數學科

基於Anubhav Mishra提出的尚未被證明問題：由基準三角形OAB之兩邊OA與OB生成共頂點O兩正方形，在兩正方形中選取兩組對應點，並做交叉連線相交於N點，則AB之中點M與O、N具有三點共線之性質(此線稱為共軛對稱軸)。首先提出此原題的不同證明，再推廣至正n邊形，並找到一般化的必要條件及廣義共線性質。 研究結果發現並證明:在正n邊形共線蝴蝶對稱圖形中，存在兩稜線在共軛對稱軸鉛直方向投影長相等，及其成形的臨界角範圍；蝴蝶翅膀種類公式、衍生類別及總數量；面積與稜線長的幾何不變量；基準三角形三邊對應之共軛對稱軸共點於其重心；當n為偶數，共軛對稱軸垂直特定共軛對稱點連線段。當n趨近於∞時，共線蝴蝶對稱圖形收斂到圓內接等腰梯形。

本研究以拿破崙定理為出發點，探討特殊三角形與其所構成的外接特殊圖形之間的幾何對應關係。我們關注三角形的外心、內心與重心所構成的「群心三角形」並進行其分析。 過程中，我們使用GGB進行圖形建構，建立不同類型的特殊三角形與四邊形所構成群心三角形。透過觀察與計算，分析兩個三角形之間是否具有關係並比較其面積比值。進一步地，探討旋轉角度對結果的影響，當外接的圖形發生變化時，群心三角形的結構性質亦會產生對應變化，並成功歸納出具規律性的關係式。 本研究加深了對三角形幾何的理解，也建立群心三角形在幾何理論探討中的新視角。此成果可作為幾何圖形研究的新起點，有潛力應用於生活上為未來幾何學的研究與教學提供了豐富的延伸空間。

本研究希望能找出一種能使多邊形車輪平穩前進的曲線方程式。由於車輪之中心高度不變時即可達成平穩前進的目標，本研究先是追蹤正多邊形的中心正下方與該圖形的交點所形成的曲線，得出此曲線圖形的方程式。接著因圓內接多邊形可切割成多個直角三角形，利用畢氏定理與三角函數推導，得出圓內接 n 邊形車輪的中心在同高度下滾動時，中心正下方與該圖形的交點之曲線恰為懸鏈線方程式。 在刻劃完正n邊形的情況後，進而推廣至一般圓內接 多邊形以及勒洛多邊形的相關特性。在未來，將可以為多邊形車輪的設計與運行提供新的思路，並可能在交通、機械設計及自動化設備中發揮重要作用，了解懸鏈線的特性將促進相關技術的創新與發展。

任意等角六邊形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹之6邊的延長線，即會得到兩個正三角形Δ𝐼𝐽𝐾、Δ𝐼′𝐽′𝐾′，其中三組對邊以[(𝑎,𝑏,𝑐),(𝑎′,𝑏′,𝑐′)]表示，則三組對邊均相互平行，任兩相鄰邊長的和必等於其對邊長的和(𝑎+𝑏′=𝑎′+𝑏）（𝑏+𝑐′=𝑏′+𝑐）（𝑐+𝑎′=𝑐′+𝑎)，則有以下成果： 1.若已知四邊長度，且其中三邊相鄰，即可決定唯一之等角六邊形。 2.三組對邊都相等或都不相等，才能決定一個等角六邊形。 3.兩組有相同公差的數列，各取連續三個正數為邊長，則可決定唯一的等角六邊形。 4.一組等差數列中，任取6個連續正數(𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5,𝑎6)為邊長，可形成兩個相異的等角 六邊形([(𝑎1,𝑎2,𝑎3),( 𝑎4,𝑎5,𝑎6)]、[(𝑎1,𝑎3,𝑎5),( 𝑎2,𝑎4,𝑎6)])。 5.當等角六邊形邊長為完全平方數時，可以求出一些特列。 6.討論等角六邊形的面積與用相同大小正三角內鑲崁的個數。

