數學科

若有n項，且的滿足ax={(1/2(b2+bn), x=1 1/2(bx-1+bx+1), 1以項數與其值繪於坐標平面並根據分布情況將點連線，圖形似鋸齒狀函數。 將原本散布圖的點經適當「不等量」平移後，再利用分段拼接概念，結合「取整函數」來設計一函數，使其能讓兩條異號的領導係數線段交替出現，形成鋸齒狀函數的圖形，最後再將點「不等量」平移回原本位置，即得一函數涵括所有點。 本研究將設定在不同條件下，分別可根據n值區分四類情況：n=4k,4k+1,4k+2,4k+3，k為正整數；在不同n值，其的一般項有著巧妙的異同處。 最後再將bx推廣到多項式函數，進而找到可行方法來求得對應的一般項ax。

此研究討論三角形 ABC 的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1. 用外接圓半徑 R 及∠A,∠B,∠C 表示各心到三邊之距離。 2. 設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為d1,d2,d3,d4，其大小關係為： (1)在銳角∆中，d1≥d2≥d4≥d3，僅當正∆時，等號成立。 (2)在直角∆中，d1>d2>d4>d3。 (3)在鈍角∆中，d1>d2>d4恆成立。d3與d1、d2、d4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 3. 在銳角∆及直角∆中，等式d2=2/3 d1+1/3 d3 和d2+1/3 d1-1/3 d3-1/3 d4=R 恆成立。

本研究延續國中獨立研究，結合高中機率課程，建構二維與三維之集團免疫機率模型，特殊n之研究結果如下，其他情形請參閱內文： 一、 （一）二維：n=2k時，具有抗體之總人數與無抗體之總人數的比例，必須維持奇數對奇數，模型才會有免疫效果。 n=2k+1時，模型具不具備免疫效果，僅跟第一位與第 位有關。 （二）三維：n=2k+1時，模型具不具備免疫效果，僅跟對應於正三角形三頂點位置的3人有關。 二、 （一）二維：n=2k時，具有免疫效果之機率為 1/2+(2pq-1/2) (q-p)n-2。 n=2k+1時，具有免疫效果之機率為 2pq。 （二）三維：n=2k+1時，具有免疫效果之機率為 1/2+(2pq-1/2)(q-p)。 三、 （一）二維：免疫效果的期望人數為 1+p/q+q/p，特別是等機率時，期望人數為3人。 （二）三維：免疫效果的期望人數請參閱內文，特別是等機率時，期望人數為6人。

我們準備了銅板和紀錄表，想要了解彭尼遊戲中，乙玩家是否可以技巧性地提高勝率，以及彭尼遊戲的變化形態延伸後對勝率有什麼影響。在實驗一我們發現不同的對戰組合，其勝率確實存在落差；在實驗二中，我們發現乙玩家確實可以透過彭尼的技巧取得更高的獲勝機率，在實驗三，我們發現當加入更多玩家時，後手不一定能掌握更高的勝率，在實驗四，我們發現相較於以第一或第三字節相反來作為乙玩家的第一字元，以第二字元相反後做為乙玩家的第一字元勝率更高，而本次實驗我們只以擲七次銅板中猜測三次的排列作探討，未來也許可以嘗試其他不同的擲銅板次數、猜測次數，以了解彭尼遊戲及其相關變形遊戲的勝率變化。

有個經典的騎士巡邏問題 : 騎士用馬步移動，每個格子至多走一次，試圖找出最多步。我們定義2x3的矩形方格圖中走對角線為大馬步，2x2的方格中走對角線為小馬步。依照大馬步、小馬步輪流交錯走，我們發現 : 若指定特殊起始點，在(偶數m) x (偶數n)的矩形中可以走完所有的格子。若騎士能將格子走完，本質上非常類似漢米爾頓路徑。其它無交錯的走法(如連續大馬步或連續小馬步)，我們也找出最多步的一般式。本作品的價值在於擴充馬步為大馬步與小馬步，推廣正方形為任意比例的矩形，並用深度優先搜索(Depth First Search，以下簡稱DFS)驗証結果。關鍵論証在於著色法與DFS ，若騎士無法走完，著色法能証明步數的最大值，DFS能讀完圖中所有資訊。結論的一般式紀錄於後。

