數學科

在「幾何明珠」一書中提到拿破崙定理及逆拿破崙定理。本研究透過數學繪圖軟體 GeoGebra作圖，嘗試以逆拿破崙定理找出正多邊形的可能初始多邊形，接著歸納其性質，並確認只有符合該性質的初始多邊形，才能夠透過「拿破崙法」得到原本的拿破崙正多邊形。 我們先從三邊形及四邊形開始，接著推廣至正多邊形，並分成奇、偶數邊進行討論，最終希望盡可能透過實際的量測來證明初始多邊形的特性，並得到初始多邊形性質的通論。

有3隻蜜蜂，同時從蜂巢出發，在一朵花與蜂巢間的連線上，來回等速直線飛行，牠們的飛行速度比為1：2：4，問：在蜂巢與花之間，是否存在某個時刻，牠們飛到同一點？ 上述問題取自《科學研習月刊》數學專欄，我們不但解決原題，還將原題推廣到任意隻數蜜蜂，給出求滿足要求的時刻的方法，獲得一般化的結果。 我們還能加以應用求滿足要求的時刻的方法，探討速度比滿足給定一階線性遞迴數列，得到若符合一些條件，就能同時飛到同一點。

本篇主要在探討三角形內多圓連續相切的幾何問題，並將狀況依序分為二、三、四圓，其中完整分析出正三角形及等腰三角形的分割線段長比，而任意三角形則於坐標化後才討論。過程中為更進一步探討任意數量分割圓的性質，我們將三角形其中一頂點置於原點上觀察，以此發現並證明了所有圓心會共同一條拋物線、雙曲線之漸近線通過分割點且垂直底邊、存在公切圓且此圓會過三角形頂點等幾何性質。 此外為求分割點坐標，我們利用內切圓的相關性質得出兩迭代公式，以此解決了原題的一般化情形，而在延伸討論中，我們探討了分別與雙邊及單邊相切的圓，前者為文獻中的「馬爾法蒂問題」，後者我們則是分析「分割中心」的存在性及其所在位置。

此研究主要探討一個任意的矩形將其挖去設定的缺格形狀，接著將矩形分割成數個區塊，以因式分解法、逆推法、階梯狀切割技術、座標位置移動法等研究方法，透過平移、旋轉、翻轉，重組成另一個較小的矩形，探討能否有最少片解，並尋找其中與矩形長寬的關係。研究發現，十種缺格類型能運用特定分割策略，可有最少片數二片或三片解完成重組，進而將圖形逐步擴大尋找出一般化規律。此外將缺格為方型、P字型的矩形，探討階梯狀切割技術進階探究以最少切割片數，嘗試分析多種滿足a2+b2=c2的畢氏三元數組及滿足a2+b2+c2=d2的四元數組，歸納出能以不同的切割策略，用分割移動圖解方式得重組成正方形，並探討其一般化規律。

本作品將數列與直角坐標做結合，探討不同數列及不同旋轉角度的情況下，整理所畫圖形的特徵，並歸納出各組組合之間的關聯性。 總結出以下幾點： (1) 以所畫圖形為例：從原點出發，旋轉角度設定為90°，數列an除了n≡0(mod4)時某些情形無法回到原點外，其餘情形皆能畫出回到原點的圖形。 (2) 以執行的最少次數（最小執行次數）可推算出為t=(lcm(α,n))/n。 (3) 以數列的變化來說，我們發現首末項交換會使圖形位移接著旋轉或數字的顛倒排列的圖形則會有位移再以tan⁡〖((π-θ)/2)x=y〗為對稱軸進行線對稱的變化。 最後，本作品試著找出一般化公式，並期望能推廣到在得知α、θ、n後，會產生出何種漂亮的圖形。

