數學科

本作品研究「將一塊正三角形的布，沿著圖形上節點即蛀點作切割，延伸至邊長為正整數的正三角形與正方形，且不管蛀蟲咬在哪一蛀點上，並分別切割成數個邊長為正整數的小正三角形與小正方形。發現原正三角形與原正方形在圖形上的所有蛀點，除去對稱性後，留下必要蛀點，並導出它的一般式。利用質因數分解找出邊長為合數的情況下，它的不得不切割片數最小，同時呈現必要蛀點在圖形上之分布。再者，利用邊長為某兩正整數(兩正整數皆大於一且可相等)切割後的相似圖形，找出邊長為兩數相乘的不得不切割片數最大與這兩數之關係，結果發現正三角形最上方第一個蛀點與正方形最左上方第一個蛀點的不得不切割片數必為此圖形的不得不切割片數最大。」

「少數決勝淘汰遊戲」就是每位玩家開始時付出1單位的代價，並針對N個玩家（劇中為22個）連續對一些二選一的選項投票，由少數一方獲勝，獲勝者始得進入下一輪的投票，直到剩下一位或兩位玩家為止，若只剩下一位，則由該玩家獲得最後的N單位獎金，若剩兩位，則由兩位玩家平分最後的N單位獎金，但所有人需償還原來遊戲開始時所付出1單位的代價。而日劇「詐欺遊戲」的主角提出「遊戲中結盟共M個玩家（劇中為8個）即能保證必勝」的方法。本研究打算藉由歸納法來探討在N個玩家下保證我方至少一人獲得最後勝利的結盟人數M並平分獲利，同時研究遊戲中的最高獲利、最低獲利與可以得到獲利的期望值為何？最後我巧妙的利用二進位來解決問題。

本研究主要推廣拿破崙定理，原本想探討以其他多邊形的邊長為基底，向內、外作正三角形，再分別將其內、外所有正三角形中心連線後，所形成的n邊形與原n邊形之間，是否如拿破崙定理般有「任意三角形的外拿破崙三角形與內拿破崙三角形的面積之差等於原三角形的面積」之結論？透過作圖觀察發現，外仿拿破崙n邊形及内仿拿破崙n邊形與原n邊形之面積關係，會因錯位、角度的不同而有兩種不同的結果。因此我們將錯位分為五種情況探討，再分別將此不同情形實際運用於三、四、五、六邊形，只需得知原n邊形中的一夾角和内仿拿破崙n邊形中任一點對應此角是否有錯位，便可推論出整個圖形的外仿拿破崙n邊形、内仿拿破崙n邊形及原n邊形之間的面積關係。

將凡•奧貝爾定理的四邊形依對角線等長、垂直、平分分類，外接正方形推廣為正多邊形，則原四邊形對角線與相對中心連線有等長和垂直對偶、平分不變的現象。考慮相鄰頂點之中點時，則對點連線與相對中心連線也有相同結論；當原四邊形等垂對時，作出相鄰頂點之等比例內分點或外接相似三角形，則對點連線會等垂對。 當原四邊形外接平行四邊形時，則相對中心連線與相鄰頂點的中點之對點連線也會等長和垂直對偶。若原四邊形改成八邊形且外接正方形時，則相對中心連線的中點(或相鄰頂點之中點的相對中點)之對點連線會垂直且等長；外接對邊相似的平行四邊形時，則相對中心連線的中點之對點連線與相鄰頂點之中點的相對中點之對點連線也會等長和垂直對偶。

本研究主要在探討拿破崙初始n邊形與拿破崙正n邊形以及正n角柱的關係。研究中得知只需知道拿破崙初始n邊形的相鄰兩邊與其夾角，即可推得完整拿破崙初始n邊形，進而求得拿破崙正n邊形的邊長與面積，且證明初始 n邊形的頂點共橢圓。 此外，觀察正三角柱與一平面截出三角形，利用畢氏定理，可從三角形邊長推出正三角柱底面邊長，並將其推至拿破崙初始n邊形與正n角柱；發現當正n角柱底面和截面夾角固定時，截出的初始n邊形所作的拿破崙正n邊形皆全等；最後，我們利用解析幾何，證明任意三角形皆為一正三角柱與一平面的截痕，並透過投影面積與底面積，得知截面與正n角柱底面的夾角，企圖從幾何面確切應證如何截出該三角形。

在平面上，給定任意一個多邊形以及一點 P，P 點對多邊形各邊延長線所做垂足形成的多邊形，我們稱作此多邊形的垂足多邊形。本研究將多邊形分為共點和共線的特定形式的退化多邊形來討論。探討如何對特定形式的退化多邊形作垂足多邊形；以及這些退化多邊形作的垂足多邊形之性質會不會與一般多邊形相同，有哪些相異之處。 再進一步推導出任意兩個四或五邊形都可以皆由垂足多邊形來相似，過程中利用退化多邊形來減少需要考慮的條件，更快地找到需要的點。而且所有的證明所需手法皆是國中課程內容，可以學以致用真的十分開心。

在制定的變換規則下，找出六種變換性質，探討n種變色龍中只有兩種變色龍的數量發生改變，稱為基本變換。我們以n=4為例，列出變換次數與基本變換數碼之方程式，令第一種變色龍的變換次數為零，以最簡單整數比求出所有變色龍的變換次數與基本變換數碼。接著以相同的方法完成n=5、n=6，並將結果寫成方陣。 觀察方陣，發現其中有基本變換式的存在，即形成差成等比的基本變換數列，經由算式推導後可得基本變換數碼的三個疊代關係式，及基本變換數碼的一般式，另外我們也發現基本變換方陣具有對稱性，並以數學歸納法證明之。在我們了解基本變換的特性後，便可以另一種方式完成方陣，讓填寫方陣能更快速。

本研究針對2022IMO的第一題進行探討，即將兩種相同數量，不同材質的球排成一列，選中其中一個位置的球並將該球與其旁邊相同材質的球移至最左，找到特定的球數與選球方式，使得無論如何排列，皆能在移動後使最左的n顆球皆為相同材質。我們發現只要數列在進行操作時格數持續減少，即可達成條件。因此，我們先找到無法在進行操作時使格數持續減少的情況後，再證明其他情況皆可使格數持續減少，就可以求得解。在發現此規律後，我們針對原題進行推廣，例如將球的種類數推廣至m種、各類球的數量不同、多排數列並列……等情況。

本研究主要探討「一筆畫迴圈圖形」的種類數。圓上n個點平均分布，任選一點為起始點，經過圓上每一點恰一次，最後回到起始點，所構成的一筆畫圖形稱作迴圈圖形。我們的研究目的是若給定任意正整數 n≥3，算出這些點共能作出多少種不同構的一筆畫迴圈圖形數 g(n)。 我們將迴圈圖形分成了對稱和不對稱兩種，對稱圖形又根據n為奇數或偶數分別進行研究。首先，我們計算了圓上點的排列組合數和不同構的對稱迴圈圖形數，依此可以得到不同構的不對稱迴圈圖形數。將兩者相加後即可得到 g(n)。詳細探究過程將呈現在本研究中。