四等獎

108學年度台北市普通型高級中等學校數學及自然學科能力競賽數學科筆試(二)試題第四題，題目如下：「小明有A、B兩個盒子，一開始A盒裝有22顆彈珠，而B盒是空的。小明每次操作可以從A盒中拿一顆彈珠放到B盒，或從A盒中移去k顆彈珠，其中k是B盒子中的彈珠數量。小明至少需要幾次操作，才能將A盒中的彈珠完全清空。」 本研究利用算幾不等式及取整符號來推導出當A盒中有m顆單色的彈珠時，我們已能快速地找到清空盒內彈珠的的最少操作次數、B盒最終彈珠數量x及操作方法總數 ，進而能一一列出最少操作次數的所有可能操作 過程，而其中操作方法總數 的計算方法即為著名的正整數分割問題。其次，我們推廣至A盒有相同數量的1~4種顏色彈珠時，清空A盒彈珠所需的最少操作次數以及B盒最終彈珠數量。

旋葉之細部結構跟泵浦效率有密切的關連[1,2]，本研究專注探討不同幾何形狀旋葉構型之效應，我們先利用3D列印快速成形之技術優勢，做出50種不同的旋葉，分別有圓弧形、橢圓弧形及直立形進行實驗測試，並計算其總效率找出最高值的旋葉，編碼為A2-ea281-ia279-8。 將最高值旋葉，套入田口法進行優化，目標是望大。經過信噪比及均值分析後，發現影響總效率之最大參數是旋葉數，其次是出口角，最後是入口角，田口法中得出，重新設計的更細部參數的最佳旋葉是A2-ea28-ia23-8，同時利用機器學習建立迴歸函數模型，透過訓練的模型，預測出效率值，最後經過COMSOL Multiphysics軟體模擬檢測出A2-ea28-ia23-8依然保持最佳的內部流場狀況，並運用自行設計之簡易透明泵浦，進行測試與印證。

以將古文翻譯成白話文為初衷，以爬蟲擷取古文解譯網站「讀古詩詞網」中的大量古文及其白話翻譯作為訓練用的資料，並按照不同文體分開訓練。我們先嘗試用Bert模型做選擇題：給一句古文讓機器從四個選項中選出其翻譯。一開始隨機挑選其餘三個選項，正確率高達96%。因此我們挑戰更困難的設置，撰寫搜尋關鍵字的程式，將有與題目古文相同字的白話文放入選項。雖然準確率有些許降低，但仍高於只選重複字最多選項的結果，代表模型有發展出獨立的判定標準。選擇題成功後，我們用MT5 模型嘗試更困難的翻譯，並在訓練集中新增提供不同前後文的注釋資料幫助訓練。雖然還無法翻得非常準確，但仍在某些句子有不錯的表現。我們也發現了模型對某些特定類型字詞的翻譯有待加強，未來希望透過加強代名詞判斷訓練及持續新增注釋來增加整體翻譯能力。

本研究探討乙醇水溶液液滴於疏水流體表面之分裂現象。此現象可利用揮發造成乙醇之濃度梯度所驅動的表面張力梯度來解釋，此現象又稱為馬倫哥尼效應(Marangoni Effect)。液體為達到最低表面能而改變表面積的普托瑞立不穩定現象(Plateau Rayleigh Instability)也可以做為液滴分裂的解釋之一。 在研究中，研究團隊發現溶液在油面上會隨時間分裂出子液滴，並對於最終子液滴的半徑與分裂現象分別進行定量與定性之探討。本研究於先遣實驗中發現乙醇水溶液濃度之臨界下限為65%~67%重量百分濃度，並以大於(含)此濃度之溶液進行關於乙醇濃度、溶液體積與油層厚度、油層黏度四項參數對於最終子液滴半徑、分裂時間、液滴最大擴散半徑與擴散半徑演變之影響，也針對與參考文獻所選用液體不同深入探討異丙醇與乙醇的蒸發速率的差異如何影響實驗結果。

本研究利用水熱法合成 C-SnS2光觸媒，再藉由化學水浴沈澱法(CBP)將 Ag3PO4 奈米顆粒還原在 C-SnS2 表面，得到複合半導體 Ag3PO4@C-SnS2。接著再分別以 C-SnS2 和 Ag3PO4@C-SnS2 進行人工光合作用，將二氧化碳還原為可用能源，並探討兩者之差異。藉由電子顯微鏡、 X 光繞射儀、紫外-可見光光譜儀、傅立葉轉換紅外線光譜儀、 X 光光電子能譜儀和氣相層析儀，分析樣品的晶體結構、能隙、吸光範圍和二氧化碳還原反應的氣體產物。最後，我們發現複合物 Ag3PO4@C-SnS2 的光化學量子效率較純的 C-SnS2 高，也就是此複合物能有效的提升二氧化碳還原效率。

