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數學科

圖形思考推導階差數列級數和的通用公式

計算二階階差數列級數和的問題,是數學愛好者在接觸數列時常會遇到的入門類型。本研究者在偶然的機會看到這樣的題目後,乃有興趣再更深入認識階差數列,因而開展本研究的目的,即在於探討各階階差數列特性及發展計算各階階差數列級數和的通用方法。經由對階差數列的觀察,本研究運用創新的圖形來思考階差數列的特性,發現〈三角形排列思考法〉是推導計算階差數列級數和的便利工具,進而從〈三角形排列思考法〉歸納出階差數列級數和計算式的數理性質與原理,並且已發展出計算任意階階差數列級數和的通式。

游泳池追逐戰

在陶哲軒教你聰明解數學中有一個題目:一個學生在正方形游泳池中央,他的老師(不會游泳)站在游泳池邊的一個角上。老師奔跑的速度是學生游泳速度的三倍,但學生在岸上跑得比老師快,只要學生能到達岸邊尚未被老師追到即算成功逃脫。請問男生能逃脫老師的追逐嗎?(假設兩個人都可以自由移動)。從此題中提出不同的想法,進而去思考不同移動方式與移動距離的關係,並作探討與分析。從在正方形游泳池上的游泳池追逐戰,延伸至在不同的形狀如圓形及正三角形、正五邊形、正六邊形等,並設計與討論不同逃脫路徑中,學生仍能逃脫時老師的速度最大為學生的幾倍。最後推廣到在正多邊形內設計學生逃脫路徑並研究其師生的速度比。

個人移位跳棋遊戲的探討

課餘時間,老師常鼓勵我們玩一些智遊戲。同學常輪流提供許多題材。我看上的是在Boris A.Kordemskyed,張能杰譯的「趣味數學問題集」中的跳棋問題。茲將書中的問題摘錄如下: ☆移位跳棋 將三個白棋置於如下圖中之1、2、3之方格內,同時在5、6、7三個方格內放入黑棋。 如何將三個白棋子移到黑棋子所佔昀位置內。移動的規則如下:可以將棋子移入鄰斤的空格,或者取出一棋子路過鄰近的棋子置於空格內。本題需要移動15次。 基本上這個遊戲是直線上「移位遊戲」,完成原題3-3的瓶稱並不難,但m-n或其他變化的解題,還真的很傷腦筋。因此我到圖書室想從相關文獻中去找解題的資料,我找到獲選我國參加加拿到1996年科學展覽會的高中組作品。「走走跳跳」: 另外在中華民國第三十九屆中小學科學展覽優勝作品專輯(高中組)中,第二名的優勝作品「乾坤大挪移」也是針對直線型移位遊戲加以探討。我覺得個人移位跳棋遊戲在移動過程中有特別的數學規律,又可以很有變化,於是想進一步研究它。

標會利潤的計算

目前社會上,我們常聽到人們談到標會,可見標會非常的普遍,因此引起我們的與趣,我們產生了兩個問題:1.標會是什麼 ?2.標會的利益是什麼?也就是說為什發會這麼普遍?我們這篇報告是針對這兩個問題的探討:第一:樣會是以某人為召集(即為會首)他召集了一些人,(如十人)參加第一個月”每人(會首除外),繳一定額(如 1000 元)給會首(即 10 , 000 元),第二個月即開始標合,其他十人需用錢者,以出最高價者(如 200 元)得標,則會首繳 1 000 元,而其餘九人未得標者,繳 800 元,共 8 , 20 0元給得標者,得標者為死會,以後每月繳1,000 元,至最後一人得 10 , 000 元為尾會者。以上是解釋標會的意義,下一個問題才是我們的主題第二:標會的利潤何在?如何計算?計算的標準是什麼?我們想了很久,決定以銀行的利率(放款及存款)及二分五厘(約二倍於銀行利率作估算此會利率)為計算標準。

