數學科

上學期老師要我們帶火柴棒到學校，做10以內的加減演算，並且告訴我們火柴的危險性，要全班小朋友特別小心。正巧一連幾天，外面都下著雨，下課時我們都不能跑到寬闊的操場去做遊戲。一些同學便把火柴盒拿出來當積木玩，或把火柴棒取出排加減的遊戲，越玩越覺得好玩，有意思，我們也都很注意不敢把火柴棒擦出火來。

在“高中數學──自然數系”書中，第六章自然數的除法運算裏，有一組問題如下：在圓周上取出 24 個等分點，分別記為 0 , 1 , 2 ， …… ， 23 (A)將0連到 6 ，將 1 連到 7 ，……，17 連到 23 ，這些直線段（圓上的弦），可以找到一個圓以這些直線段為切線（此圓為此直線族的包絡線）(B)將 1 連到 2 ， 2 連到 4 ，……， 11 連到 22 ， 12 連到 0 , 13 連到 2 ， ……， 23 連到 22 ，則這些弦的包絡線為一心臟線，這組問題引起我對包絡線的注意。 80 年暑假參加數學研習營，楊維哲教授談到“心臟線”是數個曲線族的包絡線，心臟線也是圓族的包絡線；因此更引發我對包絡線的興趣，想作更進一步的探討和研究。

計算二階階差數列級數和的問題，是數學愛好者在接觸數列時常會遇到的入門類型。本研究者在偶然的機會看到這樣的題目後，乃有興趣再更深入認識階差數列，因而開展本研究的目的，即在於探討各階階差數列特性及發展計算各階階差數列級數和的通用方法。經由對階差數列的觀察，本研究運用創新的圖形來思考階差數列的特性，發現〈三角形排列思考法〉是推導計算階差數列級數和的便利工具，進而從〈三角形排列思考法〉歸納出階差數列級數和計算式的數理性質與原理，並且已發展出計算任意階階差數列級數和的通式。

有一農夫帶著一隻狼、一隻羊及一個高麗菜渡河，而農夫划著小舟，一次只能載一物件。當農夫不在場時，狼會吃掉羊，羊會吃掉菜。只有農夫在場時，才不會發生上述情形。討論其最小移動次數及方法總數。 將菜、羊、狼編號為1、2、3，規定2能吃掉1，3能吃掉2，食性距離為一。其移動次數為7，方法總數為2。再將物件總數增加至n，利用合法狀態、連線數得到移動次數為7，方法總數為。另外討論平均移動次數，以了解物件編號為奇數與偶數不同的移動情形。 當了解距離為一時的移動情況後，延伸至距離大於等於二時，最後分成三個種類來討論。分別為： （一）物件總數：n ? d+1： 走法總數：n2 - n 種走法 次數：3次 （二）物件總數n=(β(d+1)+1)： 走法總數：-Y種走法 次數：5次 （三）物件總數n=(β(d+1)+R)，其中(R?{2~d}： 走法總數：-Z種走法 次數：3次

在教室的圖書箱有本數學遊戲書「茅塞頓開」老師偶而會拿裡面題目、和我們遊戲討論，其中有一題是「摺疊地圖」： 一張地圖的長為寬的兩倍。有很多種方法可以把它摺疊成一個面積為原來大小八分之一的正方形。按上圖的方式標示號碼，並記錄下摺疊好的地圖中數字出現的次序，看看你能找到多少種不同的摺法。 現在要考驗你的技巧，請把地圖摺好，使得數字順序為 l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 。 其實這個遊戲和地圖一點關係都沒有，而是要摺紙，使它有次序的成一疊，數字由上到下 1 、 2 、 3 、 4 ……排好。基本上它的構造是正方形連塊但八連塊所有變化實在多，頭都昏了。於是我們試著加以改變再探討。

