數學科

研究四色定理時，我們先找出四種基本圖形，再探尋塗色方法，並且以此四種基本圖形來探討複雜圖形。發現可將複雜圖形分解成簡單的上下層、放射狀、中央有色塊的放射狀及同心圓等四種基本圖形，並依區塊編號，以相鄰不同色的原則找出各區塊對應的色塊，大部份基本圖形可用3色填滿，只有中央有色塊的奇數放射狀圖形會用到4色。合併基本圖形時，因先處理的基本圖形，限制了相鄰色塊的選擇，才會用到4色。將發現的方法驗證到複雜圖形上，不但用4色破解了兩位學者發表的只能用5色的多層同心圓、中央有色塊的奇數放射狀複雜圖形，並找到了規則。最後我們以此規則完成只用四色來著色，成功挑戰世界、歐洲、台灣鄉鎮巿地圖及網路上的纏繞畫。

在數學上，六芒星是指由兩個正三角形顛倒疊在一起而成的圖形，且以交點為頂點形成正六邊形。本文先給定一三角形(此稱原三角形)，其三頂點與內心連線交內切圓之三點為切點，過此三切點作切線所形成的三角形(此稱共切圓三角形)，由原三角形與共切圓三角形所形成圖形稱為相切六芒星。 本研究主要探討相切六芒星中的原三角形、共切圓三角形及尖角三角形的幾何性質，首先利用尺規作圖建構相切六芒星時，推導出共切圓三角形的角度性質。進一步探討共切圓三角形的邊截線段恆等式及鏢形面積等性質，也探討尖角三角形中的所有內切圓半徑恆等式及相切六芒星中的共線(點)性質。最後將相切六芒星推廣至(非)相切 芒星，也推導出一些有趣的性質。

本研究的目的在探討以90°直角展開直立的立體聖誕卡片中，做為聖誕樹的等腰三角形，底部的中點在凸出時傾斜的原理。我們發現立體聖誕樹底部的中點傾斜的程度和等腰三角形的高度與寬度比例有極大的關聯性。我們發現當等腰三角形的寬度固定時，若它的高度愈低，則在立體卡片以90°直角展開站立時，底部中點凸出時會愈傾斜；相反的，若等腰三角形的高度愈高，則底部中點凸出的角度會愈接近水平。我們推導出如何利用等腰三角形的高度與寬度計算出底部中點凸出時上升高度的公式，以及如何裁切等腰三角形，進而做出底部呈現水平的立體聖誕樹。

運用方格的格子點試著連出正方形和長方形，我們發現這些連接方法的類型和規律，並歸納出正方形和長方形數量的通式。(1)正方形︰奇數邊長總數＝(N2＋4N－1)/4；偶數邊長總數＝(N2＋4N)/4。(2)長方形分三種結果︰(a)正長方形總數︰(N2－N)/2、(b)斜長方形45度角總數︰奇數邊長(N2－1)2/4、偶數邊長(N2－2N)/4。(c)斜長方形非45度角總數有規律，但無通式。

從一個網路小遊戲出發，應用我們學習過的四則運算將題目加以改編。依據其課稅方式，找出不同大小的矩形城鎮、不同的進入與離開地點，稅額最大值之最佳解。首先，我們觀察並歸納行走路徑與稅額關係，提出九大性質並加以說明理由。接著，依據路徑與稅額關係之性質找出最大稅額走法之最佳解。我們將路徑分為三階段，分段求取特定位置稅額之規律，有效降低尋求規律的複雜度。我們也比較了正方形、長方形城鎮、順向、逆向行走之稅額規律差異並分析其原因。最後針對該研究提出未來發展的方向與建議。

