將兩組{ 1，2，…，n }任意排成環狀，若對所有數m ∈ { 1，2，…，n }，m與m之間繞順時針的間隔數為m或繞逆時針的間隔數為m成立，則稱此環狀排列為「挑剔環」。

本研究主要探討以軌跡法做出平面多邊形的軌跡圖形與原圖形之間的關係。文中主要分成三部分加以分析討論。首先，將三角形以軌跡法做出後，觀察軌跡圖形與原圖形的關係。其次，軌跡圖形與原圖形是否存在一定的規律，對於不同的多邊形是否都存在此一規律？最後，以數學概念證明出軌跡圖形會與原圖形相似或是全等。從中發現在菱形的相似圖形尋找過程中，當原來菱形的內角分別為60°、120°、60°、120°時，其他兩點的軌跡線所形成的圖形與原圖形具有全等關係。接著更進一步分析與討論此一情形後，歸納出當所選定的軌跡點至定點的距離等於定點至動點的距離，則該軌跡點所形成的軌跡圖形會全等於原圖形;反之，該軌跡點所形成的軌跡圖形會相似於原圖形。

交通號誌具有指揮車輛通行路口的權力，藉由適宜的週期、時相、綠燈秒數之時制規劃，可有效增加路口汽車的通行量，解決不必要停等之交通壅塞問題。 緊鄰學校的五叉路口，是重要的交通要道。根據我們的路口影片分析，發現南來北往的車輛在交通尖峰的上班時刻，總是因為停等此路口號誌造成一定程度的塞車，致使部分車輛需要停等到第二個周期時才能通過路口，著實影響路口通行成效。本次研究透過系列性科學化的測量、計算與分析，我們提出路口週期再增加5-15秒時，共有25種新的交通時制設置方式，可使此路口通行量每秒增加0.268至0.737公尺，將能有效紓解停等紅綠燈的壅塞。

莫比烏斯環可謂變化多端，只要賦予一小小操作變因，即產生意想不到的結果。由於其結果會有翻轉或打結的情形發生，故此研究以「讓莫比烏斯環呈現一通順無阻的大環」為目標 於接頭進行「錯位黏接」與「適當翻轉」，並統整、歸納出其翻轉度數、打結情況、黏接方式的特性、變化和規律。

1.根據數學傳播期刊第43卷第2期中胡穎老師發表「圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質」[1]的關係式，把它從原先應用在圓外切四邊形，推廣至圓外切n邊形中，發現涉及圓外切n邊形的旁切圓不只在其周圍的第一層，而是到了第二層的旁切圓，也依然產生規律的關係一般式。 2.承1，所有第一、二層旁切圓半徑、面積和周長間，存在特定的規律性。 3.承1，所有第一、二層旁切圓的切點三角形，最外側邊上的高之間，有特定規律的等量關係式。 4.承1，與第一、二層旁切圓有關的「心頂點三角形」和旁切圓內切點三角形面積的比值有漂亮的乘積關係一般式。 5.延伸原本只討論第一、二層旁切圓，並推廣到第k層旁切圓，同時提出k、n的數學關係一般式。

此份報告主要是探討一個最優化問題，即是給定特定的移動方式，求出至少要多少操作，才能夠把棋子從某一種分布狀態調整成另外一種。而經過許多例子的嘗試，發現因為原本的問題不帶有數學的式子於其中，故沒辦法用上任何已知的工具進行解題，所以引入座標系以及排列矩陣，讓其含有許多數學式，能夠幫助問題具體化。接著給出好的上界以及得知最大值達成時滿足的條件後，便是開始進行一連串的構造，而這我採取「先猜後調」的策略，簡言之，就是先放置一種看似不錯的分布狀態，再利用討論出來的一些工具，對此狀態進行調整，同時用簡單之圖論方法觀察內部的數學結構，以獲得最優的構造之一。

本科展作品在研究正N邊形的頂點塗色，定義相鄰兩頂點的距離為1，先設定距離m，規定若兩頂點相距m則塗不同色，求塗完N個頂點的最少色數。當只設定1個m時，我們研究出最少色數只有2與3兩種，並清楚區分出對應條件。而設定兩個m時，我們研究出最少色數有2 , 3 , 4 , 5等四種，同樣清楚區分出對應條件。最後推廣到設定k個m時，我們證出最少色數的絕對下界為2，絕對上界為2k+1。並以N、m的奇偶性細分各情況來做出更精密的上界估計。

一、本研究探討在一個基圓註一的圓周上任取一點當作圓心，以不同半徑畫出旋轉圓註二，旋轉不同角度，旋轉角度θ註三＝360°÷n，nϵN，且n≧3，探討旋轉圓之間的交點數、交點連線所產生的圖形及規律。 二、我們發現旋轉圓產生的交點數、交點連線所產生正多邊形數與旋轉圓的半徑R有關，詳見本作品說明書第23頁之研究結果一。 三、將和基圓圓心等距的交點連接起來會產生正多邊形，正多邊形的外接圓半徑公式有著對稱的關係。 四、利用簡單的道具可分別以平面和立體呈現圓與圓之間交點的情形，如下圖：

在平面上，我們都知道相異五點可決定一圓錐曲線。若給定任意四邊形，是由四邊形的四個頂點及異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形。 本研究將四邊形分成平行四邊形、梯形及兩雙對邊皆不平行的四邊形等三種來討論，並同時考慮其為圓内接與非圓内接之兩種情形的四邊形，探討圓錐曲線内接四邊形的作圖及其幾何性質。研究中藉由六個輔助定理(包含圓錐曲線的直徑與定值性質及推廣圓内兩交弦定理)論證出二種拋物線及其内接四邊形的作圖及其判定條件，再進一步推導出圓錐曲線内接四邊形的作圖及其判定條件。也發現圓錐曲線內接四邊形的兩對角線斜率性質，並證明有趣的錐線中心軌跡圖形。

一群人依序入座在r列c行的座位中，每個人都盡可能地不坐在其他人的旁邊。我們定義在某一入座順序中，入座時的座位，相鄰座位都還沒有人入座，此時我們稱這個座位為滿意座位，否則就稱非滿意座位。明顯地，滿意座位不能與其他的滿意座位相鄰。而滿意座位分布狀況就是圖論中的極大獨立點集問題。 我們先以Excel VBA程式進行模擬，對座位排列進行確認及優化，再利用程式模擬的結果及根據極大獨立集定義，探討極大獨立集的基數狀況。當矩形的列數和極大獨立集基數固定時，我們運用極大獨立集零件拼接的變化求出極大獨立集的排列數。此外，當極大獨立集基數固定時，極大獨立集圖形藉由獨立點移動而擴大的規則，我們意外發現其狀況與費氏數列有關。