本研究是關於 nim 遊戲的兩種推廣（其中一種是一個稱為 the game of squayles 的遊戲的推廣），稱為 edge-removing game 和 star-removing game。此遊戲為兩人遊戲。在遊戲的一開始，有一個簡單圖 G。兩個玩家輪流刪除該圖的非空路徑或非空星子圖的邊。首先不能移動的一方輸掉遊戲。 在 edge-removing game 中，我成功計算出某些特殊圖的 Grundy numbers，並給出了一般 k 星的 Grundy numbers 上界。接著我定義了一種新的圖，稱為 nice graphs，並發現所有 nice graphs 都是 N-position。我由此給出了任意兩個非空圖的 join product 的解。至於圖的 Cartesian product，我給出了兩個滿足一定條件的非空圖的 Cartesian product 的解，並發現一個 fully nice graph 和任何至少有 2 個頂點的連通圖的 Cartesian product 也是 fully nice 的。使用這個性質，我給出了 r-dimensional grids 上的 edge-removing game 的解。 至於 star-removing game，我最大的突破是構思出對稱性這個概念。使用這個概念，我給出更一般化的結論，可以用來有效分析某些圖的 Cartesian product 上的的 star-removing game。使用這些結果，我給出了 r-dimensional grids 的解。

本研究提出一款新型硫化氫偵測之螢光探針，我們選用BTIC作為探針螢光主結構並藉由修飾上疊氮達成偵測硫化氫之目的。帶入設計上，利用PPH3形成與粒線體的電位差使其將探針帶進粒線體，最終進行粒線體內硫化氫之偵測與顯影。 目前本實驗已合成出螢光探針基本結構與側鍊結構，並初步檢測探針對於硫化氫的偵測能力，確認其能夠與之反應並有顯著螢光變化。另外，目前已成功接上側鍊，待純化出目標產物後將進行進一步的性質檢測，包括選擇性、靈敏性、及持久性。 最後，我們預計將探針實際進行生物顯影，做多個結構顯影的比對，確認本研究之成效。此外，我們希望此款螢光探針除硫化氫偵測外，還能夠進行生物機制探討或疾病細胞篩選的應用。

由於經濟需求，人們對於農藥的使用量增加，若善後工作處理不當，易使汙染落入環境中，造成生態汙染及食安疑慮，因此本研究製作二硫化鉬奈米片作為選擇性的二維吸附材料，在過程中產生結構上的缺陷，進行化學反應吸附環境中的毒性硫化物。並使其摻混於氣凝膠中，應用於水溶液中去除常見的農藥—得恩地。 透過合成以二硫化鉬為基材的氣凝膠，在定溫定壓及pH值範圍恆定的前提下，我們分別以吸附時間、起始濃度作為操作變因，研究其奈米級二維材料與其氣凝膠之移除率、最大吸附量和恆溫吸附模式，並與活性碳比較後，發現二硫化鉬奈米片具有特異性之有效吸附，氣凝膠易於回收並可增進其吸附量之優勢，進而達到去除汙染物的目的。

Brahmagupta n-gons是邊長為整數的圓內接多邊形，其對角線長與面積亦為整數，半徑為有理數。而作者發現參考文獻[2,3]建構的完美多邊形其實就是Brahmagupta n-gons經過適當伸縮後，使得外接圓半徑為整數時的圓內接多邊形。 參考文獻「建構邊長為整數的圓內接多邊形」[2] 與「建構三種以上相異整數邊長的圓內接多邊形」[3]是我2020年的作品，我建構了多類兩種以上相異整數邊長的圓內接多邊形的一般式。因為我的建構方法會使得外接圓半徑很大，故本研究先討論在單位圓上邊長為有理數的圓內接多邊形，再將其適當地伸縮後，即可得邊長為整數的圓內接多邊形。 在n倍角公式的研究方法也由隸美弗定理改成使用柴比雪夫多項式做更深層的刻畫，完整的找出多種相異整數邊長且外接圓半徑與所有對角線長均為整數的圓內接多邊形的一般式。

傳統藍染，染個深藍色的布，需要反覆侵染二、三十次才行，而每一次洗滌，都是藍水會對環境污染!我們自製鑑色儀器的設計，以白光照射吸光儀，讓光敏電阻感光後，測量一般電阻電壓大小，以不同濃度製作檢量線比較染液濃度；染布鑑色儀則是以GY-33顏色感測器校正後，快速測出色布上同樣區塊面積的RGB值，再利用線上顏色代碼轉換工具，轉換成HSB 值來分析染布顏色。而染布動力的部份我們想把一直都是用塑膠積木製作的二~六槳水車更新成金屬，然後再次比較出不同水位負載物的氧化及還原轉速，希望能找出最佳水車運轉速率及水位高度比，為了因應長度較大的藍巾，水車轉動還加入程式控制順逆轉軸的動力輪替。最後，我們比較增加風速或溫度可否加速藍染氧化之定色，讓精準快速的藍染文化成為可能。