數學科

本研究旨在探討「帕隆多悖論」，將兩個容易賠錢的賽局遊戲A與B遊戲合在一起進行，卻能變成容易賺錢的賽局(遊戲C)，這是違反常人直覺的現象，因此我們想探究其中的機制、原因和成立條件。 我們以「執行遊戲A和B之特殊組合」、「執行遊戲A和B之機率」和「遊戲A和B的賺錢機率」為實驗變項，應用Excel和Scratch模擬各情況之期望值，來探討帕隆多悖論成立的條件。最後，將研究發現結合專家訪談，找出在市場機制中的實際案例。 發現遊戲執行組合的影響最為關鍵，而且在執行遊戲A的機率為41%時會有最高的期望值。最後，我們找出帕隆多悖論在三種以上賽局成立的情形與必要條件，也歸納出各變項對於獲利影響程度 差異 及賺錢的關鍵週期 。

「鳩佔鵲巢」的題目中將喜鵲餵食的規則寫了出來，我們列出不同的狀態後確實找到所有答案，接著我們進一步將「鳩佔鵲巢」題目進行擴充，使題目中五隻喜鵲擴充到所有正整數，我們發現餵食的順序可以同餘來計算，進而研究找出其所有的答案，之後又加以研究總共吃到的喜鵲數量。

本研究探討n個邊長分別為1、2、…、n的正方形鍊接成平行封閉結構的存在性與方法透過「 任意值矩形頂點配對法」可成功鍊接；任意數列的正方形組也可成功，最快速的是「最大值矩形頂點配對法」。 推廣至正多邊形正偶邊形透過「對角線重合法」，正奇邊形透過「對角線重合法」搭配「對角線與邊重合法」，每邊可互相平行；將n個正多邊形放置在對角線連線成的平行四邊形，利用n值特性「4k、4k+1、4k+2、4k+3」分類頂點位置結合「單向複雜形平行結構」邊長和的差為1或2可透過對角線「中心」或「端點」出發的「最大值平行四邊形頂點配對法」鍊接 。 最後得到最大及最小完全覆蓋矩形鍊接法，並推得鍊接正方形內部封閉面積公式。

本研究是將圓形蝴蝶定理推廣至四邊形，首先將四邊形分成梯形、平行四邊形、一對角線被另一對角線平分的四邊形，再推廣至任意四邊形，發現四邊形也有蝴蝶定理。而蝴蝶形的中心可以是四邊形兩對角線的交點，若一對角線被平分時，則以此對角線為蝴蝶線就有蝴蝶定理，若此對角線不被平分就有坎迪定理；若將此中心沿著另一對角線移動就有類坎迪定理，沿著原對角線移動就有坎迪延伸定理，若此對角線再被平分，就有等比例蝴蝶定理。最後利用三線共點的作圖法，成功將四邊形蝴蝶定理一般化。並透過不斷地延長多邊形不相鄰的邊，將多邊形退化成四邊形，從而得到多邊形的蝴蝶定理，只是此時蝴蝶形不一定內接在多邊形的邊上，也可能接在邊之延長線上。

本主題是研究七巧板拼凹多邊形的拼法 。 我們得到下列結果： 一、證明七巧板拼成凹多邊形的最大邊數為17。 二、七巧板拼凹四邊形的圖形分析1種情形拼法不存在。 三、七巧板拼凹五邊形的圖形分析3種情形，計算5種情形的拼法。 四、七巧板拼凹六邊形的圖形分析7種情形，計算14種情形的拼法。 五、用Excel驗證凹四至凹六邊形的情形。 六、用Python程式找出凹多邊形的拼法， n = 4有1種；n=5有5種；n=6有14種；n=7有23種；n=8有41種； n = 9有58種；n=10有89種；n=11有118種；n=12有166種；n=13有212種。