渡河問題

有一農夫帶著一隻狼、一隻羊及一個高麗菜渡河,而農夫划著小舟,一次只能載一物件。當農夫不在場時,狼會吃掉羊,羊會吃掉菜。只有農夫在場時,才不會發生上述情形。討論其最小移動次數及方法總數。 將菜、羊、狼編號為1、2、3,規定2能吃掉1,3能吃掉2,食性距離為一。其移動次數為7,方法總數為2。再將物件總數增加至n,利用合法狀態、連線數得到移動次數為7,方法總數為。另外討論平均移動次數,以了解物件編號為奇數與偶數不同的移動情形。 當了解距離為一時的移動情況後,延伸至距離大於等於二時,最後分成三個種類來討論。分別為: (一)物件總數:n ? d+1: 走法總數:n2 - n 種走法 次數:3次 (二)物件總數n=(β(d+1)+1): 走法總數:-Y種走法 次數:5次 (三)物件總數n=(β(d+1)+R),其中(R?{2~d}: 走法總數:-Z種走法 次數:3次

怨言不斷~探討排列人數與怨言數的關係

本研究主要探討怨言數y與排列人數x的關係,根據研究發現,怨言數的排列個數f(x,y)與人數x的排列組合有關。當x個人排列時,怨言數f(x,y)為0≤y≤x(x-1)/2;而怨言數的排列個數f(x,y)有對稱性,即f(x,y)=(x,x(x-1)/2-y)。從1個人排列開始,依序列出1~x個人排列人數的f(x,y)後,以f(x,y)=f(x-1,y)+f(x-1,y-1)+f(x-1,y-2)+...+f(x-1,y-x+1)可算出f(x,y)。最後,我發現用組合公式n!/m!(n-m)!可直接計算出f(x,0)~f(x,3)的數值,並根據研究結果限制對未來研究提出建議。

摺紙成疊的探討

在教室的圖書箱有本數學遊戲書「茅塞頓開」老師偶而會拿裡面題目、和我們遊戲討論,其中有一題是「摺疊地圖」: 一張地圖的長為寬的兩倍。有很多種方法可以把它摺疊成一個面積為原來大小八分之一的正方形。按上圖的方式標示號碼,並記錄下摺疊好的地圖中數字出現的次序,看看你能找到多少種不同的摺法。 現在要考驗你的技巧,請把地圖摺好,使得數字順序為 l 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7 、 8 。 其實這個遊戲和地圖一點關係都沒有,而是要摺紙,使它有次序的成一疊,數字由上到下 1 、 2 、 3 、 4 ……排好。基本上它的構造是正方形連塊但八連塊所有變化實在多,頭都昏了。於是我們試著加以改變再探討。

共邊三角形的內切圓

本文主要研究共邊三角形的內切圓半徑,如圖,給定任意∆ABC,D為BC邊上的任一動點,分別用r1,r2表示∆ABD,∆ACD內切圓的半徑,則r1=r2時,r1+r2有最大值。若將此圖看成在一個公園裡有四條路AB,AD,AC,BC,今興建圓形湖泊並利用木棧道連接湖的中心與馬路,若要求湖的中心到路的距離和3(r1+r2)最大使遊客們能充分欣賞美景以促進光觀效益,則此時r1=r2。最後也將此性質推廣到多圓的情形。

等圓內接三角形及外切三角形面積的比較

1.等圓內接三角形面積那一種三角形面積最大?Z. 等圓外切三角形面積那一種三角形面積最小?3.等圓內接任意三角形一角與等腰三角形頂角相等時,角形面積大、還是任意三角形面積大?4.等圓外切任意三角形一角與等腰三角形頂角相等時,角形面積大、還是任意三角形面積大?

簡單函數在密碼學之應用-三重加密法

在高一下學期三角函數課程中我們學到正餘弦疊合函數,f(x)=asinx+bcosx,我們發現給予不同之參數a、b與x值除了可以得到不同之f(x)之外,若藉著一系列之疊代獲得之a、b與x亦可求得一系列之當作換位加密時之移位使用,其優點是可以讓資料之換位次序非常凌亂,提高資料保密之安全性。 f(x)在高一上學期整數單元中學到輾轉相除法原理,輾轉相除法除了求得兩個較大正整數之最大公因數之外,利用輾轉相除法之求解過程中,可以將一個最簡假分數化為簡單連分數型式。因此可以利用此簡單技巧作為一個正整數數列與最簡假分數的應對工具達成明文與密文之轉換作為加密與解密工具。\r 另外整數單元中也學到同餘運算,可以解一些較大正整數之間除法運算的餘數問題,RSA加密方法即利用此方法達到增加解密之困難度。\r 我們將以上三種方法適當結合而提出我們新的加密與解密方法,稱為「三重加密法」,其優點可達成資料壓縮與資料保密之效果。