數學科

班上有42位同學進行交換禮物活動，每人提供一份禮物，抽到自己的禮物不需重抽，每人都抽一樣禮物，將禮物全部抽完。我們定義： 1.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號同學抽到 1 號同學的禮物，則稱這兩位同學為一組。 2.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號同學抽到 7 號同學的禮物， 7 號同學抽到 1 號同學的禮物，則稱這三位同學為一組。 3.若 1 號同學抽到 5 號同學的禮物， 5 號抽到 7 號， 7 號抽到 9 號， 9 號抽到 1 號，則稱這四位同學為一組。 以此類推。 問題一：全部同學都抽完禮物後，分成組數的期望值為何？ 我們求得期望值 = 1+1/2+1/3+1/4+……+1/42 問題二：全部同學都抽完禮物後，不出現兩位同學一組的機率為何？ 我們求得機率 =1-1/2-1/2x4-1/2x4x6-1/2x4x6x8-……-1/2x4x6x…x40x42 答案居然是e-1/2泰勒展開到的第21次項的結果！

由4x3的方塊中，在缺一方格下計算總方格數的挑戰為起點，我試著探討在缺塊n x n的正方形中總方格數和 任取一個位置方格(x,y) 或 任取出二個橫向位置方格[(x,y),(x,y+1)]、縱向位置方格[(x,y),(x+1,y)] 後之規律性及函數的關係，如下圖所示。並定義在未缺塊的正方形中，總方格數為C(n)，且C(n)=Σk2。 研究結果顯示，其函數式經由二種規律性 (A)一般性及 (B)遞迴性 求得，結果如下: 一、 任取一個位置方格(x,y)之總方格數二、 任取二個橫向位置方格 [(x,y),(x,y+1)] 或 縱向位置方格[(x,y),(x+1,y)] 之總方格數

上學期老師教我們 2 、 3 、 5 、 11 的倍數的識別法，我們對於這個問題非常有興趣，以老師教我們的 11 的倍數的識別法為例： 例 1 ：識別 23507 是不是 11 的倍數 奇數個數的和 7 + 5 + 2 = 14 偶數個數的和 0 + 3 = 3 14 - 3 = 11 所以知道 23507 為 11 的倍數 例 2 ：識別 636845是不是 11 的倍數 奇數個數的和為 16 偶數個數的和為 16 16 一 16 = 0 所以知道 636845 為 11 的倍數 以上兩種情形得知皆為 11 的倍數，因此老師問我們，除了上項方法可以識別 11 的倍數外，是否還有其他的識別方法呢？ 我們就利用課餘的時間，並在老師的指導下著手研究「 11 、 21 、 31 、 41 、 51 … … 的倍數」的簡易識別法。

五上第十一單元介紹正多邊形，並在綜合應用(三)介紹求正多邊內角和的方法。我們發現每一個正 N 邊形都可以被分割成 N - 2 個三角形，因此正 N 邊形的內角和等於 180° × （ N - 2 ）。但是分割正 N 邊形為三角形到底有多少種方法及類型（不同分割方法，旋轉後會相同的，我們將它們視為同一類型），我們是否能找到一些分割正多邊形成三角形的方法及類型的規律或關係呢？引發了我們的研究興趣。在老師的支持與鼓勵下，我們向正 N 邊形挑戰，希望能有突破性的發現。

想當初，剛剛開學時，同學們的心還未收回來，校園簡直成了遊樂場，上上下下、左右 左右鬧的不可開交，連在上課時也是心不在焉，一心只想往外面跑，讓老師及家長非常傷透腦筋，許多方法都試過了，最後大家只好在朝會時公布同學們的十大罪狀要求同學改進。其中有一條就是：「大家上下樓梯時造成推擠，而且會有一次跳2～3 個樓梯的情況」。雖然不是什麼大不了的事情，但危害了上下樓梯同學的安全，所以校方嚴重禁止此類事情發生。 現在，此類事情已很久沒發生了，但遺留在我們心裡的「一次跳2～3 個樓梯的情況」，卻讓我們想到了一個問題，因為老師正上到數列的規則和判別，也剛好介紹到費氏數列(geocities)這樣的東西可以快速的解出「一次跳1～2 個樓梯的情況」。我們心裡不禁想：那麼…會不會有一次跳5 個以上的樓梯的情況呢？如果有,那麼我們有沒有辦法很快的一次把這個答案算出來呢？ 我們跑去問老師，答案是肯定的…有這樣的方法可以算出來，但是僅限於費氏數列(geocities)才有辦法，那我們又想….如果不是費氏數列(geocities)，而是一次跨3 步以上的題目有沒有辦法呢？可能有吧？就靠著這百萬分之一的可能性，我們展開了我們的研究之路~~~~推廣費氏數列(geocities)！

