方法求出圖形的層數，並得出圖𝐴到圖𝐵最短路徑步數 ≤𝑖𝑚𝑎𝑥(𝑛)，最後求出了 正𝑛邊形中不同構的𝑛點圖形個數。

在這次的研究中，我們在書上看到了一個問題，是一道有關於在棋盤上，貓和老鼠不能看到對方的問題。我們先研究這個題目中棋盤大小、貓和老鼠數量的規律，我們從1×1一路研究到了8×8，並且試著找出在不同棋盤大小的遊戲中，要有幾隻貓才能讓老鼠的平均數量接近2隻，之後我們將 題目設計成對戰的遊戲。 我們首先設計了一個棋盤大小是6×6的桌上型遊戲，並且修改過幾次規則。後來學習了程式設計，把遊戲改到電腦裡遊玩，我們使用scratch寫程式來製作遊戲，並且把原本6×6的棋盤擴大改成了8×8的棋盤。我們在試玩的過程中，又再次把一些不公平的遊戲規則修改了一下，最後我們和同學一起試玩遊戲，製作出了屬於我們的「貓鼠終極戰」。

本研究針對在圓形棋盤上玩三子連線棋進行探討，發現棋盤必須平分成偶數等分，且最少要八等分才能進行遊戲。當在八等分單圈圓形棋盤上玩三子連線棋，玩家選擇雙活路型、包圍型、遠水型等3種布棋策略，可以贏棋。 根據樹狀圖的路徑分析，發現最快只要進行三回合，玩家就能分出勝負。整體來說，八等分單圈圓形棋盤三子連線棋遊戲對先手較有利；第1步先手要選擇不往圓心、改往旁邊移動，才是對先手較有利的贏棋方式，這和玩井字棋時要先佔據中央交叉位置的策略不同。 當更動棋子最初的擺放位置、增加平分單圈圓形棋盤的等分數、更改棋盤為雙圓圈形式都會增加遊戲的變化性，值得日後進一步探討。

我們擴充”Presidential”遊戲，創發出5×5範圍內的13連方棋盤，走出最大佔地範圍，並以圖論方法分析圖特徵，得到歐拉行跡與合成結果的最長路徑。環圖最大佔地結果18≤𝐴𝑚𝑎𝑥≤22，樹圖𝐴𝑚𝑎𝑥=23。歐拉行跡遇到分叉點會增加選擇，重複踩點；遇到圈則會減少重複踩點的次數；遇到有分支的環則必先走完環才走分支。依據環特徵及分岔點數量，本研究得到圖的最長路徑4≤𝐿𝑚𝑎𝑥≤8。

本研究探討心臟線特定點內接三角形。透過單位圓上的動點，以兩種方法生成心臟線的軌跡，將兩種方法疊合後可得到三個特定點，此三點所形成之三角形稱為心臟線特定點內接三角形。本研究利用相似形做出內接三角形三頂點坐參數式、三邊的直線方程式並觀察直線族形成之包絡線。以幾何軟體展示此三角形之重心、外心、內心和垂心的軌跡並做出軌跡參數式。進而討論四心的極值及其隨著角度變化之移動速率。此外，我們發現此三角形恆為鈍角三角形。最後，給出 此三角形的尤拉線方程式，觀察直線族形成之包絡線，再根據尤拉線特性得 ̅𝐻𝑃3//̅ML， ̅𝐻𝑃3：̅ML=2：1。並發現當內接三角形為等腰三角形時，其高和半底的比為白銀比例。

本研究源於競賽之幾何問題，將其動態化與一般化得到三角形各邊同向生成正多邊形頂點與頂點連線特定的圖形不變性。本研究證明出： 一、兩外延正n邊形與框架正n邊形同相對位置的頂點(分別為Bi、Ci、Ai)，與三角形可動頂點K 恆形成平行四邊形BiAiCiK，此為形成不變性之關鍵。 二、當三角形可動頂點之角度為定值θ，則框架角分別為180+180/n-θ及180-180/n-θ度。 三、三角形可動頂點K移動過程中，兩外延正多邊形中以K為起點分別依順時鐘與逆時鐘依序對應之頂點會形成(n-1)組的以底邊中垂線為對稱軸之軌跡，並與K點軌跡形狀相同、大小分別為框架正n邊形第i-3或i-4對角線長度倍數的圖形(若i-3、i-4≦0，則為1倍)。

玩昆托遊戲時，如能在給定九宮格中以符合要求條件(連塊數量)方式合成目標值，就可破關。依據排列可知固定九宮格數字下，共120個昆托九宮格。透過翻轉與比較，只需討論其中6個昆托九宮格，其他情況相同。 我們先以不同連塊放入固定九宮格中找到目標值公式。接著在改變數字位置的方式下，將6個昆托九宮格形成循環，分別為九宮格1到6。我們發現只要根據九宮格1的5種數字結合規律，就可以推論出其他5個九宮格目標值分布的情況，並找到昆托目標值的集合種類，進而推出另外4個不同的循環，找出30個昆托九宮格的連結關係。另外，從九連塊目標值公式延伸發現只需要變數集合與紀錄矩陣，可快速記下產生目標值公式。

本研究源於一道常見的正方形內接三角形的動態幾何問題。我們考慮對角線，先刻劃出兩個動態的△𝐴𝐸𝐹與△𝐴𝑀𝑁之面積比值恆為定值，並且巧妙構造輔助線，利用純幾何方式證明共圓的動態四邊形 𝐸𝐹𝑀𝑁 的圓心軌跡為等軸雙曲線。為了一般化推廣，我們依序設定了等長、半角等條件去探討，實驗了長方形、菱形、直角箏形等，有趣的是，我們發現其兩個三角形面積比為定值的幾何結構是兩組四點共圓，並非等長或半角。值得一提的是，為了刻劃一般化的箏形中的圓心軌跡，我們先建立了菱形的模型，再給出箏形與菱形的對應模型，成功證明其圓心軌跡也是雙曲線。本研究將常見的幾何問題循序漸進地深化，刻劃出內在結構且給出獨特且有趣的成果。