多數人購房會要求生活空間的最大利用，其中樓梯間的置物櫃設計就是其中一例，本文是由置物櫃排列所發展的數學問題。 假設在樓梯下裝設矩形櫃子，並允許每行的櫃子最多只有兩種樣式：一種是該行的每個櫃子都是單位高度，另一種是該行最多只有一個超過單位高度的櫃子；而排列方式則是最高櫃子位於最下方且最底層的高度則是逐行高於或等於前一行的櫃子，我們將這樣的問題稱為「矩形堆疊」。 透過動手實作發現「矩形堆疊」與路徑數有關，於是建立與路徑的一一對應關係，並研究路徑問題。經由Jonah’s公式發展路徑問題後，再回來解決「矩形堆疊」問題；此外也研究變化不固定的路徑問題，對於特殊結構例如拋物線下「矩形堆疊」，都有不錯的結果。

本作品源自澳洲 AMC 2017 考題，原題要求在8X8方格中塗黑色或白色，但在任一2X2的方格中都需符合2黑2白的要求有幾種排法。 我們用黑、白棋排列方法與前一行相關的特性，找出對偶型連接與自身連接策略，求出原始問題的一般化公式。並延伸至立體方塊時在各方向剖面中皆滿足任意2X2X1的方塊皆有2黑2白的排列數公式。 最後討論以正三角形組成的平行四邊形中，任意4個小正三角形組成的「成雙三角形」中也需符合2黑2白的要求。雖然三角形的組成模式與方格不同，但仍然有排列方法與前一行相關的特性，最終將由三角形組成的2列1行與3列1行的平行四邊形分成數個類型，並求出各類型的相互連接關係，進而找出在2列與3列三角形成雙成對排列數的遞迴關係式。

有3隻蜜蜂，同時從蜂巢出發，在一朵花與蜂巢間的連線上，來回等速直線飛行，牠們的飛行速度比為1：2：4，問：在蜂巢與花之間，是否存在某個時刻，牠們飛到同一點？ 上述問題取自《科學研習月刊》數學專欄，我們不但解決原題，還將原題推廣到任意隻數蜜蜂，給出求滿足要求的時刻的方法，獲得一般化的結果。 我們還能加以應用求滿足要求的時刻的方法，探討速度比滿足給定一階線性遞迴數列，得到若符合一些條件，就能同時飛到同一點。

本研究的目的在探討以90°直角展開直立的立體聖誕卡片中，做為聖誕樹的等腰三角形，底部的中點在凸出時傾斜的原理。我們發現立體聖誕樹底部的中點傾斜的程度和等腰三角形的高度與寬度比例有極大的關聯性。我們發現當等腰三角形的寬度固定時，若它的高度愈低，則在立體卡片以90°直角展開站立時，底部中點凸出時會愈傾斜；相反的，若等腰三角形的高度愈高，則底部中點凸出的角度會愈接近水平。我們推導出如何利用等腰三角形的高度與寬度計算出底部中點凸出時上升高度的公式，以及如何裁切等腰三角形，進而做出底部呈現水平的立體聖誕樹。

任意等角六邊形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹之6邊的延長線，即會得到兩個正三角形Δ𝐼𝐽𝐾、Δ𝐼′𝐽′𝐾′，其中三組對邊以[(𝑎,𝑏,𝑐),(𝑎′,𝑏′,𝑐′)]表示，則三組對邊均相互平行，任兩相鄰邊長的和必等於其對邊長的和(𝑎+𝑏′=𝑎′+𝑏）（𝑏+𝑐′=𝑏′+𝑐）（𝑐+𝑎′=𝑐′+𝑎)，則有以下成果： 1.若已知四邊長度，且其中三邊相鄰，即可決定唯一之等角六邊形。 2.三組對邊都相等或都不相等，才能決定一個等角六邊形。 3.兩組有相同公差的數列，各取連續三個正數為邊長，則可決定唯一的等角六邊形。 4.一組等差數列中，任取6個連續正數(𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5,𝑎6)為邊長，可形成兩個相異的等角 六邊形([(𝑎1,𝑎2,𝑎3),( 𝑎4,𝑎5,𝑎6)]、[(𝑎1,𝑎3,𝑎5),( 𝑎2,𝑎4,𝑎6)])。 5.當等角六邊形邊長為完全平方數時，可以求出一些特列。 6.討論等角六邊形的面積與用相同大小正三角內鑲崁的個數。

