費馬多邊形數定理之延伸探討
本研究旨在研究費馬多邊形數定理(任意非負整數必可表成k個k邊形數的和)的一般化情況，也就是說，任意非負整數是否能表成給定的二次多項式數列中所選取的γ項和。以數學模型敘述，就是探討對一個已知的二次多項式an2+bn+c，是否可找到一正整數γ，滿足∀x∈N∪{0},∃α1,α2,…αγ,使得x=∑γi=1(aαi2+bαi+c)。 本作品主要探討若此探究模型存在，那麼數列〈an 〉的一般式an2+bn+c與γ值之間會存在什麼關係，並期望能運用一個簡潔明瞭又一般化的數學式表示。本文亦提供另一個數學模型，探討γ值與某些特殊係數a,b,c之間的關聯性。而本文探尋[a/2]n2+[b/2]n+1,a∈N,b∈Z,a+b≡0(mod 2)(此為本文主要探討的二次式)，求得此二次式所對應之γ值的方法為先令p=[2a/(a+b)]+2，再藉由所建立的模型二，求出[(p-2)/2] n2+[(4-p)/2] n的γ值，接著再用所建立的模型一來求得[a/2]n2+[b/2]n+1的γ值，進而依循此方法最後得出任意形如[a/2]n2+[b/2]n+1的二次式之γ值。
換心手術― 從三角形出發探討N邊形多心性質之研究
本研究從許多幾何研究中讀到「頂外三角形」的研究,我們延伸的「頂內三角形」、「頂垂三角形」以及尤拉線,這四個主題出發,展開研究,試圖串連這四個主題,讓「頂外三角形」不再孤單。 除了探討頂內三角形之外心、頂外三角形之垂心、頂垂三角形之內心與原三角形之內心、外心、垂心共點問題外,更進一步研究頂內三角形之尤拉線、頂外三角形之尤拉線、頂垂三角形之尤拉線與原三角心尤拉線彼此間的關係。 我們更研究出驚人的發現:頂垂三角形之三頂點與原三角形之三頂點六點共圓,並且頂內三角形、頂外三角形、頂垂三角形之尤拉線必與原三角形之尤拉線交於原三角形之外心。 發現令人興奮,應用產生價值,我們努力利用研究的發現,研發其在工程、產業、通訊、交通上的應用。