本研究取材自科學研習期刊的數學專欄題。 給定一個正整數數列，如果數列元素可以寫成這個數列的某些項的乘積，就稱該元素為這個數列的合項，否則稱該元素為這個數列的質項。 我們將研究聚焦於等差數列，並成功發展出首項為1，以及首項=公差-1之等差數列的合項快速篩檢模式，更進一步發現「首項的冪次模公差的週期性」，對於判斷任何等差數列的合項性質都具有關鍵作用。 我們證實存在「完全由質項構成的等差數列」，也觀察到梅森質數在特定的等差數列中可以作為其質項。 最後，我們修改質數定理，成功預估了首項為1、不同公差等差數列的質項密度。本研究為為理解數列的結構與性質提供了全新的工具與視角。

我們先定義「旋轉多邊形」，再透過拼組六形積木分析出「旋轉多邊形」的性質為1.偶數個能密鋪的凸多邊形；2.所有頂點相連的2內角和為720°/K，K為拼組數量；3.若拼組數量是4個，則會組成平行四邊形的洞；若拼組數量是6個以上，則會組成等距放射狀的洞。若僅用六形積木組成「旋轉多邊形」，則能組成30種不同的樣貌。若將相同的「旋轉多邊形」彼此相拼，則只有四種結構才能無限擴拼，其中以4個正方形和6個正三角形這2種所組成的「旋轉多邊形」為拉脹結構，當轉動到有最大洞時，其長、寬會等比例分別放大1.5 倍和 √3倍。

本研究探討在正n邊形及圓內接多邊形構形中，若已知外圍三角形面積，是否可反推原構形的邊長與面積。研究建立一套幾何與代數互相轉換的流程，透過面積比例推導遞迴數列，進而構建高次方程，並提出新符號 𝑇𝑃𝑄 及 𝑈𝑛𝑞𝑝 表示不相鄰乘積和，以簡化代數結構。進一步運用數學歸納 法 與極值邏輯，成功證明：當高次方程 式 具有正實根時，其最大正實根必定對應唯一的 多邊形 限定構形；反之，若多邊形限定構形存在，也可唯一對應於高次方程式之最大正實根。此研究不僅提供幾何反推的系統化解法，也為代數方程的幾何詮釋建立明確模型，具備理論價值與推廣潛力。

Langford數列為一種特殊的排列，本研究旨在探討改變Langford數列的不同參數，進而探討數列的必要條件以及是否存在結構規律，我透過奇偶性以及位移法兩種方法，得到數列各種情況下的存在條件。研究分為五階段:第一階段不改變數列條件；第二階段改變每數出現次數，以上述兩種方法分析其影響；第三階段改變數列最小數，計算並討論何種情況下存在數列；第四階段為整合以上三階段，使數列同時存在三種參數；第五階段為將數列以特定方式進行簡化，並且尋找其規律。

此次的研究，我們著重在切割法的探討與延伸，先研究正n邊形藉由「長方形切割法」與「三角形切割法」成為正方形，在過程中發現問題並分類探討，最後證明一定能切割成正方形，並且計算兩方法完成後的切割塊數。接著研究邊長相等的正n邊形與正 (n+1)邊形，後者利用前者已切割出的正方形，將多餘的部分切割重組，填補成新的 大正方形，建構出遞迴切割的關係。最後發想出等面積三角形置換切割法，並透過此方法來完成任意凸多邊形切割重組成正方形。再進一步研究任意凹多邊形，研發出優角角平分線切割法，將凹多邊形完全切割成數個凸多邊形後，再重組成正方形。

1.雙心n邊形中，過任一旁心作不相切邊的垂直線（旁心高）並與該旁切圓交於一點，再過此交點作旁心高的垂直線（旁高垂線）則 (1)過內心I作旁心高的垂直線，則該垂足與I、對應切點形成一角具有旁高垂線與圓I是否相交的判別性質。 (2)透過旁心高和旁徑、內切圓、外接圓半徑的關係，進而推導出雙心n邊形面積和三種半徑有關的一般式。 (3)只有雙心四邊形的四條旁高垂線相交形成的旁高垂四邊形和原雙心四邊形全等，且具有對偶性。 2.雙心n邊形中，過每個頂點作不相切邊的頂點高，會與對應外接圓圓心角之正弦函數值有漂亮的比值關係式。 3.推廣文獻1結果到雙心四邊形，可得內切圓半徑與四個旁徑間類似的關係式。