本研究探討在直角三角形勾股中容一個正方形，即為「勾股容方」，其正方形邊長、周長與面積會有什麼關係？若不斷重覆延伸此圖形，觀察這樣的圖形模式，最後又會有什麼結果？發現同一層內正方形周長的總和，其值會相等，也觀察到勾股容方與黃金比例的關聯性。 另外，如果將正方形邊長擺放在直角三角形的斜邊上，我們稱為「斜邊容方」，同樣逐步討論其正方形邊長、周長與面積的關係。當不斷重覆延伸此圖形時，發現在勾股容方或斜邊容方中，將所有正方形的面積加總後，其面積和皆會等於原直角三角形的面積，以及勾股容方的邊長會大於斜邊容方的邊長。

西姆松線是三角形外接圓上一點對三邊作垂足，三垂足共線所得之線，而我們成功將其推廣到多邊形，發現了當圓上一點 P 對圓內接 n 邊形做了(n-2)次垂足後，最後 n 點會共線，而我們將其定義為多邊形西姆松線。我們結合了純幾何和歸納法證明其正確性，此方法也是我們所想出的特殊證法，我們還使用解析幾何的手法求出該線在坐標平面上的通式。在已知三角形西姆松線的軌跡會形成三尖瓣線的前提下，我們利用解析幾何的方式證出了三角形之九點圓為該三尖瓣線的內切圓，並成功找出三尖瓣線方程式通式，而我們也發現n邊形西姆松線的軌跡亦會形成 n 尖瓣線，但會因多邊形形狀的不同而產生扭曲。

在「幾何明珠」一書中提到拿破崙定理及逆拿破崙定理。本研究透過數學繪圖軟體 GeoGebra作圖，嘗試以逆拿破崙定理找出正多邊形的可能初始多邊形，接著歸納其性質，並確認只有符合該性質的初始多邊形，才能夠透過「拿破崙法」得到原本的拿破崙正多邊形。 我們先從三邊形及四邊形開始，接著推廣至正多邊形，並分成奇、偶數邊進行討論，最終希望盡可能透過實際的量測來證明初始多邊形的特性，並得到初始多邊形性質的通論。

一個連通圖其結構中若沒有包含任何的圈，則將此圖稱為樹狀圖（tree）。若樹狀圖T的頂點v滿足d(v)=1，則 即為 的『葉子點（leaf）』。將一個樹狀圖中以一筆不間斷經過最多頂點的路徑，稱為『主幹』，若此樹狀圖滿足所有的leaf皆與主幹上的點相連，則特別將此樹狀圖稱為『毛毛蟲圖（caterpillar）』。本文的研究是對於有n個頂點，k個leaf的毛毛蟲圖，在不同構的情況下，探討各類毛毛蟲圖的結構變化、對偶關係，在數量上建立遞迴關係、探討組合意義以及相關的應用。

1.在正n邊形中作內角k等分角線、外角平分線和原邊上作k'等分垂直線（K,K'>2，K,K'∈ ），這三種直線經各自相交或兩兩搭配後相交得到五種相似正n邊形，其邊長、面積會與原正n邊形間存在規律的關係一般式。 2.承1，內角k等分角線與其外角平分線之交點會連成內外分角正nk邊形，滿足邊數n和k的特定關係式時，才能作出此種正n邊形。 3.原正n邊形的邊或其延長線，恰可平分內外分角正nk邊形和外角邊垂正nk'邊形的邊。 4.內分角正nk邊形、邊垂正nk'邊形和內角邊垂正nk,k'邊形皆會出現五點共圓的情形。 5.承1的五種正n邊形會出現旋轉，其旋轉角度與n、k、k'有關，並有一定的範圍。