給定一個圓，可構作一四邊形ABCD，令其面積為T，而ABCD可由對角線形成的四個三角形，畫出四個內切圓，其圓心連線形成一長方形EFGH，令其面積為t，本研究目的即在討論T/t的比值範圍。 ABCD≈55.22平方單位 EFGH≈9.16平方單位 ABCD/EFGH≈6.03 ∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠HEF=90∘

本作品研究星狀網路和完全網路，兩種不同結構的連結網路，使用點擴展運算結合成一個網路結構，並且在一定的容錯範圍內，保證存在漢米爾頓迴圈性質。漢米爾頓迴圈在連結網路的研究中相當重要，若存在此性質，則可以保證發送訊號時，能將訊號發送給連結網路上的每一個元件並接收，且不會重覆接收到訊號。我們使用圖形理論的方式，將星狀網路和完全網路，這兩種連結網路結構，分別抽象化成星狀圖和完全圖，網路中的元件抽象化為點，元件之間的連線，抽象化成邊。如果元件之間的連線故障，無法使用，則稱為壞邊。我們證明 n+1 維度星狀圖和 n 維度完全圖使用點擴展運算後，壞邊數量最多是 n-4 時，保證存在漢米爾頓迴圈。

將快樂數的計算方式略微改變，改成將一個數的每個位數的數字做1、2、3……n次方後，由數字大依序減去數字較小的，再取絕對值。隨後便和快樂數一樣，將新出現的數字重複作同樣的計算動作，觀察出現的數字是否和快樂數有類似的性質。

我們從課堂中挑戰題出發，從高中數學的「餘式定理」、「數學歸納法」與「遞迴關係式」來對「費氏數列」進行討論。在簡單的多項式除法問題中，找到關於費氏數列的規律，並延伸找到與之密切相關的「盧卡斯數列」。此外，我們將研究中的費氏數列推廣至廣義費氏數列，以及遞迴關係更一般的廣義二階遞迴數列。我們將觀察得到對於二階遞迴數列的結果，用「數學歸納法」的方式證明。更將二次方的研究，延伸至三階遞迴、四階遞迴等高階遞迴的規律。並且找到當高次方時，符合前述關係的係數為對應階數特定矩陣特徵方程式的性質。我們也找出高次方中，特徵方程式各項係數的遞迴規律與巴斯卡三角形的特定關係。

利用曾學過的面積與距離公式、面積變換、相似多邊形、比例及二次函數及未接觸過的三角函數及總和公式(Σ)等觀念，利用逐步推導的方式探索不同邊長比的多邊形在壓縮退化過程中面積變化的狀況，在不同的壓縮角度下，各頂點會有不同的位置，隨著頂點位置的不同，面積會有不同的變化(如下圖2所示)，而且在壓縮過程中，由於邊長的比例不同，可能遭遇到頂點位置產生共軛的情況(如下圖3所示)，這將會影響多邊形面積求算的結果，過程中透過Microsoft Excel及繪圖軟體的運算分析來互相驗證上述的導證結果。

本研究探討「a平方－h是b的倍數，b平方－h是a的倍數」→「a平方＋h是b的倍數，b平方＋h是a的倍數」，發現若將前者的首項設為h－1，第二項為首項的平方－h，則其正整數解(a，b)會構成一數列且滿足遞迴式「第n＋2項=(h－2)*第n＋1項－第n項 」；若將後者的首項設為1，第二項為h＋1，則其正整數解(a，b)會構成一數列且滿足遞迴式「第n＋2項=(h＋2)*第n＋1項－第n項」。在探討「a平方±nh是b的倍數，b平方±nh是a的倍數」時，發現其解數列也滿足遞迴式「第n＋2項=(h±2)*第n＋1項－第n項」，其中新第n項=(n的正平方根)*原第n項。

有個經典的騎士巡邏問題 : 騎士用馬步移動，每個格子至多走一次，試圖找出最多步。我們定義2x3的矩形方格圖中走對角線為大馬步，2x2的方格中走對角線為小馬步。依照大馬步、小馬步輪流交錯走，我們發現 : 若指定特殊起始點，在(偶數m) x (偶數n)的矩形中可以走完所有的格子。若騎士能將格子走完，本質上非常類似漢米爾頓路徑。其它無交錯的走法(如連續大馬步或連續小馬步)，我們也找出最多步的一般式。本作品的價值在於擴充馬步為大馬步與小馬步，推廣正方形為任意比例的矩形，並用深度優先搜索(Depth First Search，以下簡稱DFS)驗証結果。關鍵論証在於著色法與DFS ，若騎士無法走完，著色法能証明步數的最大值，DFS能讀完圖中所有資訊。結論的一般式紀錄於後。

本作品結合兩道題目，給出有趣且新的結果。 第一題：硬幣兩面分別為「H」和「T」，有n個硬幣排成一列，若恰有k枚H朝上，便 翻動左起數來第k個硬幣──H朝上的硬幣數量，決定左起第幾個硬幣要翻動。試證明持續操作下去，能在有限次內操作至停止，並求出操作次數的平均值。 另一題為講座中提出的：有n個燈排成一圈，按一盞燈，不是由亮變暗就是由暗變亮，而且它左右兩盞燈會隨之變換當前的明暗狀態，試求使其由全滅變成全亮的方法和最少操作次數。 它們都屬於離散動態系統，本研究除了解決競賽題外，創意在於結合上述兩題的條件，形成一道新題目，給出可以操作至停止的必要條件、以及操作次數平均值的猜想。

本文由六個結合tan-1的等式及其所搭配的無字證明圖形出發，結合多邊形的性質發展出新的圖形，並以向量以及三角函數佐以證明tan-1與多邊形的全新等式，並且討論四邊形中四個角的不同狀況以得出不同定理。本文最大的價值在於:我們將國中學過的鏢形三內角相加等於一外角的特性加以運用到四邊形，並結合高中所學的三角函數以及反三角函數和利用了方格紙將圖形座標化後以內積公式去求出各個條件下四邊形的一般式，因此我們能夠利用此一般式快速地利用座標來去算出不同四邊形的關係式。而本文最大的特色在於，我們將大部分國中及高中所學知識融會貫通後，將其運用在我們報告中，且在本文中我們利用了假設各點並小心的驗算列出了各圖形在各個條件下的一般式。

一、 分數：所有的分數皆能轉化成小數，可以分為「除得盡的分數」和「除不盡的分數」等兩大類別。 二、 小數：除得盡的分數可以轉化成「有限小數」，除不盡的分數可以轉化成「純循環小數」、「混循環小數」等三大類別。 三、 Scratch程式：將數字轉換成圖像，將360°依照數字0~9，分成十等份，順時針旋轉「36°×對應的數字」，這些圖像可以分為「相同圖形」和「同邊形圖形」等兩大類別。 四、 循環小數：循環小數包含「未循環數字」和「循環節」，分母因數分解後，2和5出現的次數會決定這個循環小數的類別。