數學科

1.等圓內接三角形面積那一種三角形面積最大？Z. 等圓外切三角形面積那一種三角形面積最小？3.等圓內接任意三角形一角與等腰三角形頂角相等時，角形面積大、還是任意三角形面積大？4.等圓外切任意三角形一角與等腰三角形頂角相等時，角形面積大、還是任意三角形面積大？

班上有42位同學進行交換禮物活動，每人提供一份禮物，抽到自己的禮物不需重抽，每人都抽一樣禮物，將禮物全部抽完。我們定義： 1.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號同學抽到 1 號同學的禮物，則稱這兩位同學為一組。 2.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號同學抽到 7 號同學的禮物， 7 號同學抽到 1 號同學的禮物，則稱這三位同學為一組。 3.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號抽到 7 號， 7 號抽到 9 號， 9 號抽到 1 號，則稱這四位同學為一組。 以此類推。 問題一：全部同學都抽完禮物後，分成組數的期望值為何？ 我們求得期望值 = 1+1/2+1/3+1/4+……+1/42 問題二：全部同學都抽完禮物後，不出現兩位同學一組的機率為何？ 我們求得機率 =1-1/2-1/2x4-1/2x4x6-1/2x4x6x8-……-1/2x4x6x…x40x42 答案居然是e-1/2泰勒展開到的第21次項的結果！

五上第十一單元介紹正多邊形，並在綜合應用(三)介紹求正多邊內角和的方法。我們發現每一個正 N 邊形都可以被分割成 N - 2 個三角形，因此正 N 邊形的內角和等於 180° × （ N - 2 ）。但是分割正 N 邊形為三角形到底有多少種方法及類型（不同分割方法，旋轉後會相同的，我們將它們視為同一類型），我們是否能找到一些分割正多邊形成三角形的方法及類型的規律或關係呢？引發了我們的研究興趣。在老師的支持與鼓勵下，我們向正 N 邊形挑戰，希望能有突破性的發現。

本研究主要探討怨言數y與排列人數x的關係，根據研究發現，怨言數的排列個數f(x,y)與人數x的排列組合有關。當x個人排列時，怨言數f(x,y)為0≤y≤x(x-1)/2；而怨言數的排列個數f(x,y)有對稱性，即f(x,y)=(x,x(x-1)/2-y)。從1個人排列開始，依序列出1～x個人排列人數的f(x,y)後，以f(x,y)=f(x-1,y)+f(x-1,y-1)+f(x-1,y-2)+...+f(x-1,y-x+1)可算出f(x,y)。最後，我發現用組合公式n!/m!(n-m)!可直接計算出f(x,0)～f(x,3)的數值，並根據研究結果限制對未來研究提出建議。

我們這個作品想討論2個關於次序變化的問題, 第一個是約瑟夫問題的公式. 原始的約瑟夫問題是說, 將正整數1,2,…,n 依序排成一圈, 從1開始1,2,1,2,…報數,不斷去掉報數為”2”的數字, 求出最後剩下的數字, 細節在Knuth教授的著作: 具體數學 (參考文獻[1]) 被完整的得出. 我們參考文獻[2]了解以前這個問題的進展程度, 並試著用我們的方法推導出以下問題的公式. 問題如下: 給定n個數字及正整數L, 在報數規則為”留1去L”時 (從1開始1,2,…,L+1,1,2,…,L+1,…報數, 報數為2~L+1的就去掉, 不斷重複此過程), 在第x次被刪除的數字的公式, 並應用此公式找出不動點 x 滿足: 第x次去掉第x個數字. 在一般的”留 α 去 β “的情況, 我們則推導出一個便於計算的迭代關係.