在數學上，六芒星是指由兩個正三角形顛倒疊在一起而成的圖形，且以交點為頂點形成正六邊形。本文先給定一三角形(此稱原三角形)，其三頂點與內心連線交內切圓之三點為切點，過此三切點作切線所形成的三角形(此稱共切圓三角形)，由原三角形與共切圓三角形所形成圖形稱為相切六芒星。 本研究主要探討相切六芒星中的原三角形、共切圓三角形及尖角三角形的幾何性質，首先利用尺規作圖建構相切六芒星時，推導出共切圓三角形的角度性質。進一步探討共切圓三角形的邊截線段恆等式及鏢形面積等性質，也探討尖角三角形中的所有內切圓半徑恆等式及相切六芒星中的共線(點)性質。最後將相切六芒星推廣至(非)相切 芒星，也推導出一些有趣的性質。

研究四色定理時，我們先找出四種基本圖形，再探尋塗色方法，並且以此四種基本圖形來探討複雜圖形。發現可將複雜圖形分解成簡單的上下層、放射狀、中央有色塊的放射狀及同心圓等四種基本圖形，並依區塊編號，以相鄰不同色的原則找出各區塊對應的色塊，大部份基本圖形可用3色填滿，只有中央有色塊的奇數放射狀圖形會用到4色。合併基本圖形時，因先處理的基本圖形，限制了相鄰色塊的選擇，才會用到4色。將發現的方法驗證到複雜圖形上，不但用4色破解了兩位學者發表的只能用5色的多層同心圓、中央有色塊的奇數放射狀複雜圖形，並找到了規則。最後我們以此規則完成只用四色來著色，成功挑戰世界、歐洲、台灣鄉鎮巿地圖及網路上的纏繞畫。

本作品延伸前年數學科展作品《公園跑切線》，研究兩個同內心不同大小的正三角形，中間小三角形旋轉θ，由大三角形的其中一邊上取一出發點，對小三角形的頂點沿射線到下一個邊上，接著重複此動作，最後路徑會收斂成三角形，研究收斂點的位置和出發點、旋轉角度、邊長比與收斂可能的關係。之後我們分離小三角形與大三角形之內心，並研究其性質與收斂可能性。最後，我們加入了共內心、相似且方向相同之兩一般三角形的情形，同樣研究其性質與收斂可能性。

本研究源於 2022 年數學雜誌《Crux Mathematicorum》的一道四邊形動態幾何問題，我們先將此問題設定為三角形，利用綜合幾何方法給出了兩種構圖條件下的三角形外心軌跡皆為圓弧，並且發現兩種圓弧的變換關係，也給出豐富有趣的性質。值得一提的是，分別對三角形的三個頂點輪換進行第一種構圖得出三個圓弧，這些圓弧恰可組合成三角形的九點圓，這是有趣的發現！回到原始問題的四邊形，我們構造了兩個三角形，透過巧妙轉換頂角與直徑圓變換而給出外心軌跡所在圓弧的兩個定點而解決此問題。最後推廣至鄰邊連線時，我們用雙射對應觀點簡潔刻劃了軌跡圓弧。重要的是，本研究處理四邊形的手法與三角形的是一致的，意味著證明手法具有推廣性。

本作品啟發於 2020 年一月份科學研習期刊中的特約專欄「森棚教官的數學題 – 散步的費波納契」，探討在數線上以費氏數列作正向或負向的移動，走 n 步的期間內距離最遠時的最小值為何？又有多少種方法？我們先利用窮舉法、樹狀圖與 Python 程式找出 n 在 1 到 22 之間的所有情形，發現最遠距離最小值近似於費氏數列的一半、方法數與「整數數列線上大全（OEIS）」收錄的類費氏的數列 A254308 相符。在探討走法時，得到符合條件的走法推廣並非是增加最後一項，而是在已知的走法中添加第一步。並利用找到規律性的走法、走法延伸規律與數學規納法驗證最遠距離最小值與方法數可推廣至所有的 n 值，最後我們將行走的方法改成盧卡斯數列與類費氏數列，也出現相似的結論。