本作品研究「將一塊正三角形的布，沿著圖形上節點即蛀點作切割，延伸至邊長為正整數的正三角形與正方形，且不管蛀蟲咬在哪一蛀點上，並分別切割成數個邊長為正整數的小正三角形與小正方形。發現原正三角形與原正方形在圖形上的所有蛀點，除去對稱性後，留下必要蛀點，並導出它的一般式。利用質因數分解找出邊長為合數的情況下，它的不得不切割片數最小，同時呈現必要蛀點在圖形上之分布。再者，利用邊長為某兩正整數(兩正整數皆大於一且可相等)切割後的相似圖形，找出邊長為兩數相乘的不得不切割片數最大與這兩數之關係，結果發現正三角形最上方第一個蛀點與正方形最左上方第一個蛀點的不得不切割片數必為此圖形的不得不切割片數最大。」

一個連通圖其結構中若沒有包含任何的圈，則將此圖稱為樹狀圖（tree）。若樹狀圖T的頂點v滿足d(v)=1，則 即為 的『葉子點（leaf）』。將一個樹狀圖中以一筆不間斷經過最多頂點的路徑，稱為『主幹』，若此樹狀圖滿足所有的leaf皆與主幹上的點相連，則特別將此樹狀圖稱為『毛毛蟲圖（caterpillar）』。本文的研究是對於有n個頂點，k個leaf的毛毛蟲圖，在不同構的情況下，探討各類毛毛蟲圖的結構變化、對偶關係，在數量上建立遞迴關係、探討組合意義以及相關的應用。

本研究主要探討「一筆畫迴圈圖形」的種類數。圓上n個點平均分布，任選一點為起始點，經過圓上每一點恰一次，最後回到起始點，所構成的一筆畫圖形稱作迴圈圖形。我們的研究目的是若給定任意正整數 n≥3，算出這些點共能作出多少種不同構的一筆畫迴圈圖形數 g(n)。 我們將迴圈圖形分成了對稱和不對稱兩種，對稱圖形又根據n為奇數或偶數分別進行研究。首先，我們計算了圓上點的排列組合數和不同構的對稱迴圈圖形數，依此可以得到不同構的不對稱迴圈圖形數。將兩者相加後即可得到 g(n)。詳細探究過程將呈現在本研究中。

這是一個歷時兩年半鑽研兩共邊三角形外接圓各種有趣關係的探究之旅，透過GeoGebra的輔助，經由(1)觀察圖形及數據形成猜想(2)幾何論證猜想為真的探究歷程。 我們首先探討兩共邊三角形外接圓的圓心位置、半徑、半徑和及連心線的關係，發現並證明出等腰三角形中圓心位置具特殊性、兩外接圓半徑和R1＋R2與連心線─O1O2的長度都跟動點D的x坐標呈現函數關係且圖形為雙曲線的一支；據此討論出兩外接圓面積和與原三角形外接圓面積關係，同時發現∆AO1O2～∆ABC且AO1OO2四點共圓。在研究連心線時也發現，當動點D移動時，─O1O2的中點形成一條直線；每條連心線皆與以頂點A為焦點，(BC) ⃡為準線的拋物線相切。最後得出若任意∆ABC的頂點A到─BC的距離相等，連心線─O1O2所包絡出的拋物線皆全等。

本作品主要研究點對三角形各邊鏡射，再將鏡射點連接形成鏡射圖形，並探討鏡射圖形和點的變化。發現有些點有不變性，並且可以將原本向外發散的鏡射圖形收斂使其互相重疊並全等，我們稱其為全等點。我們從正三角形開始研究，發現正三角形有六個全等點，因對稱性將其分為兩組。接著延伸至等腰三角形，觀察固定底為2，改變高之等腰三角形全等點軌跡，發現許多特殊現象，接著再將其轉為函數圖形進行討論，進一步利用代數式結合鏡射性質，計算出全等點的座標，並證明觀察時發現的現象以及發生的時機。另外，我們觀察並證明各個鏡射圖形的頂點和全等點會形成五大類共圓之現象，我們也嘗試進行正多邊形全等點之觀察，希望有機會推廣到一般化。