本文觀察在任意四邊形和蝴蝶形的內、外角平分線所圍成的各種四邊形，並找出相關的性質，其中發現了許多共圓的四邊形，試著證明這些共圓四邊形之間的幾何性質，並探討 這些四邊形的面積關係。

在制定的變換規則下，找出六種變換性質，探討n種變色龍中只有兩種變色龍的數量發生改變，稱為基本變換。我們以n=4為例，列出變換次數與基本變換數碼之方程式，令第一種變色龍的變換次數為零，以最簡單整數比求出所有變色龍的變換次數與基本變換數碼。接著以相同的方法完成n=5、n=6，並將結果寫成方陣。 觀察方陣，發現其中有基本變換式的存在，即形成差成等比的基本變換數列，經由算式推導後可得基本變換數碼的三個疊代關係式，及基本變換數碼的一般式，另外我們也發現基本變換方陣具有對稱性，並以數學歸納法證明之。在我們了解基本變換的特性後，便可以另一種方式完成方陣，讓填寫方陣能更快速。

本文以一個跟線段比例和有關的幾何問題出發，探討該問題的推廣以及其背後的數學原理。我們接續原命題中正方形的結論，推廣到了正多邊形乃至等腰三角形。在推廣不等邊三角形時又發現問題與「交比和為定值」有關。將相同概念套用到後續的研究，最終將結論推廣到任意圓錐曲線外切多邊形。

本研究旨透過「三視圖」的認識與研究，利用「貼盒法」進行其反向思考，找到多生三視圖的種類與樣式、規律性及積木塊的極值，並推廣到4×4×4的方塊，甚至n×n×n。最後由顏色、數字的介入，使三視圖產生獨一性，並加以延伸其概念，發展出「數獨積木」的玩法。 在研究「三視圖」的過程發現到前視圖與右視圖的視角交會處的個數≤(前視圖視角個數∩右視圖視角個數)就會產生多生三視圖，極值也會隨著三同圖或二同圖等，規律有所變化。過程中不僅助於培養學生觀察能力、空間想像能力、形象思維能力和幾何直觀能力，對於發展空間概念，更是有一定增強作用，希冀透過我們發明的「數獨積木」可以讓這些概念更能夠被大家廣泛接受。

我們發現任何進位的Kaprekar變換，都可以轉換成Kaprekar運算矩陣，而此運算矩陣會滿足引理2的條件。以此為基礎探討5進位Kaprekar變換，大致可分為三個層面：一是找出5進位Kaprekar常數的形式；二是經過數次的變換後Kaprekar會維持Type1的形式，對此形式的Kaprekar數，我們引進比值x與y，並且定義g(x,y),以表示經Kaprekar變換後的比值。在此基礎下討論5進位中Kaprekar變換的循環結構；三、5進位Kaprekar變換非常複雜，我們找到特定的x與y條件下，Kaprekar數的循環長度會是任意大，且存在需要進行任意給定長度後才開始出現循環的Kaprekar數列。 本文的主要結果分別對應於引理2、引理3和定理3、定理4以及定理5中。

此研究主要探討一個任意的矩形將其挖去設定的缺格形狀，接著將矩形分割成數個區塊，以因式分解法、逆推法、階梯狀切割技術、座標位置移動法等研究方法，透過平移、旋轉、翻轉，重組成另一個較小的矩形，探討能否有最少片解，並尋找其中與矩形長寬的關係。研究發現，十種缺格類型能運用特定分割策略，可有最少片數二片或三片解完成重組，進而將圖形逐步擴大尋找出一般化規律。此外將缺格為方型、P字型的矩形，探討階梯狀切割技術進階探究以最少切割片數，嘗試分析多種滿足a2+b2=c2的畢氏三元數組及滿足a2+b2+c2=d2的四元數組，歸納出能以不同的切割策略，用分割移動圖解方式得重組成正方形，並探討其一般化規律。

本篇主要在探討三角形內多圓連續相切的幾何問題，並將狀況依序分為二、三、四圓，其中完整分析出正三角形及等腰三角形的分割線段長比，而任意三角形則於坐標化後才討論。過程中為更進一步探討任意數量分割圓的性質，我們將三角形其中一頂點置於原點上觀察，以此發現並證明了所有圓心會共同一條拋物線、雙曲線之漸近線通過分割點且垂直底邊、存在公切圓且此圓會過三角形頂點等幾何性質。 此外為求分割點坐標，我們利用內切圓的相關性質得出兩迭代公式，以此解決了原題的一般化情形，而在延伸討論中，我們探討了分別與雙邊及單邊相切的圓，前者為文獻中的「馬爾法蒂問題」，後者我們則是分析「分割中心」的存在性及其所在位置。

本研究主要推廣拿破崙定理，原本想探討以其他多邊形的邊長為基底，向內、外作正三角形，再分別將其內、外所有正三角形中心連線後，所形成的n邊形與原n邊形之間，是否如拿破崙定理般有「任意三角形的外拿破崙三角形與內拿破崙三角形的面積之差等於原三角形的面積」之結論？透過作圖觀察發現，外仿拿破崙n邊形及内仿拿破崙n邊形與原n邊形之面積關係，會因錯位、角度的不同而有兩種不同的結果。因此我們將錯位分為五種情況探討，再分別將此不同情形實際運用於三、四、五、六邊形，只需得知原n邊形中的一夾角和内仿拿破崙n邊形中任一點對應此角是否有錯位，便可推論出整個圖形的外仿拿破崙n邊形、内仿拿破崙n邊形及原n邊形之間的面積關係。

本研究針對2022IMO的第一題進行探討，即將兩種相同數量，不同材質的球排成一列，選中其中一個位置的球並將該球與其旁邊相同材質的球移至最左，找到特定的球數與選球方式，使得無論如何排列，皆能在移動後使最左的n顆球皆為相同材質。我們發現只要數列在進行操作時格數持續減少，即可達成條件。因此，我們先找到無法在進行操作時使格數持續減少的情況後，再證明其他情況皆可使格數持續減少，就可以求得解。在發現此規律後，我們針對原題進行推廣，例如將球的種類數推廣至m種、各類球的數量不同、多排數列並列……等情況。

本作品研究「將一塊正三角形的布，沿著圖形上節點即蛀點作切割，延伸至邊長為正整數的正三角形與正方形，且不管蛀蟲咬在哪一蛀點上，並分別切割成數個邊長為正整數的小正三角形與小正方形。發現原正三角形與原正方形在圖形上的所有蛀點，除去對稱性後，留下必要蛀點，並導出它的一般式。利用質因數分解找出邊長為合數的情況下，它的不得不切割片數最小，同時呈現必要蛀點在圖形上之分布。再者，利用邊長為某兩正整數(兩正整數皆大於一且可相等)切割後的相似圖形，找出邊長為兩數相乘的不得不切割片數最大與這兩數之關係，結果發現正三角形最上方第一個蛀點與正方形最左上方第一個蛀點的不得不切割片數必為此圖形的不得不切割片數最大。」