我們這個作品想討論2個關於次序變化的問題, 第一個是約瑟夫問題的公式. 原始的約瑟夫問題是說, 將正整數1,2,…,n 依序排成一圈, 從1開始1,2,1,2,…報數,不斷去掉報數為”2”的數字, 求出最後剩下的數字, 細節在Knuth教授的著作: 具體數學 (參考文獻[1]) 被完整的得出. 我們參考文獻[2]了解以前這個問題的進展程度, 並試著用我們的方法推導出以下問題的公式. 問題如下: 給定n個數字及正整數L, 在報數規則為”留1去L”時 (從1開始1,2,…,L+1,1,2,…,L+1,…報數, 報數為2~L+1的就去掉, 不斷重複此過程), 在第x次被刪除的數字的公式, 並應用此公式找出不動點 x 滿足: 第x次去掉第x個數字. 在一般的”留 α 去 β “的情況, 我們則推導出一個便於計算的迭代關係.

即使是一個小學生，只要他有圓規，他就能繪出一隨心所欲之圓，但如果有人想繪一橢圓，他將會發現只能用一些笨拙與不便的方法，諸如：同心圓法、直尺定心法，平行四邊形法、四心近似法等，最不幸的是用上述之法所得之曲線，只是一些“近似曲線”而非確實之橢圓曲線，因為橢圓隨離心率之不同其“寬”與“扁”程度有異，要應付這些不同之離心率，是一個很大的困擾，至目前為止還沒有一個很好的方法，來繪一吾人隨心所欲之橢圓。如果你下定決心立志要研究出一繪任何形狀之橢圓的”橢圓規”（姑且名之）以利大眾，要替你高興的是，你不必具多高深之專鬥知識，你只要會多加應用你的思考力即可。

一次意外的接觸數獨，開啟了我們研究數獨的興趣，在不斷解題的過程中，我們整理出一些解數獨謎題的方法，探索了數獨題目的難易差別，及設計題目的要領，接著我們利用數獨的對稱位置，創作出有趣的圖形，最後我們嘗試設計出立體的魔術方塊數獨、圓形的雲林縣徽數獨及超炫的布袋戲數獨。

由三角形三中線點，三角平分線及三高的圖形分析，皆是由頂點一個三角形自頂點任引出三射線，此三射線可交一小三角形出來，我們要研究此小三角形面積對於原有三角形面積之關係，進而對於三中線，三角形分線及三高加以研討。

常我們遇到形如 x+2y+3z≦10 的不等式，而欲求其非負整數解的組數時，我們習慣的解法是：令 z=0 得x+2y≦10，共有( 0 ,0 , 0 ) , ( l , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , o )，…… 及 ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 5 , 0 )等 36 組非負整數解。 z = 1 得 x +2y≦7 ，共有( 0 , 0 , 1 ) , ( l , 0 , l ) , ( 2 , 0 , l )，…… 及 ( 0 , 3 , l ) , ( l , 3 , l ）等20組非負整數解。z= 2 得 x + 2y≦4 ，共有（ 0 , 0 , 2 ) , ( l , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 2 ) ， …… 及 ( 2 , l , 2 ) , ( 0 , 2 , 2 ）等 9 組非負整數解。z = 3得 x + 2y≦l ，共有（ 0 , 0 , 3 ）及（ 1 , 0 , 3）等 2 組非負整數解。故合計有 36 + 20 + 9 + 2 = 67組非負整數解，這種解法主要是利用平面z = 0 ，…，z = 3 來逐點截取合適的解，它的精神由下圖（在坐標平面IR 2上）可以明白的表示出來，因此我們稱這種解法為“逐點截取法”。但是，一但n=1000 ，甚至更大，或是一般自然數 n ，如何用逐點截取法一點一點去取？顯然，它是繁瑣得令人厭煩！於是我們幾位同好就著手研究這個問題，希望能從中得到一個較為簡便的方法，下面就是我們的研究過程，請各位老師、先進指導。