從建築燈光秀發想路徑問題，探討「密鋪多邊形進行完全漫遊路徑是否存在?是否可運用模組化的方法找到完全漫遊路徑?」發現不同密鋪多邊形可透過基本幾何拼板分割，當中心或初始圖形是可漫遊且可對外連通，搭配同條件的基本幾何拼板組合，則該密鋪多邊形路徑可完全漫遊；且可歸類同類路徑中不同幾何拼板之等價組合；另外，密鋪多邊形中每個單位圖形若維持原來的「圖形特徵—路徑可行進方向數」，則「密鋪多邊形完全漫遊路徑可以進行任意形變轉換」。在漫遊過程中得到不同密鋪多邊形的基本幾何拼板種類、路徑分類及路徑方法數公式。 最後應用研究結果，有效控制高空智慧清潔蜘蛛人，並設計一款全新完全漫遊路徑邏輯拼圖遊戲。

本研究探討各種多邊形經由切割重組正方形，求取最少刀數。研究發現：一、長方形邊長比1：4^n時，最少n刀切割重組成正方形，為 1：m2(4n＜m2<4n+1)時，最少n+1刀，介於1：4^n 、1：4^(n+1)間最少n+2刀；二、三角形中，等腰直角三角形只需1刀切割，正三角形為3刀，在相同的底與高比時，銳角三角形和鈍角三角形會比直角三角形和等腰三角形多1刀；三、平行四邊形影響最少刀數是底與底延伸長度比；四、梯形的上底+下底比高相同時，不規則梯形比等腰梯形、直角梯形的最少刀數多1刀；五、正多邊形中，正五邊形最少5刀；正六邊形為4刀；正七邊形為9刀；正八邊形為4刀；六、正方形連塊中，使用長方形切割法，三連塊最少刀數為2刀，六連塊為2刀，七連塊為3刀。

本文旨在推廣拿破崙定理「以任意三角形各邊為邊分別向外作正三角形，則它們的中心(三心)連線必構成一個正三角形」至「對多邊形各邊為邊分別向外作正多邊形，則正多邊形的中心點(三心)可依序連成正多邊形」時成立的多邊形條件(此多邊形稱為拿破崙多邊形)。本文證明出拿破崙多邊形、平行多邊形與壓縮多邊形的成立條件互為等價，並推廣拿破崙法為「對多邊形各邊為底邊分別向外作相似三角形，其中相似三角形頂點依序連線」且討論完畢。

我們發現任何進位的Kaprekar變換，都可以轉換成Kaprekar運算矩陣，而此運算矩陣會滿足引理2的條件。以此為基礎探討5進位Kaprekar變換，大致可分為三個層面：一是找出5進位Kaprekar常數的形式；二是經過數次的變換後Kaprekar會維持Type1的形式，對此形式的Kaprekar數，我們引進比值x與y，並且定義g(x,y),以表示經Kaprekar變換後的比值。在此基礎下討論5進位中Kaprekar變換的循環結構；三、5進位Kaprekar變換非常複雜，我們找到特定的x與y條件下，Kaprekar數的循環長度會是任意大，且存在需要進行任意給定長度後才開始出現循環的Kaprekar數列。 本文的主要結果分別對應於引理2、引理3和定理3、定理4以及定理5中。

西姆松線是三角形外接圓上一點對三邊作垂足，三垂足共線所得之線，而我們成功將其推廣到多邊形，發現了當圓上一點 P 對圓內接 n 邊形做了(n-2)次垂足後，最後 n 點會共線，而我們將其定義為多邊形西姆松線。我們結合了純幾何和歸納法證明其正確性，此方法也是我們所想出的特殊證法，我們還使用解析幾何的手法求出該線在坐標平面上的通式。在已知三角形西姆松線的軌跡會形成三尖瓣線的前提下，我們利用解析幾何的方式證出了三角形之九點圓為該三尖瓣線的內切圓，並成功找出三尖瓣線方程式通式，而我們也發現n邊形西姆松線的軌跡亦會形成 n 尖瓣線，但會因多邊形形狀的不同而產生扭曲。