在高一下學期三角函數課程中我們學到正餘弦疊合函數，f(x)=asinx+bcosx，我們發現給予不同之參數a、b與x值除了可以得到不同之f(x)之外，若藉著一系列之疊代獲得之a、b與x亦可求得一系列之當作換位加密時之移位使用，其優點是可以讓資料之換位次序非常凌亂，提高資料保密之安全性。 f(x)在高一上學期整數單元中學到輾轉相除法原理，輾轉相除法除了求得兩個較大正整數之最大公因數之外，利用輾轉相除法之求解過程中，可以將一個最簡假分數化為簡單連分數型式。因此可以利用此簡單技巧作為一個正整數數列與最簡假分數的應對工具達成明文與密文之轉換作為加密與解密工具。\r 另外整數單元中也學到同餘運算，可以解一些較大正整數之間除法運算的餘數問題，RSA加密方法即利用此方法達到增加解密之困難度。\r 我們將以上三種方法適當結合而提出我們新的加密與解密方法，稱為「三重加密法」，其優點可達成資料壓縮與資料保密之效果。

即使是一個小學生，只要他有圓規，他就能繪出一隨心所欲之圓，但如果有人想繪一橢圓，他將會發現只能用一些笨拙與不便的方法，諸如：同心圓法、直尺定心法，平行四邊形法、四心近似法等，最不幸的是用上述之法所得之曲線，只是一些“近似曲線”而非確實之橢圓曲線，因為橢圓隨離心率之不同其“寬”與“扁”程度有異，要應付這些不同之離心率，是一個很大的困擾，至目前為止還沒有一個很好的方法，來繪一吾人隨心所欲之橢圓。如果你下定決心立志要研究出一繪任何形狀之橢圓的”橢圓規”（姑且名之）以利大眾，要替你高興的是，你不必具多高深之專鬥知識，你只要會多加應用你的思考力即可。

有一天，老師表演了一種聽音撲克牌魔術，只見老師拿了一副撲克牌，洗牌後請同學抽出一張，並隱?藏起來，然後老師把剩下的撲克牌在耳邊聽了一下，居然能立刻說出被抽走那一張撲克牌的花色和點數，試了好幾次，百發百中，非常神奇!在我們百般的要求下，老師終於傳授給我們秘訣，知道秘訣後玩了一陣子，我們還將玩法做了變化，而我們更想知道這個變化能不能無限延伸，於是我們決定以聽音撲克牌為主題，做一些探討。

本文主要研究共邊三角形的內切圓半徑，如圖，給定任意∆ABC，D為BC邊上的任一動點，分別用r1,r2表示∆ABD,∆ACD內切圓的半徑，則r1=r2時，r1+r2有最大值。若將此圖看成在一個公園裡有四條路AB,AD,AC,BC，今興建圓形湖泊並利用木棧道連接湖的中心與馬路，若要求湖的中心到路的距離和3(r1+r2)最大使遊客們能充分欣賞美景以促進光觀效益，則此時r1=r2。最後也將此性質推廣到多圓的情形。

常我們遇到形如 x+2y+3z≦10 的不等式，而欲求其非負整數解的組數時，我們習慣的解法是：令 z=0 得x+2y≦10，共有( 0 ,0 , 0 ) , ( l , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , o )，…… 及 ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 5 , 0 )等 36 組非負整數解。 z = 1 得 x +2y≦7 ，共有( 0 , 0 , 1 ) , ( l , 0 , l ) , ( 2 , 0 , l )，…… 及 ( 0 , 3 , l ) , ( l , 3 , l ）等20組非負整數解。z= 2 得 x + 2y≦4 ，共有（ 0 , 0 , 2 ) , ( l , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 2 ) ， …… 及 ( 2 , l , 2 ) , ( 0 , 2 , 2 ）等 9 組非負整數解。z = 3得 x + 2y≦l ，共有（ 0 , 0 , 3 ）及（ 1 , 0 , 3）等 2 組非負整數解。故合計有 36 + 20 + 9 + 2 = 67組非負整數解，這種解法主要是利用平面z = 0 ，…，z = 3 來逐點截取合適的解，它的精神由下圖（在坐標平面IR 2上）可以明白的表示出來，因此我們稱這種解法為“逐點截取法”。但是，一但n=1000 ，甚至更大，或是一般自然數 n ，如何用逐點截取法一點一點去取？顯然，它是繁瑣得令人厭煩！於是我們幾位同好就著手研究這個問題，希望能從中得到一個較為簡便的方法，下面就是我們的研究過程，請各位老師、先進指導。