目前社會上，我們常聽到人們談到標會，可見標會非常的普遍，因此引起我們的與趣，我們產生了兩個問題：1.標會是什麼 ?2.標會的利益是什麼？也就是說為什發會這麼普遍？我們這篇報告是針對這兩個問題的探討：第一：樣會是以某人為召集（即為會首）他召集了一些人，（如十人）參加第一個月”每人（會首除外），繳一定額（如 1000 元）給會首（即 10 , 000 元），第二個月即開始標合，其他十人需用錢者，以出最高價者（如 200 元）得標，則會首繳 1 000 元，而其餘九人未得標者，繳 800 元，共 8 , 20 0元給得標者，得標者為死會，以後每月繳1,000 元，至最後一人得 10 , 000 元為尾會者。以上是解釋標會的意義，下一個問題才是我們的主題第二：標會的利潤何在？如何計算？計算的標準是什麼？我們想了很久，決定以銀行的利率（放款及存款）及二分五厘（約二倍於銀行利率作估算此會利率）為計算標準。

一次意外的接觸數獨，開啟了我們研究數獨的興趣，在不斷解題的過程中，我們整理出一些解數獨謎題的方法，探索了數獨題目的難易差別，及設計題目的要領，接著我們利用數獨的對稱位置，創作出有趣的圖形，最後我們嘗試設計出立體的魔術方塊數獨、圓形的雲林縣徽數獨及超炫的布袋戲數獨。

上學期老師教我們 2 、 3 、 5 、 11 的倍數的識別法，我們對於這個問題非常有興趣，以老師教我們的 11 的倍數的識別法為例： 例 1 ：識別 23507 是不是 11 的倍數 奇數個數的和 7 + 5 + 2 = 14 偶數個數的和 0 + 3 = 3 14 - 3 = 11 所以知道 23507 為 11 的倍數 例 2 ：識別 636845是不是 11 的倍數 奇數個數的和為 16 偶數個數的和為 16 16 一 16 = 0 所以知道 636845 為 11 的倍數 以上兩種情形得知皆為 11 的倍數，因此老師問我們，除了上項方法可以識別 11 的倍數外，是否還有其他的識別方法呢？ 我們就利用課餘的時間，並在老師的指導下著手研究「 11 、 21 、 31 、 41 、 51 … … 的倍數」的簡易識別法。

想當初，剛剛開學時，同學們的心還未收回來，校園簡直成了遊樂場，上上下下、左右 左右鬧的不可開交，連在上課時也是心不在焉，一心只想往外面跑，讓老師及家長非常傷透腦筋，許多方法都試過了，最後大家只好在朝會時公布同學們的十大罪狀要求同學改進。其中有一條就是：「大家上下樓梯時造成推擠，而且會有一次跳2～3 個樓梯的情況」。雖然不是什麼大不了的事情，但危害了上下樓梯同學的安全，所以校方嚴重禁止此類事情發生。 現在，此類事情已很久沒發生了，但遺留在我們心裡的「一次跳2～3 個樓梯的情況」，卻讓我們想到了一個問題，因為老師正上到數列的規則和判別，也剛好介紹到費氏數列(geocities)這樣的東西可以快速的解出「一次跳1～2 個樓梯的情況」。我們心裡不禁想：那麼…會不會有一次跳5 個以上的樓梯的情況呢？如果有,那麼我們有沒有辦法很快的一次把這個答案算出來呢？ 我們跑去問老師，答案是肯定的…有這樣的方法可以算出來，但是僅限於費氏數列(geocities)才有辦法，那我們又想….如果不是費氏數列(geocities)，而是一次跨3 步以上的題目有沒有辦法呢？可能有吧？就靠著這百萬分之一的可能性，我們展開了我們的研究之路~~~~推廣費氏數列(geocities)！

在陶哲軒教你聰明解數學中有一個題目：一個學生在正方形游泳池中央，他的老師(不會游泳)站在游泳池邊的一個角上。老師奔跑的速度是學生游泳速度的三倍，但學生在岸上跑得比老師快，只要學生能到達岸邊尚未被老師追到即算成功逃脫。請問男生能逃脫老師的追逐嗎?(假設兩個人都可以自由移動)。從此題中提出不同的想法，進而去思考不同移動方式與移動距離的關係，並作探討與分析。從在正方形游泳池上的游泳池追逐戰，延伸至在不同的形狀如圓形及正三角形、正五邊形、正六邊形等，並設計與討論不同逃脫路徑中，學生仍能逃脫時老師的速度最大為學生的幾倍。最後推廣到在正多邊形內設計學生逃脫路徑並研究其師生的速度比。