數學科

本研究探討封閉折線在方格圖形內運動軌跡經過的最多格數，分矩形邊長為n×n、 n×(n+k)討論，再細分為n≡0,1,2,3(mod 4)及k≡0,1,2,3(mod 4)討論，並依各種情況歸納後提出最多格數之公式，使用數學歸納法證明其正確性，並且推廣導出n×n×n正立方體的最多格數之公式。

本研究主題是在n×n陣列中，甲乙雙方輪流填入三種海蟲的遊戲探討。我們得到下列結果： 一、探究海蟲形狀與數量，我們利用「頭部的連接方向」和「頭尾的連接方式」，找出所有的海蟲圖形，並利用六連塊檢驗，確認所有的海蟲個數共是71種。 二、將陣列邊長點數n分成6k-3、6k-2、6k-1、6k、6k+1、6k+2等6個類型討論，找出n×n陣列可擺放海蟲個數的最大值。 三、探討只使用一種海蟲排入陣列的遊戲玩法，得到結果如下: 1. 6×6陣列遊戲結果必是甲乙兩方都放3隻海蟲，雙方平手。 2. 7×7陣列遊戲最佳結果必是先手甲方4隻、乙方3隻，由甲方勝1隻。

本研究由柏拉圖立體疊合體出發，分解其結構為旋轉軸與單一柏拉圖立體，接著利用幾何推論以及向量證明在柏拉圖立體中存在的旋轉軸，並命名為 n 重軸。在了解旋轉軸存在於柏拉圖立體中的情形與其分布位置後嘗試利用SketchUp軟體將柏拉圖立體圖形以特定旋轉軸旋轉複製形成正多面體疊合體，本研究藉由柏拉圖立體所形成的相異疊合體型態，進而發現其對稱特性與對稱面存在的共同性，並推導出疊合體其對稱面總數之通式。

本作品探討和為1的埃及分數最優解問題，限制分母小於100，項數固定，找出最大分母的最小值。 在研究的過程中，我們發現並没有一個簡潔的公式，可以立即迅速地找出最優解，而是經由不斷地嘗試與比較後，方能得到答案。本研究最後將推導過程歸納為流程圖，試圖建立未來可能演算法的基礎。 本研究主要使用的工具為拆分法，這個方法簡單可行，但容易陷入混亂的情境，有時必須加上巧思，才能獲得進展。在拆分法的基礎上，進一步發展出併合與置換等技巧。策略採取逐項推進，在確定n項的最優解後，再利用拆分或併合或置換，得到n+1項的最優解。 最終，在經由不斷地失敗與再次努力後，完成了項數不超過42的所有解。

本作品由2023年IMO的第五題出發，希望探索在忍者通道中的其他性質，首先思考改變每排中放入的球數並觀察規律，進而推廣到三維圓圈塔中的性質，最後使用hyper cube(超立方體 的情況進行一般化的推廣與構造的優化，完成最小值問題的求解另外也對於特例部分探索解的總數。

顏色對調並且數字按規律排列，除了分類顏色還要排列數字大小難度很高，我們想要發展出有規律的方法來解決問題，並將對調的方格數增加到M個。 移動的規則是每次只能移動相鄰的兩個方格，對調後再放入空格中，重複這個動作，直到所有同樣顏色的方格依數字從小到大排列(順向排列)或數字由大到小排列(逆向排列)。 研究內容分成兩部分，第一部分：個別對單色的方格加上數字，目標在遵守移動規則下，顏色分類而且數字按照順序排列。第二部分：雙色都加上數字，目標在遵守移動規則下，顏色分類而且數字按照順序排列。

本文旨在探討不同轉彎下，其路徑方法數的問題。在方格紙及長方體中，移動路徑方法數的一般式及期望值。從二維的路徑方法數一般式研究，延伸到三維的路徑方法數一般式，再分別探討二維、三維下路徑方法數的期望值及其關聯性，接著跳脫維度的概念，探討期望值間的關聯性。最後研究同字不相鄰的一般式。

研究的方向是從「雙週一題」108第一學期的第三題出發：數列滿足X0=2 與│xk│=│xk-1+1│，k≧1，求│x1+x2+…+x2019│的最小值。題目只做2019項的相加，我們想延伸到 項相加，若從「雙週一題」公布的解析思考，每換一個 值都要一個推導過程，才能得到答案，不那麼直接，少了｢公式｣精簡過程的精神。故我們要找一個代入 值就能得到答案的通式。 將分支做了定義，框出各層得到最小值的所有路徑，找出層間共通路徑，並由此推出最小值的通式。之後嘗試用程式－貪婪法與窮舉法、雙週一題概念、數學理論等方法驗證最小值通式、路徑的正確性。

本研究旨在探討抽獎活動中，抽中累積人數的分布狀況，想要找出抽取次數的中位數。若花費的抽取次數小於中位數，即比一半的人還幸運。大多數人會認為在抽中率為5%的情況下，花20次抽到算是比一半的人幸運，然而，透過人工抽名片卡紙和Scratch程式模擬後，發現大家預期的次數皆大於實際中位數。 使用Excel函數將公式一般化後，發現「第n次抽中的機率」為等比數列，「n次內抽中的機率」為等比級數。又因為公比小於1，造成前半部累積項次較少就達到50%，後半部需較多項次才能累積至100%，故「運氣差的人花費的次數」拉高整體的抽獎次數，才造成大家預期次數與理論值不同的狀況。最後應用研究發現，探討抽紀念酒的運氣分布和抽齊生肖紀念酒的可能性。

本研究著重探討互等邊三角形的形成條件以及其外、重、垂及內心軌跡的圖形及相關性質。平面上給定∆ABC及一點P1，所形成之兩個互等邊三角形 ∆P1 P2 P3及∆P1 P2 P4，形成條件必須滿足̅(AC)-̅(CP1 ) ≤̅ (AP2 ) ≤̅(AC)+ ̅(CP1 ) 且P1 、P2 、P3其中兩點皆無共線。 以下是研究中觀察∆ABC為一等腰三角形及P1在∆ABC的中垂線上且不在A'上時，互等邊三角形各心軌跡的結果： 一、外心軌跡會形成一扣除兩點的圓及扣除兩點的直線。 二、重心軌跡會形成一扣除兩點的圓及扣除一點的線段。 三、 垂心軌跡會形成一扣除兩點的圓及至少扣除一點的直線（P1不在∆ABC的垂心上）。 四、內心軌跡會形成扣除一點的心臟線軌跡及扣除一點的線段，並且扣除點皆為P1點。