我們將三浦摺疊運用在紙管上，發現能摺出「單位管」的條件為：8個全等平行四邊形（內角不為90度）相拼成V字形；邊長為1、內角為60度的平行四邊形拼成單位管，我們求出其最大體積約為1.5；而改變平行四邊形邊長與角度之間的關係，當單位管側面沿摺痕壓平摺疊後，能摺出3種不同樣貌。將N個相同的單位管洞連接起來，形成「N-單位管」2個相同的N-單位管共有4種拼組方式，拼組後能正面與側面壓平摺疊；我們用數個N-單位管相拼，發現能做出負重點朝上和洞朝上的負重結構，分別最少需用4個2-單位管垂直相拼和8個N-單位管水平相拼；若數個N-單位管拼組後只能側面壓平摺疊，則只需3個N-單位管水平相拼，就能做出洞朝上的負重結構。

本研究旨在利用組合數來分析第二類斯特靈數在模質數下的性質。研究分為五階段：第一階段我們參考O-Yeat Chan等人的論文，並改良了其證明過程，得到一個同餘組合數。第二階段利用第一階段的奇偶性定理發現(3n n)與𝑆(2𝑛,𝑛)同餘mod2並改良論文證明，使得證明更易推廣。第三階段我們更推廣到更一般的結論：滿足𝑆(𝑝𝑛, 𝑛)≡(p'n n)(𝑚𝑜𝑑2)時，p與p'是線性關係。第四階段與第五階段繪製熱圖時，我們發現圖中存在謝爾賓斯基三角形，對此進行了研究，並成功證明斯特靈數三角形在模2與模3下具有碎形結構與謝爾賓斯基三角形，這是文獻中都沒有探討過的。

本研究從彭羅斯瓷磚出發，將飛鏢與風箏沿對稱軸切出角度分別為108˚、36˚、36˚及 36˚、72˚、72˚的等腰三角形，將兩者的短邊設為1分別定義為 A、B元件。拿數量不等的兩種元件拼成與原本元件相似的三角形得出所有腰邊長為𝑥+𝑦𝜑的相似A元件，以及所有腰邊長為𝑥+𝑦𝜑(𝑥≠𝑦+1)的相似B元件，都有辦法利用A、B元件拼貼出來，其中𝑥、𝑦為正整數。 本研究訂定「強制匹配費氏拼法」來拼貼相似A、B元件從而建構出非週期性鑲嵌彭羅斯瓷磚。使用的拼法為後一個圖形是前兩個圖形的組合，且過程中因需符合強制匹配弧線，在拼貼相似B元件時，需將前一個圖形翻轉後再經旋轉將兩個圖形組合。本研究找出拼湊結合時，產生飛鏢與風箏數量的規律推算出總數量的遞迴關係式。

本研究最初將兩正方形重疊，使其面積重疊處形成一八邊形，將此八邊形的八個邊分成兩組，發現此兩組邊長有1次方和相等、2次方和相等的性質。 而後我們將正方形推廣至正n邊形，討論什麼條件之下，可以使兩正n邊形重疊處為2n邊形。探討其中一正n邊形對另一正n邊形平移範圍的限制。再證明重疊部分2n邊形的兩組邊長之1～n-1次方和相等，最後再討論兩組邊長n次方和相等的條件。 除此之外，我們將正n邊形推廣到其他多邊形。發現有兩條互相垂直對稱軸的圖形與等角多邊形，也會具有兩組邊長1次方和相等、2次方和相等的性質。

本作品靈感來自於其中一題日本算額問題（Sangaku problem）。該題是將一正△ABC的三邊上依固定比例各作其內分點，並由三頂點與各邊內分點連線段，此三線段會將△ABC被分割成四個三角形（如圖二）。本研究改變其分割方式，研究題目為：在△ABC中，L、M、N分別為 ̅BC、 ̅AB、 ̅AC上一點，若△AMN、△BML、△CLN之內切圓半徑相等，則△ABC內切圓半徑等於△LMN內切圓半徑加三等圓半徑。此外，本研究找到△ABC各邊上三點L、M、N的相對位置，並透過二次體擴張的概念說明L、M、N三點的相對位置是能夠利用尺規作圖實現的。最後也計算當△LMN存在時，三等圓半徑（r）的上界。從上述的分割三角形的方式擴展至正n邊形時，也將原先在ABC中的分割手法延伸至正n邊形和正四面體進行研究。