數學科

本研究探討平面中三圓的關係，其中圓O固定不動，圓O1以逆時針方向滾動且繞行圓O；而圓O2同時也以逆時針方向滾動且繞行動圓圓O1。其中圓O1與圓O2上各有一動點P、Q。三圓一開始為圓O2分別與圓O和圓O1外切，且O 、Q、P三點成一直線，Q點介於O 、P兩點之間。當 ̅OO1與x軸夾角為θ時，先以繪圖軟體了解動點的軌跡；其次以三角比的概念求得P、Q兩點的坐標；最後再以電腦繪圖軟體，製作當三點共線時之θ值，並藉由函數圖形了解三點之中何者介於其他兩點之間。本研究由原本的三圓外切的情形，邁向討論三圓外離的情況，猶如恆星、行星、衛星三者的運行，進而以各圓半徑、兩圓連心距、繞行角度為變數，歸納合理的數學式，以利日後進行更廣泛的研究。

本研究探討原三角形掉落一角後重心產生偏移後，要如何透過截去另兩角的方式才能使剩餘六邊形重心能回復到原三角形重心。文中依據原三角形、掉落三角形、校正三角形分成六類探討不變心的切割方式及是否存在唯一性，並透過水平、垂直分量建立數學模型來說明作用在物體上的力矩平衡，達成重心不會產生偏移。 本研究利用水平、垂直分量不發生轉動的條件，列出數學式求出不變心裁切的位置，並利用 GeoGebra軟體繪圖驗證；且得知僅需【結論3】的做法，就可以解決所有缺角三角形保持重心不變的問題。更進一步發現維持不變心的三塊頂點三角形面積並不需要相等，打破了49 屆全國科展《剪不斷，理還亂-我就是不變心》的結論。

題目源自科學研習月刊[1]，與以往討論真假金幣最大的差異在於天秤的臂長為不等臂，故不能如以往的研究，單純的採用三分法判斷金幣的真偽。 為克服不等臂天秤無法採用三分法的限制，我們提出「類三分法」和「輔幣」作法。 輔幣是配合不等臂天秤左、右盤的比值，在短臂端(本研究設為右盤)填加已確認的真幣當輔幣，使天秤達平衡的做法。 類三分法是針對不等臂天秤設計以最少輔幣需求，處理首秤之後左、右、平盤金幣的分法。 此外，我們根據輔幣供應量與輔幣需求量提出了3個輔幣判斷式。 因此「類三分法」與「輔幣判斷式」，幫助我們以不等臂天秤快速且簡單的找出分辨金幣真偽的最大值。

在「幾何明珠」一書中提到拿破崙定理及逆拿破崙定理。本研究透過數學繪圖軟體 GeoGebra作圖，嘗試以逆拿破崙定理找出正多邊形的可能初始多邊形，接著歸納其性質，並確認只有符合該性質的初始多邊形，才能夠透過「拿破崙法」得到原本的拿破崙正多邊形。 我們先從三邊形及四邊形開始，接著推廣至正多邊形，並分成奇、偶數邊進行討論，最終希望盡可能透過實際的量測來證明初始多邊形的特性，並得到初始多邊形性質的通論。

本研究旨在探討不同邊長比的方形上，改變路徑出發角度、改變路徑出發的起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點次數之關係。首先在方形長：寬=m：n，路徑從方形的左下角出(入)口為起始點，以角度tanθ=1、tanθ=2和tanθ=3之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，進而延伸推論當以角度tanθ=y/x之方向出發時路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式，接著在方形長：寬=m：n，從方形左下角出(入)口向右移動1格、向右移動2格為起始點，以角度tanθ=1之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，延伸推論從方形左下角出(入)口向右移動h格為起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式。

在平面上，給定任意一個多邊形以及一點 P，P 點對多邊形各邊延長線所做垂足形成的多邊形，我們稱作此多邊形的垂足多邊形。本研究將多邊形分為共點和共線的特定形式的退化多邊形來討論。探討如何對特定形式的退化多邊形作垂足多邊形；以及這些退化多邊形作的垂足多邊形之性質會不會與一般多邊形相同，有哪些相異之處。 再進一步推導出任意兩個四或五邊形都可以皆由垂足多邊形來相似，過程中利用退化多邊形來減少需要考慮的條件，更快地找到需要的點。而且所有的證明所需手法皆是國中課程內容，可以學以致用真的十分開心。

有3隻蜜蜂，同時從蜂巢出發，在一朵花與蜂巢間的連線上，來回等速直線飛行，牠們的飛行速度比為1：2：4，問：在蜂巢與花之間，是否存在某個時刻，牠們飛到同一點？ 上述問題取自《科學研習月刊》數學專欄，我們不但解決原題，還將原題推廣到任意隻數蜜蜂，給出求滿足要求的時刻的方法，獲得一般化的結果。 我們還能加以應用求滿足要求的時刻的方法，探討速度比滿足給定一階線性遞迴數列，得到若符合一些條件，就能同時飛到同一點。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。首先，我們證明有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射，且此射線通過其終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )。除此之外，我們還證明了射線通過三維ϕ-Lill Path終點的充要條件為f(x)=0有一實根((-sin⁡θ)/sin⁡〖(ϕ-θ)〗 )。接著，我們證明了三維Lill Path圖形封閉時之充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們也證明了三維ϕ-Lill Path圖形為封閉時之充要條件為多項式有一因式為[x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。最後，我們將三維Lill Path繼續推廣至n維Lill Path。我們證明了射線通過圖形終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，以及圖形是封閉時的充要條件為f(x)有一因式(x^n+1)。

非負整數的各位數字重新排列後，由大到小減去由小到大的運算稱為Kaprekar運算。若原數和結果相等，則此數為Kaprekar常數。在此條件下，Kaprekar變換最終定會進入循環(包含循環節為1的情形)。本研究探討Kaprekar常數與循環的結構。 結果如下: (1)二進位分為五類，得到二進位常數的形式和規律。 (2)我們定義了g(x)來討論三進位的變換形式，得到能判斷其結構和循環節及數量的規則。 (3)g(x)在任何有理數區間中必有任意的n-循環點，其中n是任意正整數。 (4)關於四進位，我們發現將任意非負整數運算四次後必符合一形式，且其結果可類比於部份三進位的情形，進一步可得到所有四進位數的結果。

本研究將費氏數列F(n)前n項賦予正號或負號，再從第1項累加到第n項，找出過程中依次累加後的絕對值之最大值，並將這些最大值的最小值（最短最遠距離），寫成數列M(n)。經由R軟體運算的結果，我們找出一種可走出最短最遠距離的規律性走法，並推得每六項相關之數列M(n)與F(n)的關係式。 接著推廣至類費氏數列F'(n)（F'1=s，F'2=t），分成s = t、st 三種情況來討論。當s=t=m時，則新關係式恰為原關係式之m倍。當st時，則隨著s值所在區間的變動，會影響M'(n)與F'(n)的關係式。 最後延伸至廣義費氏數列F'(n)（F'(n+2)= p*F'(n+1)+q*F'(n)，s=t=1），分成p=q、pq 三種情況來討論，並推得每六項相關之數列M'(n)與F'(n)的關係式。